Общая структура

Страница состоит из 6 раскрывающихся блоков (аккордеонов):

Симуляции показывают, как экспериментальная вероятность приближается к теоретической при большом числе испытаний.

Как использовать интерактивные симуляции

В блоке «🎮 Интерактивные симуляции» три эксперимента:

🪙 Монета на линиях

• Что делает: бросает монету на линии, считает, сколько раз монета НЕ пересекла линию.

• Ползунки: можно менять расстояние между линиями (d) и радиус монеты (r).

• Кнопки:

  • «🎲 50 бросков» — добавить 50 случайных бросков

  • «⟳ Сброс» — очистить все результаты

• Что показывает:

  • «Всего» — сколько всего бросков сделано

  • «Не пересекла» — сколько раз монета не задела линию

  • «P эмп» — экспериментальная вероятность (не пересечь линию)

  • «Теор» — теоретическая вероятность (рассчитанная по формуле)

⚫ Точка в круге

• Что делает: генерирует случайные точки в круге, проверяет, ближе ли точка к центру, чем к границе.

• Кнопки:

  • «➕ 50 точек» — добавить 50 случайных точек

  • «🗑️ Сброс» — очистить

• Что показывает: экспериментальная вероятность (должна стремиться к 0.25)

🤝 Задача о встрече

• Что делает: моделирует встречу двух человек, которые ждут друг друга.

• Ползунок: время ожидания (5–30 минут).

• Что показывает: экспериментальная вероятность встречи (теоретическая ≈ 0.4375 при 15 минутах).

Задачи из ФИПИ

Номер: 47BD49

Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

Дополнительно

1. Фигуры на квадратной решётке
2. Многоугольники: вычисление площадей
3. Система заданий по теме «Площадь фигур»
4. Е. А. Ширяева Задачник ОГЭ 2025 (примеры решений). 18. Фигуры на квадратной решётке
5. Справочник по планиметрии от «Школково»

6. matem-teoriya-treugolnik.pdf

Задачи

1. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ОГЭ математике
2. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по базовой математике
3. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по профильной математике

Данное пособие содержит двести геометрических задач с практическим содержанием, среди которых:

– задачи на нахождение расстояний с использованием теоремы Пифагора;

– задачи на нахождение углов;

– задачи, сводящиеся к нахождению длин дуг окружности;

– задачи на нахождение расстояний до недоступных объектов с использованием подобия;

– задачи на нахождение расстояний и углов с использованием табличных значений тригонометрических функций;

– задачи на нахождение площадей плоских и площадей поверхностей пространственных фигур;

– задачи на нахождение объемов пространственных фигур и др.

Задача 1

Какой угол образуют минутная и часовая стрелки часов в 19:00? Ответ дайте в градусах.

Алгоритм:

1. Разбить циферблат:

   • Полный круг = 360°

   • Между соседними часами = 360° / 12 = 30°

   • Между соседними минутами = 360° / 60 = 6°

2. Определить положение стрелок:

   • Часовая стрелка:  за каждый час смещается на 30° от отметки «12». В 19:00 часовая стрелка ровно на цифре 7.

     Отсчёт от 12:  7 часов × 30° = 210°  от верхней точки.

   • Минутная стрелка:  в 00 минут — на цифре 12, то есть 0° от верхней точки.

3. Найти разницу углов:

   • Угол часовой = 210° (от 12 по часовой)

   • Угол минутной = 0°

   • Разница:  |210° − 0°| = 210°

4. Выбрать меньший угол между стрелками (т.к. угол между стрелками ≤ 180°):
   Если разность > 180°, вычесть из 360°.
   210° > 180° ⇒ меньший угол = 360° − 210° = 150°

Решение:

• Часовая: 7 × 30 = 210°

• Минутная: 0°

• Разность = 210°

• 210° > 180° ⇒ угол = 360 − 210 = 150°

Ответ: 150°

От 12 до 7 — 7 делений циферблата (210° по часовой). Минутная на 12, разница 210°, но меньший путь через 11, 10... — 150°.

Задача 2

В колесе углы между соседними спицами равны. Сколько спиц в колесе, если угол между соседними спицами равен 30°?

Дано:
Угол между соседними спицами = 30°.
Найти количество спиц.

Решение:

1. Полный круг = 360°.

2. Полный круг делится на равные углы.

3. Количество спиц = полный круг / угол между соседними спицами:
   n=360°​/30°
   n=12

Ответ: 12 спиц

Рассмотрим тип задач с применением теоремы Пифагора.

"Пожарную лестницу длиной 13 м приставили к окну дома. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 5 м. На какой высоте находится верхний конец лестницы? Ответ дайте в метрах."

Мы имеем:

• Лестница  длиной 13 м — это  гипотенуза  прямоугольного треугольника.

• Расстояние от нижнего конца лестницы до стены  5 м — это  один катет  (прилегающий к земле).

• Высота, на которой лестница касается стены  — это  второй катет  (противолежащий к стене), который нам нужно найти.

Лестница, стена и земля образуют прямоугольный треугольник, где

• Гипотенуза c=13

• Катет a =5 м

• Катет b=? м (высота)

Земля и стена перпендикулярны друг другу.

Применяем теорему Пифагора

Формула: a² + b² = c²

Подставляем известные значения:
5² + b² = 13²

Вычисляем

25 + b² = 169

b² = 169 − 25

b² = 144

b = √144

b = 12 (так как длина положительна)

Ответ: 12 метров

Задача 2

На расстоянии 12 метров от дома вкопали столб высотой 7 метров. От вершины столба к стене дома протянули кабель и закрепили его на высоте 2 метра от земли. Найдите длину кабеля в метрах

Дано:
Расстояние от столба до дома: 12 м
Высота столба: 7 м
Высота крепления на доме: 2 м
Найти длину кабеля d.

