Популярное Новое

В задачах на совместную работу обычно рассматриваются процессы, выполняемые несколькими участниками (рабочими, трубами, механизмами и т. д.).

Ключевая идея — определить, какую часть работы каждый участник выполняет за единицу времени (производительность), а затем найти общий результат.

Основная формула, связывающая работу, время и производительность: A=P⋅t

где:

• A  — объем работы (например, "1 работа" или конкретное количество деталей),

• P  — производительность (работа в единицу времени),

• t  — время выполнения работы.

Основные понятия

• Совместная работа  — сумма производительностей.

Основные типы задач

Тип 1. Один работник выполняет работу

Дано время выполнения работы, нужно найти производительность или объем работы.

Задание 1

Тип 2. Два объекта работают вместе

Их производительности складываются.

Задание 2

Задание 10 2026Я - в9

Задание 10 2026Я - в19

Задание 3

Два станка изготавливают детали. Первый делает 20 деталей в час, второй — 30. Сначала первый работал 2 часа один, потом оба вместе ещё 3 часа. Сколько всего деталей они изготовили?

Тип 3. Один начинает, другой присоединяется позже

Нужно учесть, сколько работы сделано до подключения второго.

Задание 4
Первый рабочий выполняет работу за 10 часов. Он работал 4 часа один, потом подключился второй, и вместе они закончили работу за 2 часа. За сколько часов выполнит работу второй рабочий?

Решение:

Задание 5
Один рабочий выполняет работу за 10 часов, второй — за 15. Первый начал работу, а через 2 часа к нему присоединился второй. За сколько часов работа будет выполнена?

Тип 4. Работа с перерывами или разными режимами

Задание 6
Два экскаватора, работая вместе, могут вырыть котлован за 12 часов. Если первый проработает 8 часов, а второй — 10 часов, они выполнят 80% работы. За сколько часов каждый выроет котлован один?

Решение

Задание 10 2026Я - в13

Задание 10 2026Я - в23

Задание 10 2026Я - в33

Задание 11 2027Я - в26

На изготовление 621 детали первый рабочий тратит на 4 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 675 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 2 детали больше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий?

Тип 5. Задачи на бассейны и трубы

Аналогичны задачам на работу: трубы могут наполнять (+) или опорожнять (–) бассейн.

Задание 7
Первая труба наполняет бассейн за 4 часа, вторая — за 6 часов. За сколько часов наполнится бассейн при совместной работе?

Задание 8

Задание 9

Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 480 литров она заполняет на 8 минут дольше, чем вторая труба?

Дано:

• Первая труба пропускает x литров воды в минуту.

• Вторая труба пропускает x+2 литра воды в минуту.

• Объём резервуара: 480 литров.

• Первая труба заполняет резервуар на 8 минут дольше, чем вторая

Составим уравнение на основе времени заполнения резервуара:

Упростим уравнение:

Решим квадратное уравнение:

Ответ:
Первая труба пропускает 10​ литров воды в минуту.

Задание 10 2026Я - в3

Задание 10 2026Я - в21

Дополнительно:

• Выговская В.В. Сборник практических задач по математике: 6 класс. - М.: ВАКО,
  2012. - 64 с.

• Шестаков С. А. ЕГЭ 2020. Математика. Задачи на составление уравнений. Задача 10 (профильный уровень). Рабочая тетрадь / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2020.—80 с

• Шестаков С. А. ЕГЭ 2018. Математика. Задачи на составление уравнений. Задача 10 (профильный уровень). Рабочая тетрадь / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2018.

Дополнительно

Задачи на бассейны и трубы.

^{Шестаков С. А. ЕГЭ 2018. Математика. Задачи на составление уравнений. Задача 10 (профильный уровень). Рабочая тетрадь / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2018}

^{Балаян Э. Н. Б20 Математика. Подготовка к ЕГЭ. Простейшие уравнения. Вычисления и преобразования. Текстовые задачи. Задачи с прикладным содержанием : разбор заданий с кратким ответом : 10-11 классы : профильный уровень / Э. Н. Балаян. — Ростов н/Д : Феникс, 2025. — 140 с. — (Большая перемена).}

^{ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Самостоятельная подготовка к ЕГЭ. Высший балл - Ерина Т.М}.

