Популярное Новое

Логарифмическое уравнение — уравнение, в котором неизвестная переменная находится под знаком логарифма или в его основании.

Понятие логарифма было введено в начале XVII века шотландским математиком Джоном Непером. Его работа «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 г.) произвела революцию в вычислениях, позволив заменить трудоемкое умножение и деление на сложение и вычитание. Позже, благодаря трудам Эйлера, была установлена связь между логарифмами и показательной функцией.

Особенности логарифмических уравнений

1. ОДЗ (область допустимых значений) — обязательное условие. Без проверки ОДЗ решение может быть неверным.

   • Аргумент логарифма >0

   • Основание >0 и ≠1

2. При потенцировании (избавлении от логарифмов) могут появиться посторонние корни.

3. Нельзя логарифмировать обе части, если они не гарантированно положительны.

Алгоритм решения (общий план)

1. Найти ОДЗ (все условия для аргументов и оснований).

2. Преобразовать уравнение к виду, удобному для потенцирования или замены.

3. Решить полученное алгебраическое уравнение.

4. Проверить каждый корень по ОДЗ (обязательно!).

5. Выписать ответ.

Типы логарифмических уравнений

Тип 1. Простейшие

Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.

Тип 2. Потенцирование

Тип 3. Использование свойств (сумма/разность логарифмов)

Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.

Обратить внимание на типичные ошибки

Примеры

Тип 4. Замена переменной

Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.

Тип 5. Уравнения с переменным основанием

ЕГЭ 2020. Математика. Уравнения и системы уравнений. Задача 13 (профильный уровень) / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2020. — 176 с

Тип 6. Логарифмирование обеих частей

Применяется, когда переменная и в основании, и в показателе степени.

Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.

Тип. 7. Переход к новому основанию

ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. Решение уравнений и неравенств - Садовничий Ю.В.

Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.

• 
  Приемы вычислений логарифмов: основные методы и примеры
  Что больше: log ⁡10 999 или log⁡ 2 10? Дополнительно uprazhneniya-s-logarifmami-2wk4ng6sgz.pdf pokazatelnye-i-logarifmicheskie-uravneniya-isfrkdkzmr.pdf log-osh0tnvc8z.pdf…
  Автор: Александра Пуляевская

Дополнительно

1. https://школадобра.рф/wp-content/uploads/2019/12/показательная-и-логарифмическая-функции.pdf
2. https://doroga-v-shkolu.ru/images/dokumenty/200/063.pdf
3. https://dgunh.ru/content/glavnay/ucheb_deyatel/uposob/up-matem-3.pdf
4. https://школадобра.рф/wp-content/uploads/2019/12/показательная-и-логарифмическая-функции.pdf
5. https://fm11.ucoz.ru/11math4UM.pdf
6. https://mathcourse.ru/wp-content/uploads/2022/10/zadanie-6-preobrazovanie-logarifmicheskih-vyrazhenij.pdf

Тип 1

Примеры

Тип 2

Пример

Тип 3

• shestakov-neravenstva.pdf

ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. Решение уравнений и неравенств - Садовничий Ю.В.

Дополнительно

Что больше: log_⁡10999 или log⁡₂10?

Дополнительно

• matematika_-poluchit-maks_-ball-egje_semenov-a_v_-i-dr_2015-128s.pdf

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 6 | Сборник И.В. Ященко 2026 г. Вариант 16

https://3.shkolkovo.online/catalog/4149

З.Л. Коропец, А.А. Коропец, Т.А. Алексеева. НЕСТАНДАРТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ И ИХ СИСТЕМ

Напомним свойства:

• 
  Логарифмические неравенства с постоянным основанием: решение и примеры
  Автор: Александра Пуляевская
• 
  Логарифмические неравенства с переменным основанием
  Тип 1 Примеры Тип 2 Пример Тип 3 shestakov-neravenstva.pdf Дополнительно Показательные_логарифмические_уравнения_и_неравенства.pdf urav_i_nerav.pdf…
  Автор: Александра Пуляевская

Дополнительно

• matematika_-poluchit-maks_-ball-egje_semenov-a_v_-i-dr_2015-128s.pdf
• metod-raczionalizaczii.pdf
• logarifmicheskoe-neravenstvo.pdf
• ump_spo-5.pdf
• pokazatelnye_logarifmicheskie_uravneniya_i_neravenstva.pdf
• metodika-resheniya-zadach-logarifmicheskie-neravenstva.pdf

В русскоязычной школьной традиции «теоремой Фалеса» называют утверждение о пропорциональных отрезках при параллельных прямых.

^{https://ege-mobile.maximumtest.ru/v1/content/image/72418db0-1180-4acf-9285-43cc4491c5a9}

В англоязычной литературе (Thales’ theorem) этим именем чаще называют свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр.

