Геометрическая прогрессия: теория и практика

За каждым заданием второй части профильного ЕГЭ по математике уже давно закрепилось неофициальное название: так, задание 16 учителя и учащиеся называют экономической задачей. Это название объединяет задачи на кредиты и вклады, а также задачи на оптимизацию.

Презентация: https://www.abiturient.ru/upload/content/abiturient_ru/EGE/2017Zan17.pdf

Кредит банка – сумма денежных средств, которую заёмщик обязуется вернуть банку в соответствии с условиями заключённого договора (проценты, сроки промежуточных платежей и др.). Платёж по кредиту состоит из основного долга и процентов. Основной долг — это размер кредита. А проценты — это сумма, которую берет банк за пользование кредитом. 

Основные понятия

S — сумма кредита или вклада (в рублях)
r — процентная ставка (например, 10% → r=10 )
k = 1 + r/100 — коэффициент роста долга/вклада (например, при 10% → k=1.1 )
n — количество периодов (лет, месяцев)
x — размер платежа (если аннуитетный)
d = S/n — ежемесячное (ежегодное) погашение основного долга (для дифференцированного)

Задача 16 2026Я- в1

Задача 16 2026Я- в3

Задача 16 2026Я- в4

Задача 16 2026Я- в5

Задача 16 2026Я- в7

Задача 16 2026Я- в9

Задача 16 2026Я- в11

Задача 16 2026Я- в13

Задача 16 2026Я- в15

Задача 16 2026Я- в19

Дополнительно

• №16 из ЕГЭ 2024: https://3.shkolkovo.online/catalog/7172

• Дифференцированные платежи: плавающая ставка
• Рекомендации по подготовке к выполнению задания №16 (финансово-экономические задачи) ЕГЭ профильного уровня
• Колесникова С.И. Экономические задачи ЕГЭ / С.И. Колесникова. - М.: ООО «Азбука-2000», 2019. - 32 с. (Серия «МФТИ помогает готовиться к ЕГЭ»).
• Морозов. Приемы решения экономических задач и задач прикладного характера
• Яковлев. Экономические задачи на ЕГЭ по математике

В задачах на совместную работу обычно рассматриваются процессы, выполняемые несколькими участниками (рабочими, трубами, механизмами и т. д.).

Ключевая идея — определить, какую часть работы каждый участник выполняет за единицу времени (производительность), а затем найти общий результат.

Основная формула, связывающая работу, время и производительность:

A=P⋅t

где:

• A  — объем работы (например, "1 работа" или конкретное количество деталей),

• P  — производительность (работа в единицу времени),

• t  — время выполнения работы.

Основные понятия

• Совместная работа  — сумма производительностей.

Основные типы задач

Тип 1. Один работник выполняет работу

Дано время выполнения работы, нужно найти производительность или объем работы.

Задание 1

Тип 2. Два объекта работают вместе

Их производительности складываются.

Задание 2

Задание 10 2026Я - в9

Задание 10 2026Я - в19

Задание 3

Два станка изготавливают детали. Первый делает 20 деталей в час, второй — 30. Сначала первый работал 2 часа один, потом оба вместе ещё 3 часа. Сколько всего деталей они изготовили?

Тип 3. Один начинает, другой присоединяется позже

Нужно учесть, сколько работы сделано до подключения второго.

Задание 4
Первый рабочий выполняет работу за 10 часов. Он работал 4 часа один, потом подключился второй, и вместе они закончили работу за 2 часа. За сколько часов выполнит работу второй рабочий?

Решение:

Задание 5
Один рабочий выполняет работу за 10 часов, второй — за 15. Первый начал работу, а через 2 часа к нему присоединился второй. За сколько часов работа будет выполнена?

Тип 4. Работа с перерывами или разными режимами

Задание 6
Два экскаватора, работая вместе, могут вырыть котлован за 12 часов. Если первый проработает 8 часов, а второй — 10 часов, они выполнят 80% работы. За сколько часов каждый выроет котлован один?

Решение

Задание 10 2026Я - в13

Задание 10 2026Я - в23

Задание 10 2026Я - в33

Тип 5. Задачи на бассейны и трубы

Аналогичны задачам на работу: трубы могут наполнять (+) или опорожнять (–) бассейн.

Задание 7
Первая труба наполняет бассейн за 4 часа, вторая — за 6 часов. За сколько часов наполнится бассейн при совместной работе?

Задание 8

Задание 9

Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 480 литров она заполняет на 8 минут дольше, чем вторая труба?

Дано:

• Первая труба пропускает x литров воды в минуту.

• Вторая труба пропускает x+2 литра воды в минуту.

• Объём резервуара: 480 литров.

• Первая труба заполняет резервуар на 8 минут дольше, чем вторая

Составим уравнение на основе времени заполнения резервуара:

Упростим уравнение:

Решим квадратное уравнение:

Ответ:
Первая труба пропускает 10​ литров воды в минуту.

Задание 10 2026Я - в3

Задание 10 2026Я - в21

Дополнительно:

• Выговская В.В. Сборник практических задач по математике: 6 класс. - М.: ВАКО,
  2012. - 64 с.

• Шестаков С. А. ЕГЭ 2020. Математика. Задачи на составление уравнений. Задача 10 (профильный уровень). Рабочая тетрадь / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2020.—
  80 с

• Шестаков С. А. ЕГЭ 2018. Математика. Задачи на составление уравнений. Задача 10 (профильный уровень). Рабочая тетрадь / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2018.

Задача 1

Имеется творог двух сортов. Жирный содержит 20% жира а нежирный содержит 5% жира. Определите процент жирности получившегося творога, если смешали: а) 2 кг жирного и 3 кг нежирного творога, б) 3 кг жирного и 2 кг нежирного творога.

Ответ: а) 11%, б) 14%

Задача 2

Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 35 кг раствора кислоты различной концентрации. Если смешать оба раствора, то получится раствор, содержащий 46% кислоты. Если смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Какова концентрация данных растворов?

Шаг 1. Обозначим переменные

Пусть:

• x — концентрация первого раствора (в долях),

• y — концентрация второго раствора.

Массы: m1=30 кг, m2=35 кг.

Шаг 5. Перевод в проценты

x=60%,y=34%

Ответ: Первый раствор: 60%, второй раствор: 34%.

Задача 10 2026Я- в5

Задача 10 2026Я- в17

Задача 10 2026Я- в29

Дополнительно

Задача 10 2026Я - в1

Задача 10 2026Я - в2

Задача 10 2026Я - в7

Задача 10 2026Я - в11

Задача 10 2026Я - в15

Задача 10 2026Я - в16

Задача 10 2026Я - в25

Задача 10 2026Я - в27

Задача 10 2026Я - в31

Задача 10 2026Я - в35

Дополнительно:

• Колесникова Софья Ильинична. Текстовые задачи на движение