Популярное Новое

Дополнительно

https://exponenta.ucoz.ru/KHugu/1_mnogochleny_i_komp_chisla.pdf

Цепные дроби: теория и практика

Цепная дробь — это способ представления числа в виде последовательности целых чисел, где каждый следующий элемент уточняет приближение. Цепная дробь — это выражение вида где a 0 — целое число, а все остальные a 1 , a 2 ,…

Автор: Александра Пуляевская

Цепные дроби: примеры применения

Цепные дроби — это мощный математический инструмент, который находит применение не только в теории чисел, но и в алгоритмах, криптографии и даже в игровых механиках. …

Автор: Александра Пуляевская

Дополнительно:

Цепные дроби — это мощный математический инструмент, который находит применение не только в теории чисел, но и в алгоритмах, криптографии и даже в игровых механиках.

Цепные дроби: теория и практика

Цепная дробь — это способ представления числа в виде последовательности целых чисел, где каждый следующий элемент уточняет приближение. Цепная дробь — это выражение вида где a 0 — целое число, а все остальные a 1 , a 2 ,…

Автор: Александра Пуляевская

Дополнительно:

• https://www.mathnet.ru/links/a89c3529264bd3c4ca0fd419f3806d54/kvant2410.pdf

• https://old.mccme.ru/free-books/mmmf-lectures/book.14-full.pdf

Папирус Ахмеса — это, по сути, практическое руководство по арифметике и геометрии, созданное для писцов и мастеров. Его оригинал восходит к эпохе Среднего царства (примерно 1985–1795 гг. до н. э.), но до нас он дошёл в копии, сделанной около 1550 г. до н. э. писцом Ахмесом. В надписи на папирусе он скромно сообщает, что переписывает «совершенное и основательное исследование всех вещей, понимание их сущности, познание их тайн» — то есть не изобретает, а передаёт традицию.

Сегодня основная часть папируса хранится в Британском музее в Лондоне, а отдельные фрагменты — в Нью-Йорке. В нём содержится 84 задачи с решениями, и все они носят прикладной характер: от расчёта зерна до разметки полей.

Как египтяне считали дроби

Одна из самых ярких особенностей папируса — работа с дробями. Египтяне почти не использовали дроби вида 2/3, 3/4 и т. п. Вместо этого они стремились представить любую дробь как сумму аликвотных дробей — тех, у которых числитель равен 1. Например, вместо 3/4 писали 1/2 + 1/4.

В начале папируса есть специальная таблица разложения дробей вида 2/n на такие суммы. Это был своего рода «шпаргалка», без которой дальнейшие вычисления были бы крайне неудобны. Именно эта таблица занимает около трети всего свитка — настолько важной была работа с дробями для древних писцов.

Геометрия и приближение числа π

Египтяне умели вычислять площади и объёмы. Для прямоугольника, треугольника и трапеции у них были понятные методы. А вот с кругом всё интереснее: площадь круга они приравнивали к площади квадрата, сторона которого равна 8/9 диаметра круга.

Математически это выглядит так:

S круга ≈ (8/9·d)² = 64/81·d².

Поскольку площадь круга также равна πr² = π(d/2)² = π/4·d², то из египетского метода следует:

π/4 ≈ 64/81, откуда π ≈ 256/81 ≈ 3,16.

Это довольно хорошее приближение для своего времени — погрешность составляет менее 1%.

Также в папирусе встречаются задачи на нахождение объёма прямоугольного параллелепипеда и цилиндра — всё это было нужно для расчёта запасов зерна, строительства и распределения ресурсов.

Уравнения и метод ложного положения

Неизвестное в задачах обозначалось иероглифом «хау» («куча»). Египтяне решали линейные уравнения с одним неизвестным с помощью метода ложного положения: брали произвольное значение, считали результат, а затем корректировали его пропорционально. Это не абстрактная алгебра, а очень практичный вычислительный приём, который позже встречался и в других культурах.

Прогрессии и головоломки

В задаче №79 встречается знаменитая задача о семи домах, семи кошках, семи мышах и т. д. — она сводится к суммированию геометрической прогрессии: 7 + 49 + 343 + 2401 + 16807 = 19607. Это показывает, что египтяне не только решали практические задачи, но и имели интерес к занимательной математике.