Шевкин_Текстовые_задачи_по_математике,_5_6_класс.pdf

Шевкин_Текстовые_задачи_по_математике,_7_11_класс.pdf

Задача 1

Имеется творог двух сортов. Жирный содержит 20% жира а нежирный содержит 5% жира. Определите процент жирности получившегося творога, если смешали: а) 2 кг жирного и 3 кг нежирного творога, б) 3 кг жирного и 2 кг нежирного творога.

Ответ: а) 11%, б) 14%

Задача 2

Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 35 кг раствора кислоты различной концентрации. Если смешать оба раствора, то получится раствор, содержащий 46% кислоты. Если смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Какова концентрация данных растворов?

Шаг 1. Обозначим переменные

Пусть:

• x — концентрация первого раствора (в долях),

• y — концентрация второго раствора.

Массы: m1=30 кг, m2=35 кг.

Шаг 5. Перевод в проценты

x=60%,y=34%

Ответ: Первый раствор: 60%, второй раствор: 34%.

Задача 10 2026Я- в5

Задача 10 2026Я- в17

Задача 10 2026Я- в29

Задача 11 2027Я- в16

Имеется два сосуда. Первый содержит 100 кг, а второй — 60 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 27% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 32% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Шаг 1. Вводим переменные

Пусть концентрация кислоты в первом сосуде равна xx (в долях, то есть 20% = 0,2), а во втором — y (в долях).

Шаг 2. Первое условие (смешали всё содержимое)

Смешиваем 100 кг первого раствора и 60 кг второго. Общая масса смеси: 100+60=160 кг.

Из таблицы получаем первое уравнение (сумма чистого вещества в компонентах равна чистому веществу в смеси):

100x+60y=43,2... (1)

Шаг 3. Второе условие (смешали равные массы)

Для удобства возьмем по 1 кг каждого раствора. Общая масса смеси: 1+1=2 кг. Концентрация смеси 32% (0,32).

Из таблицы получаем второе уравнение:

x+y=0,64... (2)

Шаг 4. Решаем систему уравнений

Значит, концентрация первого раствора равна 12% (или 0,12 в долях).

Шаг 5. Находим ответ на вопрос задачи

Нужно найти массу чистой кислоты в первом сосуде. Масса раствора — 100 кг, концентрация — 0,12.

m(кислоты)=100⋅0,12=12 кг

Ответ: в первом сосуде содержится 12 кг кислоты.

Дополнительно

• tipovye-zadachi-na-smesi.pdf
• 22_zadachi_na_prozenti_splavi_smesi_s_otvetami-2.pdf
• 15_2_2-sbornik-konczentracziya-veshhestva-zadanie-10.pdf
• 15_2_2_4-dop-zadachi-na-konczentracziyu-zadaniya-i-resheniya.pdf
• metody-resheniya-tekstovyh-zadach-na-smesi-i-splavy.pdf
• zadachi-na-splavy.pdf
• osnova_6_4_361.pdf
• text9.pdf

Для решения этой задачи удобнее всего использовать правило креста (конверт Пирсона) или табличный метод

Задача 1

Требуется приготовить 100 г 10%-го раствора нашатырного спирта. Сколько для этого потребуется воды и 25%-го раствора нашатырного спирта?

Шаг 1. Обозначим переменные

Пусть нужно взять x г 25%-го раствора нашатырного спирта.

Тогда воды потребуется 100−x г (чистая вода, 0% нашатыря).

Шаг 2. Баланс нашатырного спирта

В 25%-м растворе масса чистого нашатыря: 0.25x

В воде нашатыря нет.

В итоговом 10%-м растворе массой 100 г чистого нашатыря: 0.10×100=10 г

Уравнение баланса:

0.25x=10

Шаг 3. Решаем

x=10/0.25=40 г

Воды:

100−40=60 г

Ответ: 40​ г 25%-го раствора и 60​ г воды.

Альтернативный способ (Правило креста)

Этот способ позволяет решить задачу в одну строчку, если её нужно сделать быстро.