^{https://www.kp.ru/edu/shkola/tsentralnye-i-vpisannye-ugly/}

Оба утверждения исторически связывают с Фалесом Милетским, но в учебных задачах лучше опираться на принятую в нашей традиции формулировку: «Теорема о вписанном угле, опирающемся на диаметр» или «Свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр».

Рассмотрим обе теоремы и разберем задачи.

Дополнительно

Пока опубликован проект демоверсии.  

Внесены следующие изменения.

• В часть 1 добавлены задание 6, проверяющее умения оперировать понятиями: случайная величина, распределение вероятностей, математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение случайной величины, и задание 13 на проверку умения решать текстовые задачи разных типов, в том числе задачи из области управления личными и семейными финансами.

• В часть 2 добавлено задание 17 на проверку умений моделировать реальные ситуации на языке математики; составлять выражения, уравнения, неравенства и их системы по условию задачи, исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры и начал математического анализа, интерпретировать полученный результат; умение решать текстовые задачи разных типов, в том числе задачи из других учебных предметов и задачи из реальной жизни.

• Количество заданий увеличилось с 19 до 20, максимальный балл за выполнение всей работы увеличился с 32 до 33.
  

https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory#!/tab/151883967-2

Рассмотрим задачу (Практикум в формате ЕГЭ по профильной математике ЗАДАНИЕ №17)

В выпуклом четырёхугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 известны стороны и диагональ: 𝐴𝐵 = 3, 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 5, 𝐴𝐷 = 8, 𝐴𝐶 = 7.

а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.

б) Найдите 𝐵𝐷.

https://ik-study.ru/ege_math/tieoriia_i_praktika_po_chietyriekhughol_nikam

Решение

Чтобы доказать, что четырёхугольник вписанный, достаточно показать, что сумма противоположных углов равна 180∘.

Теорема Птолемея (она работает только для вписанных четырёхугольников):

AC⋅BD=AB⋅CD+BC⋅AD

Дополнительно

• 
  Вписанный четырехугольник: разбор задач
  Задача 1 а) Угол A четырёхугольника ABCD , вписанного в окружность, равен 59°. Найдите угол C этого четырёхугольника. б) Угол B четырёхугольника ABCD , вписанного в окружность, равен 87°. Найдите угол D этого…
  Автор: Александра Пуляевская
• 
  Четырёхугольники: виды, признаки, свойства
  Дополнительно Выпуклые четырёхугольники. Специфика параллелограммов. Специфика трапеций…
  Автор: Александра Пуляевская

https://profimatika.ru/planik_bis?clckid=06923e72

Инцентр (точка пересечения биссектрис треугольника) делит каждую биссектрису в отношении, которое равно сумме длин двух сторон, образующих этот угол, делённой на длину противолежащей стороны.

Например, 𝐴𝐵 = 6, 𝐵𝐶 = 5, 𝐴𝐶 = 9. Тогда АО:ОА'= (AB+AC)/BC = 15/5=3:1

https://profimatika.ru/planik_bis?clckid=06923e72

Отрезки, на которые биссектриса треугольника делит противолежащую сторону, пропорциональны прилежащим сторонам.

Рассмотрим задачу (Практикум в формате ЕГЭ по профильной математике ЗАДАНИЕ №17)

• В каких отношениях могут делить друг друга биссектрисы, медианы и высоты треугольника точками их пересечения

• Лемма о трех биссектрисах

Дополнительно

• 
  Биссектрисы в треугольнике: свойства, формулы и построение
  Дополнительно https://internat.msu.ru/media/uploads/2013/11/Материалы-очных-сборов.-Биссектриса.pdf https://znanierussia.ru/articles/Биссектриса
  Автор: Александра Пуляевская
• 
  Как найти угол между высотой (медианой) и биссектрисой в треугольнике
  Утверждение: Угол между высотой и биссектрисой равен полуразности двух других углов треугольника.
  Автор: Александра Пуляевская
• 
  Как найти угол между биссектрисами треугольника
  Если биссектрисы углов А и C треугольника ABC пересекаются в точке О, то ∠АОC = 90◦ + ∠В/2. или 90+74/2=90+37=127 Дополнительно Теорема о сумме углов треугольника и следствия из нее…
  Автор: Александра Пуляевская

Дополнительно

• matematika_-poluchit-maks_-ball-egje_semenov-a_v_-i-dr_2015-128s.pdf
• zelenskiy_panfilov_reshenie_uravneniy_i_neravenstv_s_modulem.pdf
• urav_i_nerav.pdf
• uravneniya-i-neravenstva-s-modulem.pdf

https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/folder/fxzryzeho4/direct/72787882

Интерактивный тренажер для изучения чисел Нивена (чисел Харшада). Материал структурирован и содержит интерактивные элементы для проверки знаний.