🏛️ Московский папирус (Голенищева): более древний и удивительно точный

Московский математический папирус старше папируса Ахмеса примерно на 300 лет — его датируют около 1850 г. до н. э. Своё второе название — папирус Голенищева — он получил по имени русского востоковеда Владимира Семёновича Голенищева, который приобрёл его в 1893 году в Фивах и передал в коллекцию для России. Однако основная заслуга в его систематизации, расшифровке и введении в научный оборот принадлежит другим выдающимся российским учёным — в первую очередь Б. А. Тураеву и В. В. Струве. Именно Струве в 1930 году систематизировал папирус, разбив его на задачи и добавив к каждой своё решение.

Сейчас папирус хранится в Музее изобразительных искусств имени А. С. Пушкина в Москве. В постоянной экспозиции ГМИИ представлены фрагменты папируса, в том числе связанные с геометрическими задачами; задача №14 — одна из самых известных и часто упоминается в описаниях рукописи. Основная часть рукописи находится в фондах и по-прежнему изучается исследователями.

В папирусе содержится всего 25 задач, но некоторые из них поражают своей сложностью и точностью.

Объём усечённой пирамиды: редкая формула

Задача №14 Московского папируса посвящена вычислению объёма усечённой пирамиды с квадратным основанием. Египтяне использовали формулу, которая в современных обозначениях выглядит так:

V = h/3 · (a² + ab + b²),

где a и b — стороны оснований, а h — высота.

Это удивительно точное и нетривиальное достижение: формула верна, и её вывод требует немалой геометрической интуиции. До сих пор неясно, как египтяне её получили, но сам факт её использования говорит о высоком уровне их математических представлений. Эта формула встречается в античных источниках значительно позже; близкие вычислительные приёмы можно найти, например, в трудах Герона Александрийского (I век н. э.), что подчёркивает редкость и ценность египетского результата.

Некоторые исследователи предполагают, что египтяне могли вывести эту формулу эмпирическим путём — через измерение реальных пирамид и зернохранилищ, однако письменных свидетельств о способе её получения не сохранилось.

В Московском папирусе также есть задачи на вычисление площади треугольника, объёма призмы, а также несколько «арифметических» задач, в том числе на нахождение неизвестного числа — аналог задач «хау» из папируса Ринда.

Основные типы задач

Арифметические задачи

1. Оригинал текста

1. "Геометрическая прогрессия: 7 домов, 7 кошек, 7 мышей..."

Оригинальная формулировка: "Просуммируй геометрическую прогрессию из пяти членов, где первый член равен 7, а множитель — 7."

Решение

1. Сумма по правилу  (через умножение):

   • Последний член прогрессии: 7^5=16807

   • Сумма: 7+49+343+2401+16807=19607

   • Проверка: 2801×7=19607 (используется вспомогательное число 2801 — сумма первых четырёх членов).

2. Сумма сложением  (с предметным контекстом):

1. Оригинал текста

Задачи 24-29: "Аха" (нахождение неизвестного количества)

Тип: Линейные уравнения вида x+x/n=k

24. Оригинал текста

1. Оригинал текста

Геометрические задачи: объёмы, площади и пирамиды

Точность расчётов:

• Площадь круга вычислялась с погрешностью <1%.

• Объёмы зернохранилищ считали через практические приближения.

Практическое применение:

• Геометрия полей — для земледелия и налогов.

• Пирамиды — строительные расчёты.

Историческое значение:

• Секед — Единица измерения наклона: 1 ладонь на 1 локоть высоты. Пример: секед 5¼ ладоней соответствует углу ≈51.5° (как у Великой пирамиды).

• Формула объёма цилиндра предвосхитила Архимеда.

