NITFORYOU - Образование и информационные технологииЦифровизация образования: обзоры платформ, LMS-систем и нейросетей в учебе. NITFORYOU — главное медиа об информационных технологиях в образовательной сфере
Логарифмическое уравнение — уравнение, в котором неизвестная переменная находится под знаком логарифма или в его основании.
Понятие логарифма было введено в начале XVII века шотландским математиком Джоном Непером. Его работа «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 г.) произвела революцию в вычислениях, позволив заменить трудоемкое умножение и деление на сложение и вычитание. Теорию расчёта таблиц Непер изложил в другой своей книге — «Построение удивительной таблицы логарифмов» (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio), которая была издана посмертно в 1619 году его сыном Робертом.
Термин «логарифм» (от греческих слов logos — «отношение» и arithmos — «число») предложил сам Непер. Первоначально он использовал другой термин — numeri artificiales («искусственные числа»), в противоположность numeri naturalts («естественным числам»).
Непер определял логарифм кинематически, сопоставляя равномерное и логарифмически-замедленное движение. Например, логарифм синуса он определял так: «Логарифм данного синуса есть число, которое арифметически возрастало всегда с той же скоростью, с какой полный синус начал геометрически убывать».
Независимо от Непера свои таблицы логарифмов опубликовал Йост Бюрги (около 1620 года). В дальнейшем теорию логарифмов развивали другие математики, например, Генри Бригс, который в 1617 году опубликовал таблицы десятичных логарифмов чисел от 1 до 1000.
Позже, благодаря трудам Эйлера, была установлена связь между логарифмами и показательной функцией.
Особенности логарифмических уравнений
ОДЗ (область допустимых значений) — обязательное условие. Без проверки ОДЗ решение может быть неверным.
Аргумент логарифма >0
Основание >0 и ≠1
При потенцировании (избавлении от логарифмов) могут появиться посторонние корни.
Нельзя логарифмировать обе части, если они не гарантированно положительны.
Алгоритм решения (общий план)
Найти ОДЗ (все условия для аргументов и оснований).
Преобразовать уравнение к виду, удобному для потенцирования или замены.
Трансцендентное уравнение — это уравнение, которое содержит хотя бы одну трансцендентную функцию. Трансцендентные функции — это функции, которые нельзя представить как конечную комбинацию алгебраических операций над переменной. К ним относятся, например, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Рассмотрим уравнения, в котором неизвестная переменная содержится:
Оба утверждения исторически связывают с Фалесом Милетским, но в учебных задачах лучше опираться на принятую в нашей традиции формулировку: «Теорема о вписанном угле, опирающемся на диаметр» или «Свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр».
В часть 1 добавлены задание 6, проверяющее умения оперировать понятиями: случайная величина, распределение вероятностей, математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение случайной величины, и задание 13 на проверку умения решать текстовые задачи разных типов, в том числе задачи из области управления личными и семейными финансами.
В часть 2 добавлено задание 17 на проверку умений моделировать реальные ситуации на языке математики; составлять выражения, уравнения, неравенства и их системы по условию задачи, исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры и начал математического анализа, интерпретировать полученный результат; умение решать текстовые задачи разных типов, в том числе задачи из других учебных предметов и задачи из реальной жизни.
Количество заданий увеличилось с 19 до 20, максимальный балл за выполнение всей работы увеличился с 32 до 33.
Инцентр (точка пересечения биссектрис треугольника) делит каждую биссектрису в отношении, которое равно сумме длин двух сторон, образующих этот угол, делённой на длину противолежащей стороны.
Например, 𝐴𝐵 = 6, 𝐵𝐶 = 5, 𝐴𝐶 = 9. Тогда АО:ОА'= (AB+AC)/BC = 15/5=3:1
