Оба утверждения исторически связывают с Фалесом Милетским, но в учебных задачах лучше опираться на принятую в нашей традиции формулировку: «Теорема о вписанном угле, опирающемся на диаметр» или «Свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр».
Квадратные уравнения — одни из древнейших математических объектов, изучение которых началось ещё в древних цивилизациях. Их типология и методы решения развивались на протяжении тысячелетий.
Рассмотрим основные типы квадратных уравнений и их исторические корни.
В «Трактате о доказательствах задач алгебры и алмукабалы» (перс. «Рисала фи-ль-бара̄хӣн ‘ала̄ маса̄’иль аль-джабр ва-ль-мука̄бала») Омар Хайям совершил прорыв в алгебре, систематизировав кубические уравнения и предложив геометрические методы их решения с помощью конических сечений (парабол, гипербол, окружностей).
Омар Хайям в своём труде дал классификацию 25 канонических видов уравнений. Из них 6 видов были известны ещё ал-Хорезми, 5 сводились к ним, а 14 — это кубические уравнения, для которых Хайям впервые дал геометрические методы решения.
Омар Хайям классифицировал квадратные уравнения, опираясь на традиции ал-Хорезми, и выделял шесть основных типов квадратных уравнений, в зависимости от наличия и расположения членов (квадрат, линейный член и свободный член). Для каждого типа он предлагал конкретные методы решения, главным образом используя метод «дополнения до квадрата».
Примечание: Хайям, как и ал-Хорезми (IX век), рассматривал только положительные коэффициенты и корни.
Ниже приведена таблица с пятью видами уравнений, которые по классификации Хайяма имеют степень 3 или 4, но допускают понижение порядка путём деления на x, x2 или замены переменной, и сводятся к квадратным уравнениям:
Омар Хайям придумал гениальный геометрический способ решения кубических уравнений — без сложных формул, только с помощью построения кривых!
Ниже приведена таблица с полным списком 14 типов кубических уравнений. Для каждого из этих уравнений Хайям подбирал пару конических сечений (параболы, гиперболы, окружности), пересечение которых давало геометрическое решение уравнения. Решение сводилось к построению на плоскости соответствующих кривых и нахождению их точек пересечения, что позволяло определить положительный корень.
Эта классификация стала основой для дальнейшего развития алгебры в трудах Шараф ад-Дина ат-Туси и европейских математиков Возрождения.
Почему Хайям не использовал y=x3?
Сложность построения
В XI веке не было координатной системы (её придумали только в XVII веке!), и кривые строили с помощью циркуля и линейки.
Параболу y=x2 или гиперболу x/y=k можно было задать геометрически (например, как сечения конуса).
А вот y=x3 не является коническим сечением — её сложно точно начертить без алгебры.
Неочевидность пересечений
Хайям искал положительные вещественные корни (отрицательные числа тогда не использовались).
Кривые вроде параболы y=x2 и окружности x2+y2=R давали наглядные точки пересечения.
Кубическая парабола y=x3 ведёт себя "неудобно": она слишком быстро растёт и сложнее пересекается с другими кривыми.
Леонардо Пизанский (около 1170–1250), более известный как Фибоначчи, описал эту задачу в своём труде «Liber Abaci» («Книга абака», 1202 г.). Задача стала знаменита тем, что породила последовательность чисел, названную в его честь.
Задача о кроликах (1202 г.)
В начале есть одна пара новорождённых кроликов (самец и самка). Условия модели:
Кролики достигают половой зрелости к концу второго месяца жизни.
Начиная со второго месяца и далее, каждая зрелая пара ежемесячно производит одну новую пару (самца и самку).
Кролики не умирают.
Пространство и ресурсы неограничены.
Вопрос: сколько пар кроликов будет через 1 год (12 месяцев)?
Решение:
Помесячный расчёт (первые 12 месяцев)
Месяц
Пары (всего)
Комментарий
1
1
Начальная пара, ещё не зрелая
2
1
Пара повзрослела, но потомства пока нет
3
2
Первая пара дала потомство: 1+1=2
4
3
2+1=3
5
5
3+2=5
6
8
5+3=8
7
13
8+5=13
8
21
13+8=21
9
34
21+13=34
10
55
34+21=55
11
89
55+34=89
12
144
89+55=144
Ответ: через год будет 144 пары кроликов.
История с кроликами у Фибоначчи — это не реальное биологическое наблюдение, а гипотетическая математическая модель, придуманная для иллюстрации числовой последовательности: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 и так далее до бесконечности. Намного позже, уже в XIX веке эту последовательность назвали «числами Фибоначчи». В честь последовательности назван астероид 6765 Фибоначчи.
День Фибоначчи отмечают 23 ноября (поскольку дата 11/23 напоминает начало последовательности: 1, 1, 2, 3…).
«Традиционное» стихотворение Фибоначчи состоит из 6 строк, в которых используется последовательность Фибоначчи, но поэты также использовали более 6 строк, но неизменным остаётся числовая последовательность. Если вы попробуете написать сонет Фибоначчи, то в 14-й строке будет 377 слогов!
Poets ~ fibonacci
That’s (1) what(1) poets (2) do they dream(3) whilst they are awake (5) then paint their white canvas with ink(8) adding tones and undertones to show love light and peace.(13)
Папирус Ахмеса — это, по сути, практическое руководство по арифметике и геометрии, созданное для писцов и мастеров. Его оригинал восходит к эпохе Среднего царства (примерно 1985–1795 гг. до н. э.), но до нас он дошёл в копии, сделанной около 1550 г. до н. э. писцом Ахмесом. В надписи на папирусе он скромно сообщает, что переписывает «совершенное и основательное исследование всех вещей, понимание их сущности, познание их тайн» — то есть не изобретает, а передаёт традицию.