Вертикальный катет: 7 − 2 = 5 м
Горизонтальный катет: 12 м

По теореме Пифагора:
d² = 12² + 5²
d² = 144 + 25
d² = 169
d = √169
d = 13

Ответ: 13 м

Алгоритм для подобных задач

1. Определить прямоугольный треугольник  в задаче.

2. Гипотенуза (c)  — обычно лестница, трос, наклонная плоскость.

3. Катеты (a и b)  — горизонтальное и вертикальное расстояния.

4. Записать: a² + b² = c²

5. Подставить известные числа , найти неизвестное.

6. Дать ответ с единицами измерения.

Дополнительно:

Задача

Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту l этого столба, если наименьшая высота h1 перил равна 1,55 м, а наибольшая высота h2 равна 2,55 м. Ответ дайте в метрах.

Условие:
Перила — наклонная линия (боковая сторона трапеции).
Нижняя высота h1 = 1,55 м.
Верхняя высота h2 = 2,55 м.
Столб стоит вертикально посередине перил по длине.
Найти высоту столба l.

Алгоритм решения:

1. Вспомнить формулу средней линии трапеции: Средняя линия = (основание1 + основание2) / 2.

2. Подставить данные: l = (h1 + h2) / 2.

3. Вычислить  и дать ответ в метрах.

Решение:

h1 = 1,55 м
h2 = 2,55 м
l = (h1 + h2) / 2
l = (1,55 + 2,55) / 2
l = 4,10 / 2
l = 2,05

Ответ: 2,05 м

Задача 1

Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту l этого столба, если высота h горки равна 3,6 м. Ответ дайте в метрах.

Дано:

Горка — это гипотенуза прямоугольного треугольника. Вертикальная высота h = 3,6 м. Столб стоит вертикально посередине горки.
Найти высоту столба l.

1 способ. Подобие треугольников

Треугольник ABC: AC вертикаль = h, AB — горка.
Точка E — середина AB, DE — столб вертикально, D — на земле.
Треугольник DBE подобен треугольнику ABC:
• Угол B общий
• Угол DEB = угол ACB = 90°, потому что DE параллельно AC.

Коэффициент подобия

Так как E — середина AB, то BE = (1/2) AB.
В подобных треугольниках отношение соответственных сторон равно:
l / h = BE / AB = (1/2) AB / AB = 1/2.

Вычисление

l / 3,6 = 1/2
l = 3,6 * (1/2)
l = 1,8

Ответ: 1,8 м

2 способ. Формула средней линии

Средняя линия = половина параллельной стороны.
DE = 1/2 * AC

l = 1/2 h
l = 1/2 3,6

l = 1,8

Ответ: 1,8 м

Именные теоремы — это теоремы, названные в честь математиков (или реже — других ученых), которые их открыли, доказали или в честь которых они были названы. Это своеобразный способ увековечить вклад ученого в науку.

АЛГЕБРА и ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Древний мир и Средневековье

Эпоха Возрождения и Новое время

ГЕОМЕТРИЯ

Классическая геометрия (Древняя Греция)

Геометрия Нового времени (16-19 века)

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Основатели анализа

Строгое обоснование анализа (18-19 века)

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

 2. Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

 3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Задача 1

.

Площадь параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷 равна 60. Точка 𝐸 — середина стороны 𝐴𝐷. Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐸. Ответ: 15

Задача 2

Ответ: 9

Задача 3

В параллелограмме 𝐴⁢𝐵⁢𝐶⁢𝐷 диагонали делят его углы пополам и равны 10 и 24. Найдите периметр параллелограмма 𝐴⁢𝐵⁢𝐶⁢𝐷.

1. Анализ условия

В параллелограмме ABCD сказано:

диагонали делят его углы пополам

В параллелограмме диагонали не являются биссектрисами углов (кроме частных случаев). Для параллелограмма диагонали делят углы пополам только если это ромб.

Задача 4

В параллелограмме 𝐴⁢𝐵⁢𝐶⁢𝐷 диагонали являются биссектрисами его углов, 𝐴⁢𝐵 =35, 𝐴⁢𝐶 =42. Найдите 𝐵⁢𝐷.

1. Понимание фигуры

В параллелограмме ABCD диагонали являются биссектрисами его углов. Такое возможно только в ромбе (в общем параллелограмме диагонали не делят углы пополам).

Дополнительно

Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

Задачи

1. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ОГЭ математике
2. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по базовой математике
3. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по профильной математике

Теорема Штейнера — Лемуса утверждает, что если в треугольнике две биссектрисы равны по длине, то этот треугольник равнобедренный.

Теорема была сформулирована К. Л. Лемусом и впоследствии доказана Якобом Штейнером. Доказательство появилось в работах этих немецких геометров в XIX веке. В 1840 году Лемус упомянул теорему в письме К. Штурму, попросив найти чисто геометрическое доказательство. Штурм передал запрос другим математикам, и Штейнер был одним из первых, кто предложил решение. В 1963 году журнал American Mathematical Monthly объявил конкурс на лучшее доказательство теоремы. Было прислано много работ, среди которых обнаружились интересные и ранее неизвестные подходы.

https://www.itmathrepetitor.ru/spravochnik-olimpiadnika-planimetri-2/