Тег #окружность сбросить

Определение: четырёхугольник называется описанным, если все его стороны касаются одной окружности. Эта окружность называется вписанной в четырёхугольник.

Задача 1

Ответ: 27*2=54

Задача 2

Задача 3

Задача 4

AB + CD=36:2

CD=18-7=11

Задача 5

10+14=8+DA

DA=24−8=16

Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

Задача 1

а) Угол A четырёхугольника ABCD , вписанного в окружность, равен 59°. Найдите угол C этого четырёхугольника.

б) Угол B четырёхугольника ABCD , вписанного в окружность, равен 87°. Найдите угол D этого четырёхугольника.

Задача 2

Ответ: 16+12=28

Задача 3

Около трапеции описана окружность → трапеция равнобедренная (только у равнобедренной трапеции есть описанная окружность).

38-(11*2)=16, 16:2=8.

Задача 4

Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

Дополнительно

Вписанные и описанные четырехугольники

Задача 1

Решение:

В четырёхугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна 180∘

Задача 2

Вписанный четырёхугольник обладает свойством: сумма противоположных углов равна 180∘

Углы BAD и BCD — противоположные (вершины A и C).

Задача 3

Если трапеция ABCD вписана в окружность, то она равнобедренная.
Это ключевое свойство: около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобедренная.

Задача 4

Ответ: 148

Задача 5

Дополнительно

Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

Задачи

1. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ОГЭ математике
2. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по базовой математике
3. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по профильной математике

Ответ: 2

Ответ: 6

Ответ: 16

Ответ: 1

Задача 1

Ответ:12

Ответ:3

Ответ: 23

Задача 1

Какой угол образуют минутная и часовая стрелки часов в 19:00? Ответ дайте в градусах.

Алгоритм:

1. Разбить циферблат:

   • Полный круг = 360°

   • Между соседними часами = 360° / 12 = 30°

   • Между соседними минутами = 360° / 60 = 6°

2. Определить положение стрелок:

   • Часовая стрелка:  за каждый час смещается на 30° от отметки «12». В 19:00 часовая стрелка ровно на цифре 7.

     Отсчёт от 12:  7 часов × 30° = 210°  от верхней точки.

   • Минутная стрелка:  в 00 минут — на цифре 12, то есть 0° от верхней точки.

3. Найти разницу углов:

   • Угол часовой = 210° (от 12 по часовой)

   • Угол минутной = 0°

   • Разница:  |210° − 0°| = 210°

4. Выбрать меньший угол между стрелками (т.к. угол между стрелками ≤ 180°):
   Если разность > 180°, вычесть из 360°.
   210° > 180° ⇒ меньший угол = 360° − 210° = 150°

Решение:

• Часовая: 7 × 30 = 210°

• Минутная: 0°

• Разность = 210°

• 210° > 180° ⇒ угол = 360 − 210 = 150°

Ответ: 150°

От 12 до 7 — 7 делений циферблата (210° по часовой). Минутная на 12, разница 210°, но меньший путь через 11, 10... — 150°.

Задача 2

В колесе углы между соседними спицами равны. Сколько спиц в колесе, если угол между соседними спицами равен 30°?

Дано:
Угол между соседними спицами = 30°.
Найти количество спиц.

Решение:

1. Полный круг = 360°.

2. Полный круг делится на равные углы.

3. Количество спиц = полный круг / угол между соседними спицами:
   n=360°​/30°
   n=12

Ответ: 12 спиц

Окружности с радиусами 5 и 7, расстояние между центрами 3 → нет общих точек. Это утверждение — неверное.

Некоторые думают:
«Если расстояние между центрами меньше меньшего радиуса, то одна окружность целиком внутри другой и общих точек нет».
Правильное рассуждение:

1. d<r → центр малой внутри большой

2. Но d>R−r → малая не целиком внутри большой, а частично выходит наружу → пересечение.

Условия взаимного расположения двух окружностей

Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 1, то эти окружности не пересекаются. Это утверждение — верное.

Для тренировки:

• R=8,r=3,d=4

• R=6,r=2,d=8

• R=10,r=4,d=6

Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра до прямой равно 2, то прямая и окружность пересекаются. Это утверждение — верное

Условия взаимного расположения прямой и окружности

Применяем к нашему случаю

R=3,d=2

2<3⇒d<R

Значит, прямая пересекает окружность в двух точках.

Для тренировки:

• R=4,d=5

• R=2.5,d=2.5

• R=6,d=4

Способ 1

Нужно найти угол ∠EFG, то есть угол с вершиной в точке F, между сторонами FE и FG.

Значит, каждый внутренний угол восьмиугольника равен 135∘. Угол EFG — это внутренний угол при вершине F (потому что FE и FG — стороны восьмиугольника).Поэтому ∠EFG=135∘.

Способ 2

Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Центральный угол между соседними вершинами: 360:8=45.

Угол EFG опирается на большую дугу EG и является вписанным, поэтому равен половине угла EOG : 6*45:2=135.

Задача 2

Способ 1

I признак четырехугольника, вписанного в окружность:

Четыре точки лежат на одной окружности, если два противоположных угла в сумме дают 180∘ .

Тогда угол HEJ равен 180-144=36.

Способ 2

Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность. Центральный угол между соседними вершинами: 360:10=36.

Угол HEJ опирается на ту же дугу что и центральный угол HOJ (36*2) и является вписанным, поэтому равен половине угла HOJ : 36*2:2=36.

Задача 3

Ответ: 147