Дополнительно:

• tipovye-zadachi-na-smesi.pdf
• 22_zadachi_na_prozenti_splavi_smesi_s_otvetami-2.pdf
• 15_2_2-sbornik-konczentracziya-veshhestva-zadanie-10.pdf
• 15_2_2_4-dop-zadachi-na-konczentracziyu-zadaniya-i-resheniya.pdf
• metody-resheniya-tekstovyh-zadach-na-smesi-i-splavy.pdf
• zadachi-na-splavy.pdf
• osnova_6_4_361.pdf
• text9.pdf

Задача 1

На складе хранилась 51 т зерна, влажность которого была 20%. Перед закладкой зерна в зернохранилище его просушили, доведя влажность до 15%. Сколько тонн зерна засыпали в зернохранилище?

Решение

Вес зерна изменился из-за испарения воды.
Сухое вещество осталось неизменным.

Шаг 1. Сколько сухого вещества было

Масса зерна исходная: 51 т. Влажность 20%, значит воды 20%, сухого вещества:

100%−20%=80%

51×0.80=40.8 т сухого вещества.

Шаг 2. Сухое вещество после сушки

После сушки влажность 15%, значит сухого вещества:

100%−15%=85%=0.85 от новой массы M т.

Масса сухого вещества та же: 40.8 т.

0.85M=40.8

M=40.8/0.85=48 т.

Ответ: 48 т зерна засыпали в зернохранилище.

Задача 10 2026Я- в18

Дополнительно:

• tipovye-zadachi-na-smesi.pdf
• 22_zadachi_na_prozenti_splavi_smesi_s_otvetami-2.pdf
• 15_2_2-sbornik-konczentracziya-veshhestva-zadanie-10.pdf
• 15_2_2_4-dop-zadachi-na-konczentracziyu-zadaniya-i-resheniya.pdf
• metody-resheniya-tekstovyh-zadach-na-smesi-i-splavy.pdf
• zadachi-na-splavy.pdf
• osnova_6_4_361.pdf
• text9.pdf

• 
  Задачи на смеси и сплавы
  Дополнительно Шестаков С. А. ЕГЭ 2018. Математика. Задачи на составление уравнений. Задача 10 (профильный уровень). Рабочая тетрадь / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2018 Задачи…
  Автор: АлексИИ
• 
  Типовые задачи на смеси: калькулятор
  Задачи на смеси (сплавы, растворы) — это текстовые задачи, в которых речь идёт о смешивании веществ, растворении веществ или переливании жидкостей, состоящих из нескольких компонентов.…
  Автор: АлексИИ
• 
  Задачи на сплавы: калькуляторы
  Задачи на сплавы в математике — это задания, в которых смешиваются растворы (сплавы) с разными массами и концентрациями некоторого вещества, формируя раствор общей массы и новой концентрации. Искомая величина — масса…
  Автор: АлексИИ

Дополнительно

^{Шестаков С. А. ЕГЭ 2018. Математика. Задачи на составление уравнений. Задача 10 (профильный уровень). Рабочая тетрадь / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2018}

Задачи на сплавы и смеси

Задачи этого раздела вызывают наибольшие затруднения. Речь в них идет о составлении смесей, сплавов, растворов и т. д. Решение этих задач связано с понятиями «концентрация», «процентное содержание», «влажность» и т. д.

Задачи на разбавление

^{Балаян Э. Н. Б20 Математика. Подготовка к ЕГЭ. Простейшие уравнения. Вычисления и преобразования. Текстовые задачи. Задачи с прикладным содержанием : разбор заданий с кратким ответом : 10-11 классы : профильный уровень / Э. Н. Балаян. — Ростов н/Д : Феникс, 2025. — 140 с. — (Большая перемена).}

^{ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Самостоятельная подготовка к ЕГЭ. Высший балл - Ерина Т.М}.

Шевкин_Текстовые_задачи_по_математике,_5_6_класс.pdf

Шевкин_Текстовые_задачи_по_математике,_7_11_класс.pdf

При решении задач на движение принимают некоторые допущения.

1. Движение считаем равномерным, если нет специальных оговорок.

2. Если расстояние между двумя пунктами не задано, иногда удобно считать его равным 1.

3. При решении задач на движение двух тел часто очень удобно считать одно тело неподвижным, а другое — приближающимся к нему со скоростью, равной сумме скоростей этих тел (при движении навстречу) или разности скоростей этих тел (при движении вдогонку). Такая модель помогает получить нужные уравнения и в задачах на движение «вдогонку», и по замкнутой трассе (окружности):

7. Чаще всего в задачах на движение описывается движение двух участников, которые не всегда одновременно начинают движение и не всегда одновременно его заканчивают. Поэтому очень важно выделить участок или участки пути, на которых движение происходит действительно совместно. В некоторых задачах полезно найти скорость сближения (или удаления) участников — величину, показывающую, на сколько уменьшается (или увеличивается) расстояние между участниками движения в единицу времени.

