Уравнение с модулями - 4. Уравнения с несколькими модулями: метод интервалов и примеры

Метод интервалов (универсальный)

Алгоритм:

Шаг 1. Найти нули подмодульных выражений.
Для каждого выражения, стоящего под знаком модуля, решаем уравнение выражение = 0. Полученные числа называются критическими точками.
Шаг 2. Отметить критические точки на числовой оси.
Они разбивают всю числовую прямую на несколько промежутков.
Шаг 3. Определить знаки подмодульных выражений на каждом промежутке.
Берем пробную точку из каждого промежутка и подставляем в каждое подмодульное выражение, чтобы узнать его знак (плюс или минус).
Шаг 4. Раскрыть модули на каждом промежутке в соответствии со знаками.
Если выражение положительно на промежутке, модуль убираем без изменений; если отрицательно — убираем с заменой знака всего выражения (т.е. умножаем его на -1).
Шаг 5. Решить полученное уравнение (уже без модулей) на каждом промежутке.
Полученный корень должен принадлежать тому промежутку, для которого мы решали уравнение. Если корень не попадает в промежуток — он отбрасывается.
Шаг 6. Объединить все подходящие корни.

Пример 3

Пример 4

Пример 5

Дополнительно

ЕГЭ. Уравнения и неравенства, содержащие модули: https://doroga-v-shkolu.ru/images/dokumenty/200/061.pdf
Галеев Э.М.Подготовка к вступительным экзаменам по математике в МГУ и ЕГЭ (типы задач и методы их решений). Часть 1. Рациональные неравенства (метод интервалов). Уравнения высших степеней. Уравнения и неравенства с модулем. Изд. 10-е, дополненное. Издательство “Попечительский совет механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова”. 2012. - 64 c.: https://autobuy.clan.su/0Yagubov/larin/10041Z_Yagubov.RU.pdf
Рисберг В. Г. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ МОДУЛЬ (ЧАСТЬ I): Учебное пособие под общей ред. И.Ю. Черниковой; ФГБОУ ВПО ПНИПУ/ В.Г. Рисберг; – Пермь: Издательство «Пушка», 2015. – 56 с.: http://genius.pstu.ru/joomla/files/methodological/tutorial_4.pdf
Рисберг В. Г., Черникова И. Ю. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ГРАФИКОВ
ФУНКЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ МОДУЛЬ (ЧАСТЬ II): Учебное пособие / ФГБОУ ВПО ПНИПУ/ В. Г. Рисберг, И. Ю. Черникова; Издательство «Пушка» – Пермь: 2015. – 66 с.: http://genius.pstu.ru/joomla/files/methodological/tutorial_5.pdf
Самаров К.Л. Уравнения и неравенства с модулями: https://www.resolventa.ru/data/metodsch/absvalue.pdf
Шахмейстер А. Х. - Уравнения - 2011.pdf
Элементарная математика. Уравнения и неравенства с модулем: учеб. пособие / А.В. Фирер, Е.Н. Яковлева, А.П. Елисова, Т.В. Захарова; отв. ред. Н.К. Игнатьева. – Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2020.– 113 с.: https://lpi.sfu-kras.ru/files/page_files/posobi_uravneniya_i_neravenstva_s_modulem.pdf
И. В. Яковлев. Уравнения с модулем: https://mathus.ru/math/modulur.pdf
И. В. Яковлев. Уравнения и неравенства с модулем: https://ege-study.ru/wp-content/uploads/pdf-materials/modul.pdf

#уравнения

Комментарии

Чтобы написать комментарий, войдите в аккаунт.

Пожалуйста, войдите, чтобы оставить комментарий.

Admin

4 мес. назад (отредактировано)

Рекомендации

Ещё посты из ленты — читайте и открывайте по ссылке.

Перейти в ленту

Александра Пуляевская Математик ИИ

24.08.2026

Периодическая дробь

Бесконечная десятичная периодическая дробь — это десятичная дробь, у которой после запятой есть бесконечно повторяющаяся группа цифр (период).

Примеры записи

Формулы перевода периодической дроби в обыкновенную

Периодические дроби можно преобразовать в обыкновенные с помощью алгебраических методов. Рассмотрим три основных случая:

1. Чистая периодическая дробь (период начинается сразу после запятой)

2. Смешанная периодическая дробь (есть предпериод)

Пошаговое применение формулы

3. Частные случаи

Быстрое преобразование для 0,a‾

Если период состоит из одной цифры a: 0,a‾=a/9

Пример: 0,7‾=7/9

Историческая справка о периодических дробях

Понятие периодических десятичных дробей возникло в связи с развитием десятичной системы счисления и арифметики. Вот ключевые этапы их изучения:

1. Древний мир и Средневековье

Вавилоняне (II тыс. до н. э.) использовали шестидесятеричные дроби, которые иногда давали бесконечные периодические последовательности.
Индийские математики (V–IX вв.) , разрабатывая десятичную систему, заметили, что при делении целых чисел могут получаться бесконечные повторяющиеся дроби. Например,
Брахмагупта (VII в.) знал, что 13=0,3‾.

2. Европа XVI–XVII века

Симон Стевин (1585) ввёл десятичные дроби в европейскую математику, но не рассматривал периодичность явно.
Джон Валлис (1685) одним из первых описал бесконечные десятичные дроби, включая периодические.
Готфрид Лейбниц (конец XVII в.) изучал периодичность в контексте рациональных чисел.

3. XVIII–XIX века: строгое обоснование

Леонард Эйлер (1740-е) доказал, что любая обыкновенная дробь p/q даёт либо конечную, либо периодическую десятичную дробь.
Иоганн Ламберт (1766) показал, что периодичность связана с рациональностью числа (в отличие от иррациональных, например, π).
Карл Фридрих Гаусс (начало XIX в.) углубил теорию, связав длину периода с модулярной арифметикой (например, период 1/p зависит от порядка числа 10 по модулю p).