Общий алгоритм
Определите интервалы постоянства знаков функций внутри модулей (четверти для sin/cos).
Раскройте модули в каждом интервале, решите уравнение.
Проверьте, чтобы корни принадлежали соответствующему интервалу.
Объедините допустимые решения с учётом периода 2πn.
Пример: |sin x| + |cos x| = 1
Алгоритм:
Разбей окружность на четверти, где знаки sin и cos постоянны:
I: [0; π/2] → sin ≥ 0, cos ≥ 0
II: [π/2; π] → sin ≥ 0, cos ≤ 0
III: [π; 3π/2] → sin ≤ 0, cos ≤ 0
IV: [3π/2; 2π] → sin ≤ 0, cos ≥ 0
Раскрой модуль в каждой четверти:
I: sin x + cos x = 1
II: sin x – cos x = 1
III: –sin x – cos x = 1 → sin x + cos x = –1
IV: –sin x + cos x = 1
Реши каждое уравнение и проверь, попадает ли корень в свой интервал:
I: sin x + cos x = 1 → возведём в квадрат:
1 + 2 sin x cos x = 1 → sin 2x = 0 → x = 0, π/2 (оба в I четверти)
II: sin x – cos x = 1 → аналогично → x = π/2, π → только x = π/2 уже учтено, x = π :
|0| + |–1| = 1 — верно!
III: sin x + cos x = –1 → x = π, 3π/2 → x = 3π/2 :
|–1| + |0| = 1 — верно!
IV: –sin x + cos x = 1 → x = 0, 3π/2 — уже учтены
Объедини все решения и учти период
2π.
✅ Ответ: x = πn/2, n ∈ ℤ
(то есть x = 0, π/2, π, 3π/2, 2π...)
💡 Геометрический смысл: сумма модулей равна 1 только в точках осей координат на единичной окружности.
Комментариев пока нет — может, вы будете первым?