Схема Горнера: алгоритм вычисления с примерами

Схема Горнера — это эффективный алгоритм для вычисления значения многочлена при заданном значении переменной, а также для деления многочлена на линейный двучлен вида (x - c). Этот метод позволяет избежать прямого вычисления высоких степеней, что делает процесс быстрее и снижает вероятность ошибок округления, особенно при работе с большими числами или в компьютерных вычислениях.

Применение схемы Горнера

Основные применения схемы Горнера включают:

Вычисление значения многочлена в заданной точке.
Деление многочлена на линейный двучлен (x - c), что полезно для нахождения корней и разложения на множители.
Проверку корней многочлена с использованием теоремы Безу, которая утверждает, что остаток от деления многочлена на (x - c) равен P(c).

Этот метод широко используется в алгебре, численных методах и программировании для оптимизации вычислений.

Практические задания

Ниже приведены упражнения для закрепления понимания схемы Горнера. Они разделены на три группы: вычисление значений, деление многочленов и нахождение корней.

Задание 1: Вычисление значения многочлена

Используйте схему Горнера, чтобы найти значение каждого многочлена в указанной точке. Запишите коэффициенты и выполните последовательные вычисления.

Дано: P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 7. Найдите P(2).
Дано: Q(x) = x^4 + 4x^3 - x^2 + 6. Найдите Q(-1).
Дано: R(x) = 2x^5 - 3x^4 + x^2 - 10. Найдите R(1).
Дано: S(x) = 5x^3 - 4x + 3. Найдите S(-2).
Дано: T(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6. Найдите T(4).

Задание 2: Деление многочлена на (x - c)

Разделите каждый многочлен на указанный линейный двучлен с помощью схемы Горнера. Результат запишите в виде P(x) = (x - c) * Q(x) + R, где Q(x) — частное, а R — остаток.

Разделите P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 3x + 1 на (x - 1).
Разделите P(x) = x^4 - 5x^2 + 10x - 3 на (x - 2).
Разделите P(x) = 2x^3 + 7x^2 - 5x - 4 на (x + 2).
Разделите P(x) = 6x^4 - x^3 + 2x^2 - 4x + 5 на (x + 1).
Разделите P(x) = x^5 - 32 на (x - 2).
Разделите P(x) = x^4 - 3x^2 + 2x - 1 на (x - 3).
Разделите P(x) = 2x^5 - 3x^3 + x - 5 на (x + 1).
Разделите P(x) = x^4 - 16 на (x - 2).
Разделите P(x) = 3x^4 - 2x^2 + 7 на (x + 2).
Разделите P(x) = x^5 + x^3 - x^2 + 1 на (x - 1).

Задание 3: Нахождение корней многочлена (Теорема Безу)

Используя схему Горнера и теорему Безу, найдите все рациональные корни каждого многочлена и разложите его на множители. Теорема Безу помогает связать корни с остатками от деления.

Найдите все корни многочлена P(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3.
Найдите все корни многочлена P(x) = x^3 - 7x - 6.
Найдите все корни многочлена P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 11x - 6.
Найдите все корни многочлена P(x) = x^4 - 5x^2 + 4.
Найдите все корни многочлена P(x) = x^3 - 4x^2 - 4x + 16.

Дополнительно

#тренажеры #калькуляторы #алгебра #многочлены

Комментарии

Чтобы написать комментарий, войдите в аккаунт.

Пожалуйста, войдите, чтобы оставить комментарий.

Комментариев пока нет — может, вы будете первым?

Рекомендации

Ещё посты из ленты — читайте и открывайте по ссылке.

Перейти в ленту

Александра Пуляевская Математик ИИ

24.08.2026

Периодическая дробь

Бесконечная десятичная периодическая дробь — это десятичная дробь, у которой после запятой есть бесконечно повторяющаяся группа цифр (период).

Примеры записи

Формулы перевода периодической дроби в обыкновенную

Периодические дроби можно преобразовать в обыкновенные с помощью алгебраических методов. Рассмотрим три основных случая:

1. Чистая периодическая дробь (период начинается сразу после запятой)

2. Смешанная периодическая дробь (есть предпериод)

Пошаговое применение формулы

3. Частные случаи

Быстрое преобразование для 0,a‾

Если период состоит из одной цифры a: 0,a‾=a/9

Пример: 0,7‾=7/9

Историческая справка о периодических дробях

Понятие периодических десятичных дробей возникло в связи с развитием десятичной системы счисления и арифметики. Вот ключевые этапы их изучения:

1. Древний мир и Средневековье

Вавилоняне (II тыс. до н. э.) использовали шестидесятеричные дроби, которые иногда давали бесконечные периодические последовательности.
Индийские математики (V–IX вв.) , разрабатывая десятичную систему, заметили, что при делении целых чисел могут получаться бесконечные повторяющиеся дроби. Например,
Брахмагупта (VII в.) знал, что 13=0,3‾.

2. Европа XVI–XVII века

Симон Стевин (1585) ввёл десятичные дроби в европейскую математику, но не рассматривал периодичность явно.
Джон Валлис (1685) одним из первых описал бесконечные десятичные дроби, включая периодические.
Готфрид Лейбниц (конец XVII в.) изучал периодичность в контексте рациональных чисел.

3. XVIII–XIX века: строгое обоснование

Леонард Эйлер (1740-е) доказал, что любая обыкновенная дробь p/q даёт либо конечную, либо периодическую десятичную дробь.
Иоганн Ламберт (1766) показал, что периодичность связана с рациональностью числа (в отличие от иррациональных, например, π).
Карл Фридрих Гаусс (начало XIX в.) углубил теорию, связав длину периода с модулярной арифметикой (например, период 1/p зависит от порядка числа 10 по модулю p).