Сегодня основная часть папируса хранится в Британском музее в Лондоне, а отдельные фрагменты — в Нью-Йорке. В нём содержится 84 задачи с решениями, и все они носят прикладной характер: от расчёта зерна до разметки полей.
Как египтяне считали дроби
Одна из самых ярких особенностей папируса — работа с дробями. Египтяне почти не использовали дроби вида 2/3, 3/4 и т. п. Вместо этого они стремились представить любую дробь как сумму аликвотных дробей — тех, у которых числитель равен 1. Например, вместо 3/4 писали 1/2 + 1/4.
В начале папируса есть специальная таблица разложения дробей вида 2/n на такие суммы. Это был своего рода «шпаргалка», без которой дальнейшие вычисления были бы крайне неудобны. Именно эта таблица занимает около трети всего свитка — настолько важной была работа с дробями для древних писцов.
Геометрия и приближение числа π
Египтяне умели вычислять площади и объёмы. Для прямоугольника, треугольника и трапеции у них были понятные методы. А вот с кругом всё интереснее: площадь круга они приравнивали к площади квадрата, сторона которого равна 8/9 диаметра круга.
Математически это выглядит так:
S круга ≈ (8/9·d)² = 64/81·d².
Поскольку площадь круга также равна πr² = π(d/2)² = π/4·d², то из египетского метода следует:
π/4 ≈ 64/81, откуда π ≈ 256/81 ≈ 3,16.
Это довольно хорошее приближение для своего времени — погрешность составляет менее 1%.
Также в папирусе встречаются задачи на нахождение объёма прямоугольного параллелепипеда и цилиндра — всё это было нужно для расчёта запасов зерна, строительства и распределения ресурсов.
Уравнения и метод ложного положения
Неизвестное в задачах обозначалось иероглифом «хау» («куча»). Египтяне решали линейные уравнения с одним неизвестным с помощью метода ложного положения: брали произвольное значение, считали результат, а затем корректировали его пропорционально. Это не абстрактная алгебра, а очень практичный вычислительный приём, который позже встречался и в других культурах.
Прогрессии и головоломки
В задаче №79 встречается знаменитая задача о семи домах, семи кошках, семи мышах и т. д. — она сводится к суммированию геометрической прогрессии: 7 + 49 + 343 + 2401 + 16807 = 19607. Это показывает, что египтяне не только решали практические задачи, но и имели интерес к занимательной математике.
🏛️ Московский папирус (Голенищева): более древний и удивительно точный
Московский математический папирус старше папируса Ахмеса примерно на 300 лет — его датируют около 1850 г. до н. э. Своё второе название — папирус Голенищева — он получил по имени русского востоковеда Владимира Семёновича Голенищева, который приобрёл его в 1893 году в Фивах и передал в коллекцию для России. Однако основная заслуга в его систематизации, расшифровке и введении в научный оборот принадлежит другим выдающимся российским учёным — в первую очередь Б. А. Тураеву и В. В. Струве. Именно Струве в 1930 году систематизировал папирус, разбив его на задачи и добавив к каждой своё решение.
Сейчас папирус хранится в Музее изобразительных искусств имени А. С. Пушкина в Москве. В постоянной экспозиции ГМИИ представлены фрагменты папируса, в том числе связанные с геометрическими задачами; задача №14 — одна из самых известных и часто упоминается в описаниях рукописи. Основная часть рукописи находится в фондах и по-прежнему изучается исследователями.
В папирусе содержится всего 25 задач, но некоторые из них поражают своей сложностью и точностью.
Объём усечённой пирамиды: редкая формула
Задача №14 Московского папируса посвящена вычислению объёма усечённой пирамиды с квадратным основанием. Египтяне использовали формулу, которая в современных обозначениях выглядит так:
V = h/3 · (a² + ab + b²),
где a и b — стороны оснований, а h — высота.
Это удивительно точное и нетривиальное достижение: формула верна, и её вывод требует немалой геометрической интуиции. До сих пор неясно, как египтяне её получили, но сам факт её использования говорит о высоком уровне их математических представлений. Эта формула встречается в античных источниках значительно позже; близкие вычислительные приёмы можно найти, например, в трудах Герона Александрийского (I век н. э.), что подчёркивает редкость и ценность египетского результата.
Некоторые исследователи предполагают, что египтяне могли вывести эту формулу эмпирическим путём — через измерение реальных пирамид и зернохранилищ, однако письменных свидетельств о способе её получения не сохранилось.
В Московском папирусе также есть задачи на вычисление площади треугольника, объёма призмы, а также несколько «арифметических» задач, в том числе на нахождение неизвестного числа — аналог задач «хау» из папируса Ринда.
Основные типы задач
Арифметические задачи
№ задач
Подтип
Пример формулировки
Метод решения
Контекст применения
1-6
Деление 1-9
1: "Раздели 1 хлеб на 10 частей для 10 мужчин."
1/10 хлеба на человека
Простейший пример обучения дробям.
7-20
Умножение дробей
19: "Умножь 1/12 на (1+1/3+2/3)"
Упрощение сложного множителя через сложение дробей.
Расчёт количества зерна для выпечки хлеба
21-23
Задачи на дополнение (нахождение недостающей части
21: "2/3 + 1/15 дополни до 1"
Использование аликвотных дробей: 4/15=1/5+1/15
Расчет недостающего зерна при распределении
30-40, 64
Деление на дробные выражения; хеката; хлебов
39: "Разница в долях при распределении 100 хлебов между 10 мужчинами"
