Вход / Регистрация
← К ленте
Александра Пуляевская Математик
01.05.2026

Уравнение с модулями - 4. Уравнения с несколькими модулями: метод интервалов и примеры

Метод интервалов (универсальный)

Алгоритм:

  1. Шаг 1. Найти нули подмодульных выражений.
    Для каждого выражения, стоящего под знаком модуля, решаем уравнение выражение = 0. Полученные числа называются критическими точками.

    Шаг 2. Отметить критические точки на числовой оси.
    Они разбивают всю числовую прямую на несколько промежутков.

    Шаг 3. Определить знаки подмодульных выражений на каждом промежутке.
    Берем пробную точку из каждого промежутка и подставляем в каждое подмодульное выражение, чтобы узнать его знак (плюс или минус).

    Шаг 4. Раскрыть модули на каждом промежутке в соответствии со знаками.
    Если выражение положительно на промежутке, модуль убираем без изменений; если отрицательно — убираем с заменой знака всего выражения (т.е. умножаем его на -1).

    Шаг 5. Решить полученное уравнение (уже без модулей) на каждом промежутке.
    Полученный корень должен принадлежать тому промежутку, для которого мы решали уравнение. Если корень не попадает в промежуток — он отбрасывается.

    Шаг 6. Объединить все подходящие корни.

1.00
1.00
1.00

Пример 3

1.00

Пример 4

1.00

Пример 5

1.00
1.00

Дополнительно

  1. ЕГЭ. Уравнения и неравенства, содержащие модули: https://doroga-v-shkolu.ru/images/dokumenty/200/061.pdf

  2. Галеев Э.М.Подготовка к вступительным экзаменам по математике в МГУ и ЕГЭ (типы задач и методы их решений). Часть 1. Рациональные неравенства (метод интервалов). Уравнения высших степеней. Уравнения и неравенства с модулем. Изд. 10-е, дополненное. Издательство “Попечительский совет механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова”. 2012. - 64 c.: https://autobuy.clan.su/0Yagubov/larin/10041Z_Yagubov.RU.pdf

  3. Рисберг В. Г. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ МОДУЛЬ (ЧАСТЬ I): Учебное пособие под общей ред. И.Ю. Черниковой; ФГБОУ ВПО ПНИПУ/ В.Г. Рисберг; – Пермь: Издательство «Пушка», 2015. – 56 с.: http://genius.pstu.ru/joomla/files/methodological/tutorial_4.pdf
    Рисберг В. Г., Черникова И. Ю. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ГРАФИКОВ
    ФУНКЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ МОДУЛЬ (ЧАСТЬ II): Учебное пособие / ФГБОУ ВПО ПНИПУ/ В. Г. Рисберг, И. Ю. Черникова; Издательство «Пушка» – Пермь: 2015. – 66 с.: http://genius.pstu.ru/joomla/files/methodological/tutorial_5.pdf

  4. Самаров К.Л. Уравнения и неравенства с модулями: https://www.resolventa.ru/data/metodsch/absvalue.pdf

  5. Шахмейстер А. Х. - Уравнения - 2011.pdf

  6. Элементарная математика. Уравнения и неравенства с модулем: учеб. пособие / А.В. Фирер, Е.Н. Яковлева, А.П. Елисова, Т.В. Захарова; отв. ред. Н.К. Игнатьева. – Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2020.– 113 с.: https://lpi.sfu-kras.ru/files/page_files/posobi_uravneniya_i_neravenstva_s_modulem.pdf

  7. И. В. Яковлев. Уравнения с модулем: https://mathus.ru/math/modulur.pdf

  8. И. В. Яковлев. Уравнения и неравенства с модулем: https://ege-study.ru/wp-content/uploads/pdf-materials/modul.pdf

#уравнения
1
Комментарии

Чтобы написать комментарий, войдите в аккаунт.

Пожалуйста, войдите, чтобы оставить комментарий.
gif
Рекомендации

Ещё посты из ленты — читайте и открывайте по ссылке.

Перейти в ленту
Александра Пуляевская Математик
19.05.2026

Параллелограмм: определение, свойства, задачи

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

  1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

 2. Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

 3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Задача 1

.

Площадь параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷 равна 60. Точка 𝐸 — середина стороны 𝐴𝐷. Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐸. Ответ:

Задача 2

Ответ:

Задача 3

В параллелограмме 𝐴⁢𝐵⁢𝐶⁢𝐷 диагонали делят его углы пополам и равны 10 и 24. Найдите периметр параллелограмма 𝐴⁢𝐵⁢𝐶⁢𝐷.

1. Анализ условия

В параллелограмме ABCD сказано:

диагонали делят его углы пополам

В параллелограмме диагонали не являются биссектрисами углов (кроме частных случаев). Для параллелограмма диагонали делят углы пополам только если это ромб.

Задача 4

В параллелограмме 𝐴⁢𝐵⁢𝐶⁢𝐷 диагонали являются биссектрисами его углов, 𝐴⁢𝐵 =35, 𝐴⁢𝐶 =42. Найдите 𝐵⁢𝐷.

1. Понимание фигуры

В параллелограмме ABCD диагонали являются биссектрисами его углов. Такое возможно только в ромбе (в общем параллелограмме диагонали не делят углы пополам).

Задача 5

Большая сторона = 14.7.

Задача 6

Ответ:

Дополнительно

Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

Задачи

  1. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ОГЭ математике
  2. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по базовой математике
  3. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по профильной математике
Показать полностью
#параллелограмм #планиметрия #геометрия
6
Александра Пуляевская Математик
19.05.2026

Тервер: найти вероятность того, что окажутся в одной группе

Задание 1

Задание 2

В классе 26 человек, среди них два близнеца — Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.

1.00
Показать полностью
#теория #вероятность
0
Александра Пуляевская Математик
19.05.2026

Задачи на круговое движение: обзор

Задачи на круговое движение, где один участник догоняет другого, часто пугают своей сложностью.Давайте разберем конкретную задачу, а затем рассмотрим общие принципы.

Задача

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 20 минут он ещё не вернулся в пункт A, и из пункта A следом за ним отправился мотоциклист. Через 5 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а ещё через 46 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 46 км. Ответ дайте в км/ч.

Универсальный алгоритм

Шаг 1. Привести все единицы измерения к единой системе

Шаг 2. Обозначить переменные

Шаг 3. Проанализировать первую встречу

К моменту первой встречи:

  • более медленный участник был в пути дольше (так как стартовал раньше);

  • оба проехали одинаковое расстояние (так как встретились в одной точке трассы).

Составляем уравнение, приравнивая пройденные расстояния. Это позволяет найти соотношение скоростей.

Шаг 4. Проанализировать промежуток между первой и второй встречами

Ключевой принцип: за время между встречами более быстрый участник проезжает на ровно один круг больше, чем медленный.

Шаг 5. Решить систему уравнений

Используем соотношение скоростей из шага 3 и подставляем в уравнение из шага 4.

Шаг 6. Проверить решение

Задание 1

Задание 2

Дополнительно:

Показать полностью
#движение #текстовые #задачи
0
Все посты в ленте →