Популярное Новое

Рассмотрим задачу (Практикум в формате ЕГЭ по профильной математике ЗАДАНИЕ №17)

В выпуклом четырёхугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 известны стороны и диагональ: 𝐴𝐵 = 3, 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 5, 𝐴𝐷 = 8, 𝐴𝐶 = 7.

а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.

б) Найдите 𝐵𝐷.

https://ik-study.ru/ege_math/tieoriia_i_praktika_po_chietyriekhughol_nikam

Решение

Чтобы доказать, что четырёхугольник вписанный, достаточно показать, что сумма противоположных углов равна 180∘.

Теорема Птолемея (она работает только для вписанных четырёхугольников):

AC⋅BD=AB⋅CD+BC⋅AD

Дополнительно

• 
  Вписанный четырехугольник: разбор задач
  Задача 1 а) Угол A четырёхугольника ABCD , вписанного в окружность, равен 59°. Найдите угол C этого четырёхугольника. б) Угол B четырёхугольника ABCD , вписанного в окружность, равен 87°. Найдите угол D этого…
  Автор: Александра Пуляевская
• 
  Четырёхугольники: виды, признаки, свойства
  Дополнительно Выпуклые четырёхугольники. Специфика параллелограммов. Специфика трапеций…
  Автор: Александра Пуляевская

https://profimatika.ru/planik_bis?clckid=06923e72

Инцентр (точка пересечения биссектрис треугольника) делит каждую биссектрису в отношении, которое равно сумме длин двух сторон, образующих этот угол, делённой на длину противолежащей стороны.

Например, 𝐴𝐵 = 6, 𝐵𝐶 = 5, 𝐴𝐶 = 9. Тогда АО:ОА'= (AB+AC)/BC = 15/5=3:1

https://profimatika.ru/planik_bis?clckid=06923e72

Отрезки, на которые биссектриса треугольника делит противолежащую сторону, пропорциональны прилежащим сторонам.

Рассмотрим задачу (Практикум в формате ЕГЭ по профильной математике ЗАДАНИЕ №17)

• В каких отношениях могут делить друг друга биссектрисы, медианы и высоты треугольника точками их пересечения

• Лемма о трех биссектрисах

Дополнительно

• 
  Биссектрисы в треугольнике: свойства, формулы и построение
  Дополнительно https://internat.msu.ru/media/uploads/2013/11/Материалы-очных-сборов.-Биссектриса.pdf https://znanierussia.ru/articles/Биссектриса
  Автор: Александра Пуляевская
• 
  Как найти угол между высотой (медианой) и биссектрисой в треугольнике
  Утверждение: Угол между высотой и биссектрисой равен полуразности двух других углов треугольника.
  Автор: Александра Пуляевская
• 
  Как найти угол между биссектрисами треугольника
  Если биссектрисы углов А и C треугольника ABC пересекаются в точке О, то ∠АОC = 90◦ + ∠В/2. или 90+74/2=90+37=127 Дополнительно Теорема о сумме углов треугольника и следствия из нее…
  Автор: Александра Пуляевская

Дополнительно

• matematika_-poluchit-maks_-ball-egje_semenov-a_v_-i-dr_2015-128s.pdf
• zelenskiy_panfilov_reshenie_uravneniy_i_neravenstv_s_modulem.pdf
• urav_i_nerav.pdf
• uravneniya-i-neravenstva-s-modulem.pdf

https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/folder/fxzryzeho4/direct/72787882

Интерактивный тренажер для изучения чисел Нивена (чисел Харшада). Материал структурирован и содержит интерактивные элементы для проверки знаний.

Дополнительно

При решении задач часто используют приближённые значения вместо точных, особенно когда точное число неизвестно или сложно вычислить. Однако важно понимать, насколько приближённое значение отличается от истинного — это и есть погрешность.

1. Виды приближённых значений

2. Абсолютная погрешность

3. Относительная погрешность

4. Границы погрешности

5. Округление и его погрешность

6. Практическое применение

1. Оценка результатов измерений  (длина, масса, время).

2. Финансовые расчёты  (округление денежных сумм).

3. Инженерные расчёты  (допуски в чертежах).

Вывод

• Абсолютная погрешность  показывает, насколько приближённое значение отличается от точного.

• Относительная погрешность  даёт оценку в процентах.

• Округление всегда вносит погрешность, но её можно контролировать.

Тренировочные задания

Дополнительно

Дополнительно

• https://bvp1234.ucoz.ru/Vektor/vektory_lekcii.pdf
• https://mathprofi.com/knigi_i_kursy/files/angem_demo.pdf

Иррациональные неравенства — неравенства, содержащие переменную под знаком корня (радикала) или под знаком возведения в дробную степень. Решение таких неравенств требует особого подхода, учитывающего область допустимых значений (ОДЗ) и свойства иррациональных выражений.

Дополнительно

I. Сокращение рациональных дробей

Правило:
Разложить числитель и знаменатель на множители → разделить на общий множитель.

Формулы разложения на множители

Вынесение общего множителя:

Формулы сокращенного умножения:

Разложение квадратного трехчлена:

Алгоритм сокращения дроби

1. Разложить числитель и знаменатель на множители.

2. Найти общие множители.

3. Разделить числитель и знаменатель на общий множитель.

2. Сложение и вычитание дробей

Правило:

1. Найти общий знаменатель  (НОК знаменателей).

2. Привести дроби к общему знаменателю.

3. Сложить/вычесть числители.

3. Умножение дробей

Правило:
Числитель × числитель, знаменатель × знаменатель → сократить.

4. Деление дробей

Правило:
Умножить первую дробь на обратную второй.

5. Комбинированные действия

Типовые задачи для самостоятельного решения

1-10

11-20