Дополнительно:

• The Rhind Papyrus Volume 1

• Mathematics in Egyptian Papyri

• An overview of Egyptian mathematics

• The Moscow Papyrus

• The Ahmes Papyrus

Дополнительно

Рекомендую:

Показательные уравнения: решение простейших примеров и алгоритмы

Показательные уравнения — это уравнения, в которых неизвестная величина находится в показателе степени. Основной принцип решения Главный метод основан на свойстве монотонности показательной функции : Если a>0 и a≠1 ,…

Автор: Александра Пуляевская

Показательные уравнения: метод вынесения общего множителя с примерами

Описание Пример Дополнительно РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ.pdf

Автор: Александра Пуляевская

Показательные уравнения: метод группировки с примерами решений

Описание Пример 1 Пример 2 Дополнительно РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ.pdf

Автор: Александра Пуляевская

Показательные уравнения: метод замены переменной с примерами решений

Описание Примеры 1-5 Дополнительно Показательные_логарифмические_уравнения_и_неравенства.pdf РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ.pdf

Автор: Александра Пуляевская

Показательные неравенства: теория и примеры

Дополнительно matematika_-poluchit-maks_-ball-egje_semenov-a_v_-i-dr_2015-128s.pdf ЕГЭ. Показательные и логарифмические уравнения: https://doroga-v-shkolu.ru/images/dokumenty/200/063.pdf ЕГЭ. Показательные и…

Автор: Александра Пуляевская

Дополнительно:

Источник: https://urok.1sept.ru/articles/696278/article.pdf

1. Элементарная математика: общие методы решения уравнений и неравенств [Электронный ресурс] / Р.Ф. Ахвердиев, Е.А. Турилова, А.А. Евсеева и др. – Электрон. текстовые дан. (1 файл: 778 Кб). – Казань: Издательство Казанского университета, 2021. – 61 с. : https://kpfu.ru/portal/docs/F_360608299/Elementarnaya.matematikaobshhie.metody.resheniya.uravnenij.i.neravenstv.pdf.

2. Бабичева Т.А. Учебное пособие «Решение показательных уравнений и неравенств» (для самостоятельной работы студентов) – Махачкала: ДГУНХ, 2019. - 29 с.: https://dgunh.ru/content/glavnay/ucheb_deyatel/uposob/up-matem-15.pdf

3. Баранова Е.В., Менькова С.В. Элементарная математика. - Часть 1: учебно-методическое пособие. – Арзамас: Арзамасский филиал ННГУ, 2014. – 99 с.: http://www.unn.ru/books/met_files/Elementary_math.pdf

4. Гейдман Б.П. Логарифмические и показательные уравнения и неравенства. Учебное пособие для учащихся ОЛ ВЗМШ при МГУ им. Ломоносова. — М.: МЦНМО, 2003. — 48 с.ссылка

5. Мисяр Н.Н., Потапов Д.И. Методическая разработка «Показательная функции. Показательные уравнения и неравенства. Системы показательных уравнений.» (для самостоятельной работы студентов) – Санкт-Петербург: СПб ГБПОУ "Пожарно-спасательный колледж "Санкт-Петербургский центр подготовки спасателей", 2022. - 30 с.: https://cps-spb.ru/files/sveden/obrazovinie/metod/Методическа_разработака_Потапов_Мисяр.pdf

6. Семенов Андрей Викторович, Юрченко Евгений Владимирович. Материалы курса «Система подготовки к ЕГЭ по математике» : лекции 5–8. – М. : Педагогический университет «Первое сентября», 2009. – 80 с.: https://dist-tutor.info/file.php/216/Povyshenie_kvalifikacii/02.pdf

Иррациональные уравнения и неравенства: пособия

https://kvant.mccme.ru/pdf/2001/05/kv0501irrats.pdf https://kvant.mccme.ru/pdf/2001/06/kv0601irrats.pdf https://edu-potential.ru/images/catalog/Math/irrac-nerav-kol.pdf…

Автор: Александра Пуляевская

Дополнительно

• https://mathus.ru/math/irrurs.pdf
• https://go2phystech.ru/wp-content/uploads/2021/01/math_irr.pdf
• https://lpi.sfu-kras.ru/files/elementarnaya_matematika._irracionalnye_uravneniya_i_neravenstva_2021.pdf
  irratsional-nye-uravneniya-zuhmk0eix9.pdfСкачать