Приёмы быстрого вычисления квадратных корней

Метод подбора

Это самый интуитивный способ, идеально подходящий для быстрого приближения.

Алгоритм:

1. Найдите два ближайших к вашему числу 

   полных квадрата

    (числа, из которых корень извлекается нацело).

2. Корень будет находиться между корнями этих чисел.

3. Оцените, насколько ваше число ближе к одному квадрату, чем к другому.

Пример: Найти √50.

1. Ближайшие полные квадраты: 49 (7²)  и 64 (8²). Значит, √50 лежит между 7 и 8.

2. 50 - 49 = 1, а разница между квадратами 64 - 49 = 15.

3. Число 50 очень близко к 49, поэтому корень будет чуть больше 7. Можно оценить как 7.1.

4. Проверим: 7.1² = 51.41 (многовато).

5. Попробуем 7.05² = 49.7025 (уже ближе).

6. Попробуем 7.07² = 49.9849 (очень близко).

7. Попробуем 7.08² = 50.1264 (уже перебор).

8. Вывод:  √50 ≈ 7.07

Метод "удвоения-деления" (упрощённый вавилонский метод)

• Древний Вавилон (~1800-1600 до н.э.):

   Самые ранние свидетельства использования этого алгоритма найдены на глиняных табличках, в частности на табличке YBC 7289, где вычисляется √2 с точностью до шести десятичных знаков. Вавилоняне использовали его для расчётов в архитектуре и астрономии.

• Герон Александрийский (I век н.э.):

   Опираясь на вавилонские источники или независимо, Герон подробно описал этот метод в своей работе «Метрика». В Европе метод стал широко известен под названием «метод Герона»

  .

Применимо: Для любых чисел, быстро и с хорошей точностью.

Суть метода: Он основан на геометрической идее: если вы возьмёте прямоугольник со площадью S и сторонами n и S/n, то среднее арифметическое этих сторон даст сторону квадрата с площадью, близкой к S. Повторение процесса уточняет результат.

Быстрая оценка (метод подбора)

• Исаак Ньютон (1643-1727):

   Разработал общий метод решения уравнений  (метод Ньютона-Рафсона). Для функции 

  f(x) = x² - S  его метод принимает вид:

  xₙ₊₁ = xₙ - (xₙ² - S)/(2xₙ) = (xₙ + S/xₙ)/2

  Это в точности метод Герона

  .

• Брук Тейлор (1685-1731):

   Формализовал идеи Ньютона в ряд Тейлора. Если взять разложение функции 

  f(X) = √X  в точке a²  и ограничиться первым членом, получится:

  √X ≈ a + (X - a²)/(2a)

  Это и есть формула быстрой оценки

  .

Применимо: Для чисел, близких к полным квадратам.

Алгоритм:

1. Найдите ближайший известный квадрат.

2. Используйте линейную поправку.

Канадский метод

Этот метод алгебраически тождественен методу «быстрой оценки». Подставив a = √S, получим:
a + (X - a²)/(2a) = √S + (X - S)/(2√S)

Пример 1: Вычисление √50

Истинное значение: √50 ≈ 7.071067811865

Быстрая оценка (a + b/2a)

• a = 7  (т.к. 7² = 49 ≤ 50)

• b = S - a² = 50 - 49 = 1

• √50 ≈ 7 + 1/(2×7) = 7 + 1/14 ≈ 7 + 0.07142857 = 7.07142857

• Погрешность:  +0.00036076

Канадский метод

• S = 49  (ближайший квадрат)

• √50 ≈ 7 + (50 - 49)/(2×7) = 7 + 1/14 = 7.07142857

• Погрешность:  +0.00036076

Пример 2: Вычисление √145

Истинное значение: √145 ≈ 12.0415945788

Быстрая оценка (a + b/2a)

• Берём a=10  (круглое число).

• √145 ≈ 10 + (145 - 100)/20 = 10 + 45/20 = 10 + 2.25 = 12.25

• Погрешность:  +0.208405

Канадский метод

• найти точный квадрат.  12²=144  (ближе всего к 145).

• √145 ≈ 12 + (145-144)/24 = 12 + 1/24 ≈ 12 + 0.0416667 = 12.0416667

• Погрешность:  +0.00007209

Разложение на множители

Применимо: Если число можно упростить.

Быстрый расчёт корней от чисел, близких к 100

Корни от десятичных дробей

Практикум