NITFORYOU - Образование и информационные технологииЦифровизация образования: обзоры платформ, LMS-систем и нейросетей в учебе. NITFORYOU — главное медиа об информационных технологиях в образовательной сфере
Тренажёр состоит из двух вкладок — «Тренажёр» и «Все».
▶ Вкладка «Тренажёр» — пошаговый разбор
Выберите задачу из 13, нажав на кружок с номером вверху. Кружок показывает статус: • ○ серая — задача не начата • ○ синяя — вы её сейчас решаете • ✓ зелёная — задача решена
Каждая задача разбита на шаги: сначала ОДЗ (оранжевый бейдж), затем преобразование уравнения, решение и в конце — интерактивная ось параметра.
На каждом шаге выбирайте один из четырёх вариантов ответа: правильный подсветится жёлтым с галочкой, неправильный — красным с подсказкой, где именно ошибка.
Пройти к следующему шагу можно только после верного ответа.
Ось параметра в конце задачи — двигайте ползунок, чтобы увидеть, как меняется решение при разных значениях.
Красные зоны на оси — критические точки, где решение исчезает (деление на ноль, нарушение ОДЗ и т.п.).
Когда все шаги пройдены — нажмите «✓ Показать итоговый ответ», чтобы увидеть полное решение и зафиксировать задачу как решённую.
▶Вкладка «Все» — список и самопроверка
Здесь собраны все 13 задач одним списком. Рядом с каждой — её статус (✓ решена / ○ не решена). Кнопка «Показать ответ» раскрывает готовый ответ без пошагового разбора — удобно для быстрой проверки себя или повторения перед экзаменом.
Прогресс сохраняется автоматически. Если закрыть страницу и вернуться позже — все решённые задачи, текущая задача и вкладка восстановятся. Чтобы обнулить прогресс — кнопка «Сбросить прогресс» в правом верхнем углу на вкладке «Все».
Каждое неравенство разбито на шаги: сначала ОДЗ, затем ветвление по основанию логарифма (a>1 или 0<a<1), упрощение и финальный вывод. На каждом шаге — четыре варианта ответа, правильный подсвечивается, неправильный показывает подсказку с указанием конкретной ошибки.
📈 Двойная интерактивная ось — главная фишка
В конце каждой задачи появляется интерактивный блок с двумя осями:
верхняя — параметр a (по ней двигается ползунок, красные зоны отмечают критические точки);
нижняя — переменная x, где цветом подсвечивается множество решений: зелёный — входит в ответ, серый — не входит, красные и зелёные точки — выколотые и включённые границы.
Двигая ползунок, вы в реальном времени видите, как «зелёная зона» решения сжимается, расширяется или вовсе исчезает при переходе через критическую точку и т.д.
Вкладка «Все» — быстрая самопроверка
Все 9 задач собраны в компактный список с кнопкой «Показать ответ» — удобно для повторения перед экзаменом или проверки себя без полного разбора.
Прогресс сохраняется автоматически
Все решённые задачи, текущая задача и активная вкладка восстанавливаются при следующем визите. Кнопка «Сбросить прогресс» — на вкладке «Все».
Балаян Э. Н’ Б20 Математика. Разбор заданий для подготовки к ЕГЭ с анализом типичных ошибок. 10-11 классы. Профильный уровень / Э. Н. Балаян. — Изд. 2-е, доп. — Ростов н/Д : Феникс, 2024. — 375 с. : ил. — (Большая перемена).
Самая распространенная и грубая ошибка. Всегда выписывайте ОДЗ в начале решения.
Отсутствие проверки.
Найденные корни обязательно нужно проверить на соответствие ОДЗ. Даже если вы решили всё правильно, может найтись посторонний корень.
Неаккуратное преобразование.
При умножении на общий знаменатель будьте внимательны: умножать нужно все слагаемые уравнения (и в левой, и в правой части).
Использование пропорции.
Если уравнение имеет вид пропорции A/B = C/D, можно использовать основное свойство пропорции: A * D = B * C. Но не забывайте, что при этом тоже действуют ограничения B ≠ 0 и D ≠ 0
Функция f(x) показывает значение величины в точке.
Производная f'(x) х показывает скорость изменения этой величины. Геометрически — это
угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной к графику f(x) в точке x.
Как по графику f(x) понять, где f'(x) положительна, отрицательна или равна нулю?
Смотрим на наклон касательной к графику f(x):
f'(x) > 0 (Производная положительна):
График f(x) возрастает на этом промежутке (при движении слева направо он идет вверх).
Касательная к графику образует острый угол с положительным направлением оси OX.
f'(x) < 0 (Производная отрицательна):
График f(x) убывает на этом промежутке (при движении слева направо он идет вниз).
Касательная к графику образует тупой угол с положительным направлением оси OX.
f'(x) = 0 (Производная равна нулю):
Это точки экстремума (максимума или минимума) или точки перегиба (редко, но бывает).
Касательная к графику в этой точке горизонтальна.
