NITFORYOU - Образование и информационные технологииЦифровизация образования: обзоры платформ, LMS-систем и нейросетей в учебе. NITFORYOU — главное медиа об информационных технологиях в образовательной сфере
Самая распространенная и грубая ошибка. Всегда выписывайте ОДЗ в начале решения.
Отсутствие проверки.
Найденные корни обязательно нужно проверить на соответствие ОДЗ. Даже если вы решили всё правильно, может найтись посторонний корень.
Неаккуратное преобразование.
При умножении на общий знаменатель будьте внимательны: умножать нужно все слагаемые уравнения (и в левой, и в правой части).
Использование пропорции.
Если уравнение имеет вид пропорции A/B = C/D, можно использовать основное свойство пропорции: A * D = B * C. Но не забывайте, что при этом тоже действуют ограничения B ≠ 0 и D ≠ 0
Функция f(x) показывает значение величины в точке.
Производная f'(x) х показывает скорость изменения этой величины. Геометрически — это
угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной к графику f(x) в точке x.
Как по графику f(x) понять, где f'(x) положительна, отрицательна или равна нулю?
Смотрим на наклон касательной к графику f(x):
f'(x) > 0 (Производная положительна):
График f(x) возрастает на этом промежутке (при движении слева направо он идет вверх).
Касательная к графику образует острый угол с положительным направлением оси OX.
f'(x) < 0 (Производная отрицательна):
График f(x) убывает на этом промежутке (при движении слева направо он идет вниз).
Касательная к графику образует тупой угол с положительным направлением оси OX.
f'(x) = 0 (Производная равна нулю):
Это точки экстремума (максимума или минимума) или точки перегиба (редко, но бывает).
Касательная к графику в этой точке горизонтальна.
Чаще всего это вершины "горок" (максимумы) и впадины "ложек" (минимумы).
Как по графику f'(x) понять, что происходит с функцией f(x)?
Это обратная задача, но она решается по тем же принципам.
Где график f'(x) лежит ВЫШЕ оси OX (f'(x) > 0):
Функция f(x) возрастает.
Где график f'(x) лежит НИЖЕ оси OX (f'(x) < 0):
Функция f(x) убывает.
Где график f'(x) ПЕРЕСЕКАЕТ ось OX (f'(x) = 0):
У функции f(x) в этой точке возможен экстремум (максимум или минимум). Это "критическая точка".
Связь экстремумов f(x) с графиком f'(x)
Это самое важное практическое применение.
Точка максимума f(x): Производная f'(x) меняет знак с "+" на "-" при переходе через эту точку. График f'(x) пересекает ось OX сверху вниз.
Точка минимума f(x): Производная f'(x) меняет знак с "-" на "+" при переходе через эту точку. График f'(x) пересекает ось OX снизу вверх.
Важно: Если f'(x) не меняет знак при переходе через точку, где f'(x)=0 (например, f'(x) = x³ в точке 0), то это точка перегиба, а не экстремум.
Как по графику f'(x) понять, где f(x) выпукла вверх или вниз?
Выпуклость функции f(x) определяется знаком второй производной f''(x). А вторая производная — это производная от первой, то есть скорость изменения самой производной f'(x).
f(x) выпукла вниз (как чашка ∪):
Это означает, что f''(x) > 0.
На графике f'(x) это соответствует участкам, где сама производная возрастает (график f'(x) идет вверх).
f(x) выпукла вверх (как крыша ∩):
Это означает, что f''(x) < 0.
На графике f'(x) это соответствует участкам, где сама производная убывает (график f'(x)
идет вниз).
Точка перегиба f(x):
Это точка, где меняется выпуклость.
На графике f'(x) этой точке соответствует экстремум (максимум или минимум), так как именно в ней производная f'(x) меняет своё поведение с возрастания на убывание или наоборот.
Примеры для закрепления
Посмотрите на график ниже.
Пример 1
Давайте проанализируем функцию f(x), глядя на график её производной f'(x).
Что мы видим на графике f'(x)?
Что это означает для функции f(x)?
f'(x) > 0 (выше оси OX) - f(x) возрастает
f'(x) < 0 (ниже оси OX) - f(x) убывает
Если производная положительна на промежутке, то функция на этом промежутке возрастает. Среди указанных точек производная положительна в точках x4, x5, x6. Таких точек всего три.
Пример 2
Давайте проанализируем функцию f(x), глядя на график её производной f'(x).
Что мы видим на графике f'(x)?
Что это означает для функции f(x)?
f'(x) = 0 (пересекает OX) - Критическая точка (возможен экстремум или перегиб)
f'(x) меняет знак с + на - - Локальный максимум f(x)
f'(x) меняет знак с - на + - Локальный минимум f(x)
На отрезке [−18; 1] производная обнуляется пять раз: в точках x1 = −16, x2 = −13, x3 = −9, x4 = −3, x5 = −1. В точке x1 = −16 производная поменяла знак с «–» на «+». В точке x2 = −13 производная поменяла знак с «+» на «–». В точке x3 = −9 производная поменяла знак с «–» на «+». В точке x4 = −3 производная поменяла знак с «+» на «–». В точке x5 = −1 производная поменяла знак с «–» на «+». Значит, x1 = −16, x3 = −9, x5 = −1 — точки минимума на отрезке [−18; 1]. Таким образом, функция f(x) имеет 3 точки минимума, принадлежащих отрезку [−18; 1].
Пример 3
Производная в точке — это тангенс угла наклона касательной к графику функции в этой точке.
Если касательная идёт вверх, производная положительна.
Если касательная идёт вниз, производная отрицательна.
Чем круче наклон (вверх или вниз), тем больше по модулю производная.
Нам нужно найти точку с наибольшим значением производной:
На промежутках возрастания функции производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна, следовательно, нужно сравнить значение производной в точках на промежутках возрастания — в точках x = −4 и x = 5.
Значение производной в x = x0 равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке x0, следовательно, среди положительных значений оно больше в той точке, где угол наклона касательной больше. Если провести касательные к данному графику в точках x = −4 и x = 5, то угол наклона касательной в точке x = 5 будет больше, следовательно, и значение производной в этой точке будет больше.
Выполнение условия задачи для любого значения параметра означает его выполнение для некоторого «удобного» значения, т. е. основная наша задача состоит в нахождении «удобного» значения параметра, который в дальнейшем позволит указать решения исходной задачи.
Ключевые слова: «при любом значении параметра» или «для всех х ».
Пусть в задаче требуется определить значения параметра (или нескольких параметров), при которых уравнение (или неравенство) выполняется при всех допустимых значениях переменной x. Естественно попытаться подставить в него удобные значения переменной x, получив при этом необходимые условия на параметры.
Трансцендентное уравнение — это уравнение, которое содержит хотя бы одну трансцендентную функцию. Трансцендентные функции — это функции, которые нельзя представить как конечную комбинацию алгебраических операций над переменной. К ним относятся, например, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Рассмотрим уравнения, в котором неизвестная переменная содержится:
Семенов Андрей Викторович, Юрченко Евгений Владимирович. Материалы курса «Система подготовки к ЕГЭ по математике» : лекции 5–8. – М. : Педагогический университет «Первое сентября», 2009. – 80 с.
Задачи этого раздела вызывают наибольшие затруднения. Речь в них идет о составлении смесей, сплавов, растворов и т. д. Решение этих задач связано с понятиями «концентрация», «процентное содержание», «влажность» и т. д.