^{Математика. Решаем текстовые задачи. 7—11 классы / Л. С. Сагателова. — М. : Илекса, 2025. — 158 с. : ил.}

• Колесникова Софья Ильинична. Текстовые задачи на движение

Дополнительно:

• 
  Задачи о движении с подъемом и спуском
  Задачи о движении с подъёмом и спуском — это классический тип текстовых задач, с которым школьники встречаются на олимпиадах, экзаменах и в повседневной математике. Внешне они выглядят как простые истории про улитку на…
  Автор: АлексИИ
• 
  Задачи на движение: средняя скорость
  Автор: АлексИИ
• 
  Задачи на круговое движение: обзор
  При решении задач на круговое движение важно учитывать несколько ключевых моментов: Длина трассы — это периметр окружности, который остается постоянным. Встречи объектов происходят, когда разность пройденных расстояний…
  Автор: АлексИИ
• 
  Движение протяжённых тел: особенности расчёта
  Важный подтип, где нужно учитывать длину самого транспортного средства .
  Автор: АлексИИ
• 
  Движение одного объекта: примеры
  Задание 1 Задание 2
  Автор: АлексИИ
• 
  Движение двух объектов в одном направлении (вдогонку)
  Когда два объекта движутся в одном направлении, расстояние между ними может: Увеличиваться, если впереди едет более быстрый объект. Уменьшаться, если сзади едет более быстрый объект . Случай А: Старт из одной точки в…
  Автор: АлексИИ
• 
  Движение двух объектов навстречу друг другу: задачи и решения
  Автор: АлексИИ
• 
  Задачи на движение
  Основными типами задач на движение являются следующие: задачи на движение по прямой (навстречу и вдогонку), задачи на движение по замкнутой трассе, задачи на движение по воде, задачи на среднюю скорость, задачи на…
  Автор: АлексИИ

При решении задач на круговое движение важно учитывать несколько ключевых моментов:

• Длина трассы — это периметр окружности, который остается постоянным.

• Встречи объектов происходят, когда разность пройденных расстояний равна длине одного или нескольких кругов.

Для успешного решения задач необходимо знать следующие математические факты и формулы:

^{https://school-pro.ru/constructor/materials/profilny-ege-po-matematike-1-chast/zadanie-10-profilnogo-ege-dvizhenie-po-okruzhnosti/}

Задача 1

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 20 минут он ещё не вернулся в пункт A, и из пункта A следом за ним отправился мотоциклист. Через 5 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а ещё через 46 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 46 км. Ответ дайте в км/ч.

Алгоритм решения

Шаг 1. Привести все единицы измерения к единой системе

Шаг 2. Обозначить переменные

Шаг 3. Проанализировать первую встречу

К моменту первой встречи:

• более медленный участник был в пути дольше (так как стартовал раньше);

• оба проехали одинаковое расстояние (так как встретились в одной точке трассы).

Составляем уравнение, приравнивая пройденные расстояния. Это позволяет найти соотношение скоростей.

Шаг 4. Проанализировать промежуток между первой и второй встречами

Ключевой принцип: за время между встречами более быстрый участник проезжает на ровно один круг больше, чем медленный.

Шаг 5. Решить систему уравнений

Используем соотношение скоростей из шага 3 и подставляем в уравнение из шага 4.

Шаг 6. Проверить решение

Задача 2

Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 22 круга по кольцевой трассе протяженностью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 10 минут. Чему равна скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг (на 3 км) через 11 минут после старта? Ответ дайте в км/ч.

Задача 3

Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 22 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 20 км/ч больше скорости другого?

Дополнительно:

• Яковлев. Круговое движение

• Задачи на круговое движение

Типовые задачи на движение

При решении задач на движение принимают некоторые допущения . Движение считаем равномерным , если нет специальных оговорок. Если расстояние между двумя пунктами не задано, иногда удобно считать его равным 1 . При решении…

Автор: АлексИИ

Важный подтип, где нужно учитывать длину самого транспортного средства .