Чаще всего это вершины "горок" (максимумы) и впадины "ложек" (минимумы).
Как по графику f'(x) понять, что происходит с функцией f(x)?
Это обратная задача, но она решается по тем же принципам.
Где график f'(x) лежит ВЫШЕ оси OX (f'(x) > 0):
Функция f(x) возрастает.
Где график f'(x) лежит НИЖЕ оси OX (f'(x) < 0):
Функция f(x) убывает.
Где график f'(x) ПЕРЕСЕКАЕТ ось OX (f'(x) = 0):
У функции f(x) в этой точке возможен экстремум (максимум или минимум). Это "критическая точка".
Связь экстремумов f(x) с графиком f'(x)
Это самое важное практическое применение.
Точка максимума f(x): Производная f'(x) меняет знак с "+" на "-" при переходе через эту точку. График f'(x) пересекает ось OX сверху вниз.
Точка минимума f(x): Производная f'(x) меняет знак с "-" на "+" при переходе через эту точку. График f'(x) пересекает ось OX снизу вверх.
Важно: Если f'(x) не меняет знак при переходе через точку, где f'(x)=0 (например, f'(x) = x³ в точке 0), то это точка перегиба, а не экстремум.
Как по графику f'(x) понять, где f(x) выпукла вверх или вниз?
Выпуклость функции f(x) определяется знаком второй производной f''(x). А вторая производная — это производная от первой, то есть скорость изменения самой производной f'(x).
f(x) выпукла вниз (как чашка ∪):
Это означает, что f''(x) > 0.
На графике f'(x) это соответствует участкам, где сама производная возрастает (график f'(x) идет вверх).
f(x) выпукла вверх (как крыша ∩):
Это означает, что f''(x) < 0.
На графике f'(x) это соответствует участкам, где сама производная убывает (график f'(x)
идет вниз).
Точка перегиба f(x):
Это точка, где меняется выпуклость.
На графике f'(x) этой точке соответствует экстремум (максимум или минимум), так как именно в ней производная f'(x) меняет своё поведение с возрастания на убывание или наоборот.
Примеры для закрепления
Посмотрите на график ниже.
Пример 1
Давайте проанализируем функцию f(x), глядя на график её производной f'(x).
Что мы видим на графике f'(x)?
Что это означает для функции f(x)?
f'(x) > 0 (выше оси OX) - f(x) возрастает
f'(x) < 0 (ниже оси OX) - f(x) убывает
Если производная положительна на промежутке, то функция на этом промежутке возрастает. Среди указанных точек производная положительна в точках x4, x5, x6. Таких точек всего три.
Пример 2
Давайте проанализируем функцию f(x), глядя на график её производной f'(x).
Что мы видим на графике f'(x)?
Что это означает для функции f(x)?
f'(x) = 0 (пересекает OX) - Критическая точка (возможен экстремум или перегиб)
f'(x) меняет знак с + на - - Локальный максимум f(x)
f'(x) меняет знак с - на + - Локальный минимум f(x)
На отрезке [−18; 1] производная обнуляется пять раз: в точках x1 = −16, x2 = −13, x3 = −9, x4 = −3, x5 = −1. В точке x1 = −16 производная поменяла знак с «–» на «+». В точке x2 = −13 производная поменяла знак с «+» на «–». В точке x3 = −9 производная поменяла знак с «–» на «+». В точке x4 = −3 производная поменяла знак с «+» на «–». В точке x5 = −1 производная поменяла знак с «–» на «+». Значит, x1 = −16, x3 = −9, x5 = −1 — точки минимума на отрезке [−18; 1]. Таким образом, функция f(x) имеет 3 точки минимума, принадлежащих отрезку [−18; 1].
Пример 3
Производная в точке — это тангенс угла наклона касательной к графику функции в этой точке.
Если касательная идёт вверх, производная положительна.
Если касательная идёт вниз, производная отрицательна.
Чем круче наклон (вверх или вниз), тем больше по модулю производная.
Нам нужно найти точку с наибольшим значением производной:
На промежутках возрастания функции производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна, следовательно, нужно сравнить значение производной в точках на промежутках возрастания — в точках x = −4 и x = 5.
Значение производной в x = x0 равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке x0, следовательно, среди положительных значений оно больше в той точке, где угол наклона касательной больше. Если провести касательные к данному графику в точках x = −4 и x = 5, то угол наклона касательной в точке x = 5 будет больше, следовательно, и значение производной в этой точке будет больше.
Выполнение условия задачи для любого значения параметра означает его выполнение для некоторого «удобного» значения, т. е. основная наша задача состоит в нахождении «удобного» значения параметра, который в дальнейшем позволит указать решения исходной задачи.
Ключевые слова: «при любом значении параметра» или «для всех х ».
Пусть в задаче требуется определить значения параметра (или нескольких параметров), при которых уравнение (или неравенство) выполняется при всех допустимых значениях переменной x. Естественно попытаться подставить в него удобные значения переменной x, получив при этом необходимые условия на параметры.
