Прямоугольный треугольник: свойства, формулы и задачи
Дополнительно
медиана, биссектриса и высота
Особенным образом ведут себя медиана, биссектриса и высота, проведённые к гипотенузе.
Высота разбивает прямоугольный треугольник на два прямоугольных треугольника, которые подобны друг другу, то есть имеют одинаковую форму, но разные размеры. Причём эти два треугольника подобны не только друг другу, но и большому треугольнику тоже.
Биссектриса является не только биссектрисой самого треугольника, но и биссектрисой маленького треугольника, ограниченного медианой и высотой.
В прямоугольном треугольнике катеты равны 15 и 20. Найдите длину высоты, опущенной на гипотенузу этого треугольника.Решение. По теореме Пифагора находим гипотенузу: c= 25. Находим высоту: 15*20/25=12.
Острый угол 𝐵 прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 равен 25∘. Найдите величину угла между высотой 𝐶𝐻 и биссектрисой 𝐶𝐷, проведёнными из вершины прямого угла 𝐶. Ответ дайте в градусах. Решение: (90-25)-(90:2)=20
Острый угол 𝐵 прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 равен 65∘. Найдите величину угла между высотой 𝐶𝐻 и медианой 𝐶𝑀, проведёнными из вершины прямого угла 𝐶. Ответ дайте в градусах.Решение. Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы. Следовательно, треугольник AMC — равнобедренный с основанием AC, поэтому ∠ACM=∠A=25∘ .Высота CH образует два прямоугольных треугольника: ACH и BCH. Тогда ∠ACH=90 −25 =65. ∠HCM=65-25 =40 .
.
Между зданиями завода и склада, находящимися друг от друга на расстоянии 12 м, для подачи
материалов и готовых изделий установлен уличный автоматический транспортёр. Края креплений транспортёра находятся на высоте 9 м и 4 м от земли. Найдите длину транспортёра. Ответ дайте в метрах.
От столба высотой 9 м к дому натянут провод, который крепится на стене дома на высоте 3 м от
земли. Расстояние от дома до столба 8 м. Найдите длину провода. Ответ дайте в метрах.
От столба к дому натянут провод длиной 13 м, который закреплён на стене дома на высоте 4 м от земли. Найдите высоту столба, если расстояние от дома до столба равно 12 м. Ответ дайте в метрах.
Пожарную лестницу длиной 10 м приставили к стене дома. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 6 м. На какой высоте находится верхний конец лестницы? Ответ дайте в метрах. Решение: 100-36=64. Ответ 8 м.
Рекомендации
Ещё посты из ленты — читайте и открывайте по ссылке.
Каждое неравенство разбито на шаги: сначала ОДЗ, затем ветвление по основанию логарифма (a>1 или 0<a<1), упрощение и финальный вывод. На каждом шаге — четыре варианта ответа, правильный подсвечивается, неправильный показывает подсказку с указанием конкретной ошибки.
📈 Двойная интерактивная ось — главная фишка
В конце каждой задачи появляется интерактивный блок с двумя осями:
верхняя — параметр a (по ней двигается ползунок, красные зоны отмечают критические точки);
нижняя — переменная x, где цветом подсвечивается множество решений: зелёный — входит в ответ, серый — не входит, красные и зелёные точки — выколотые и включённые границы.
Двигая ползунок, вы в реальном времени видите, как «зелёная зона» решения сжимается, расширяется или вовсе исчезает при переходе через критическую точку и т.д.
Вкладка «Все» — быстрая самопроверка
Все 9 задач собраны в компактный список с кнопкой «Показать ответ» — удобно для повторения перед экзаменом или проверки себя без полного разбора.
Прогресс сохраняется автоматически
Все решённые задачи, текущая задача и активная вкладка восстанавливаются при следующем визите. Кнопка «Сбросить прогресс» — на вкладке «Все».
