Тег #круг сбросить

Обычно положение точки на единичной окружности задается углом α, который образует радиус-вектор точки с положительным направлением оси Ox (оси абсцисс).

• Углы измеряются в радианах или градусах.

• Положительное направление — против часовой стрелки .

Точке, полученной поворотом на угол α, ставят в соответствие это число α.

Однако, поскольку окружность замкнута, одной и той же точке соответствует бесконечное множество чисел (углов), отличающихся друг от друга на полный оборот (2π радиан или 360).

Диаметрально противоположные точки — это две точки на окружности, которые соединены отрезком, проходящим через центр окружности (то есть лежат на одном диаметре). Расстояние между ними по дуге составляет ровно половину окружности.

Если одна точка задана углом α, то диаметрально противоположная ей точка будет задаваться углом α+π (или α+180), так как π радиан — это половина окружности.

На единичной окружности даны две точки. Известно, что их абсциссы (координаты x) равны. Нужно найти общую формулу для записи всех действительных чисел (углов), которые соответствуют этим двум точкам.

На единичной окружности координаты точки задаются уравнениями: x=cos⁡ t, y=sin ⁡t. Если у двух точек одинаковые абсциссы, значит: cos⁡ t1=cos ⁡t2

Геометрически это означает, что точки расположены симметрично относительно горизонтальной оси (оси Ox). Если одна точка находится в верхней полуплоскости (ордината положительна), то вторая — в нижней полуплоскости (ордината отрицательна), и наоборот.

Исключение: точки на самом верху или внизу окружности (углы π2​ и 3π/2​) — там абсциссы равны 0, но это частный случай, который тоже подчиняется общей формуле.

Возьмём произвольный угол α, задающий точку Pα​ в верхней полуплоскости:

Точка Pt — это исходная точка. Ей соответствует угол α.

Точка P−t​ — это точка, симметричная исходной относительно оси Ox. Ей соответствует угол −α (или 2π−α, если брать положительное направление).

Почему именно −α?
Потому что косинус — чётная функция: cos⁡(−α)=cos⁡α. Синус — нечётная функция: sin⁡(−α)=−sin⁡α. Таким образом, абсциссы совпадают, а ординаты противоположны.

На единичной окружности даны две точки. Известно, что их ординаты (координаты y) равны. Требуется найти общую формулу для записи всех действительных чисел (углов), которые соответствуют этим двум точкам.

На единичной окружности координаты точки задаются уравнениями: x=cos ⁡t, y=sin⁡ t. Если у двух точек одинаковые ординаты, значит: sin⁡ t1=sin ⁡t2​.

Геометрически это означает, что точки расположены симметрично относительно вертикальной оси (оси Oy).

• Если одна точка находится в правой полуплоскости (абсцисса положительна), то вторая — в левой полуплоскости (абсцисса отрицательна).

• Ординаты (y) при этом одинаковы.

Рассмотрим произвольный угол α, задающий точку Pα​ в правой полуплоскости.

• Точка Pt  — это исходная точка. Ей соответствует угол α.

• Точка Pπ −t  — это точка, симметричная исходной относительно оси Oy. Ей соответствует угол π−α  (или π−α+2πn в общем виде).

Почему именно π−α?
Вспомним формулы приведения:

sin⁡(π−α)=sin⁡α, cos⁡(π−α)=−cos⁡α

Таким образом, ординаты совпадают, а абсциссы противоположны.

Длина всей окружности (в радианной мере) равна 2π. Если мы разделим окружность на nn равных частей, то центральный угол между двумя соседними точками деления будет равен: 2π/n.

Стандартный случай: начало отсчета в точке (1; 0)

Общий случай: произвольное начало α