На единичной окружности даны две точки. Известно, что их абсциссы (координаты x) равны. Нужно найти общую формулу для записи всех действительных чисел (углов), которые соответствуют этим двум точкам.
На единичной окружности координаты точки задаются уравнениями: x=cos t, y=sin t. Если у двух точек одинаковые абсциссы, значит: cos t1=cos t2
Геометрически это означает, что точки расположены симметрично относительно горизонтальной оси (оси Ox). Если одна точка находится в верхней полуплоскости (ордината положительна), то вторая — в нижней полуплоскости (ордината отрицательна), и наоборот.
Исключение: точки на самом верху или внизу окружности (углы π2 и 3π/2) — там абсциссы равны 0, но это частный случай, который тоже подчиняется общей формуле.
Возьмём произвольный угол α, задающий точку Pα в верхней полуплоскости:
Точка Pt — это исходная точка. Ей соответствует угол α.
Точка P−t — это точка, симметричная исходной относительно оси Ox. Ей соответствует угол −α (или 2π−α, если брать положительное направление).
Почему именно −α?
Потому что косинус — чётная функция: cos(−α)=cosα. Синус — нечётная функция: sin(−α)=−sinα. Таким образом, абсциссы совпадают, а ординаты противоположны.
Комментариев пока нет — может, вы будете первым?