Квадратные уравнения с параметром — это уравнения, в которых помимо переменной (обычно обозначаемой как x) присутствуют параметры. Параметры — это буквы (например, a, b, c, k, m), конкретные числовые значения которых не заданы изначально и подлежат определению в соответствии с условием задачи. Важно понимать, что параметр — это не переменная, а неизвестная константа, значение которой может меняться от задачи к задаче. Часто требуется найти не одно конкретное число, а целый набор (интервал) значений параметра, при которых выполняются заданные условия относительно корней уравнения.
Давайте разберем основные особенности квадратных уравнений с параметром максимально подробно. Понимание этих «подводных камней» — ключ к тому, чтобы не терять корни и не получать лишние ответы.
В отличие от обычного уравнения, где коэффициенты — это конкретные числа, здесь они зависят от параметра. Это порождает три главные особенности.
Особенность 1. «Исчезающая квадратичность»
В стандартном квадратном уравнении ax2+bx+c=0 жестко задано условие a≠0. В уравнении с параметром коэффициент a может быть выражением с параметром, которое обращается в ноль при некоторых его значениях.
Суть: При одних значениях параметра уравнение — квадратное (имеет 0, 1 или 2 корня), а при других — превращается в линейное (имеет 0 или 1 корень) или даже вырождается в константу.
Алгоритм действий:
При решении любой задачи с параметром у квадратного уравнения первым делом нужно рассматривать два принципиально разных случая:
Случай A: Коэффициент при x2 равен нулю (уравнение НЕ квадратное).
Случай B: Коэффициент при x2 не равен нулю (уравнение квадратное).
Пример
Особенность 2. «Плавающий» дискриминант
В обычном уравнении дискриминант — это число. В уравнении с параметром дискриминант D(k) — это функция от параметра. Его знак может меняться в зависимости от k.
Что нужно контролировать:
D>0 — два различных действительных корня.
D=0 — один корень (два совпавших).
D<0 — нет действительных корней.
Важный нюанс про «один корень»:
Фраза «уравнение имеет один корень» в задачах с параметром всегда двусмысленна. Она может означать:
Дискриминант равен нулю (квадратный случай).
Уравнение выродилось в линейное (коэффициент при x2 = 0). Поэтому при ответе на вопрос «когда ровно 1 корень?» нужно объединить решения из Особенности 1 (случай линейного уравнения) и Особенности 2 (D=0).
Пример
Особенность 3. Неравенства Виета
Теорема Виета описывает связь между всеми корнями и коэффициентами. Она не работает, если уравнение потеряло квадратичность (случай a=0). Также она ничего не говорит о существовании корней (это делает дискриминант).
Золотое правило: Сначала через дискриминант находим, при каких параметрах корни существуют (D≥0), а затем применяем Виета для наложения дополнительных условий (знаки, сравнение с числом).
Краткий чек-лист при решении любой задачи:
Посмотри на коэффициент при x2. При каких значениях параметра он равен нулю? Запиши эти случаи и реши их отдельно (линейные уравнения).
Для случая a≠0: Найди дискриминант D.
Условие существования корней: D≥0. Реши это неравенство.
Примени условия задачи (положительность, сравнение с числом и т.д.) используя теорему Виета или формулу корней, не забывая про знак a.
Объедини результаты из пункта 1 (линейный случай) и пунктов 2-4 (квадратный случай).
Проверь граничные точки (особенно те, где D=0 или a=0) на вхождение в ответ — часто они требуют отдельной проверки подстановкой.
Примеры
Тренировочные задачи и материалы
Для закрепления материала рекомендуется решать разнообразные задачи. Ниже приведены ссылки на подборки заданий по теме "Квадратные уравнения с параметром", которые помогут отработать рассмотренные методы.
(отредактировано)
(отредактировано)
(отредактировано)
(отредактировано)
(отредактировано)
(отредактировано)
(отредактировано)
(отредактировано)