Тег #натуральные сбросить

Цепные дроби: теория и практика

Цепная дробь — это способ представления числа в виде последовательности целых чисел, где каждый следующий элемент уточняет приближение. Цепная дробь — это выражение вида где a 0 — целое число, а все остальные a 1 , a 2 ,…

Автор: Александра Пуляевская

Цепные дроби: примеры применения

Цепные дроби — это мощный математический инструмент, который находит применение не только в теории чисел, но и в алгоритмах, криптографии и даже в игровых механиках. …

Автор: Александра Пуляевская

Дополнительно:

Евклид (III век до н. э.) — великий математик, написавший труд «Начала» — одну из самых важных книг в истории математики.

Он впервые доказал, что простых чисел бесконечно много и описал алгоритм нахождения наибольшего общего делителя (НОД) — он так и называется: алгоритм Евклида.

Пример: Чтобы найти НОД(48, 18), Евклид предлагал делить с остатком:

• 48 : 18 = 2 (ост. 12)

• 18 : 12 = 1 (ост. 6)

• 12 : 6 = 2 (ост. 0) → НОД = 6

Дополнительно

• ЕГЭ 2018. Математика. Арифметика и алгебра. Задача 19 (профильный уровень) / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО. : https://repetitor95.ru/Volfson_19.pdf

• Делимость целых чисел в задачах: Сборник задач, - Ханты-Мансийск, Югорский физико-математический лицей, 39 c. : https://yufmli.gosuslugi.ru/netcat_files/30/69/V.P._Chuvakov._Delimost_tselyh_chisel_v_zadachah.pdf

• Элементы теории чисел Задание № 19.1 профильного ЕГЭ по математике. https://iro23.ru/wp-content/uploads/2024/04/Вебинар-18.04.2024-Артемова-ОЛ.pdf

Делители и кратные

• Делитель числа — это число, на которое данное число делится без остатка. Например: делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

• Кратное числу — это число, которое делится на данное число без остатка. Например: кратные числу 5: 5, 10, 15, 20, ...

Наибольший общий делитель (НОД)

• Это самое большое число, на которое делятся оба числа.

• Находят, раскладывая числа на простые множители, и перемножая общие множители.

Пример: НОД(12, 18)
12 = 2×2×3
18 = 2×3×2
Общие: 2×3=6 → НОД = 6

Наименьшее общее кратное (НОК)

• Это самое маленькое число, которое делится на оба числа.

• Находят, перемножая все простые множители из обоих чисел, беря каждый с наибольшим показателем степени.

Пример: НОК(12, 18)
12 = 2×2×3
18 = 2×3×2
НОК = 2×2×3×3=4×9=36

Дополнительно

• ЕГЭ 2018. Математика. Арифметика и алгебра. Задача 19 (профильный уровень) / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО. : https://repetitor95.ru/Volfson_19.pdf

• Делимость целых чисел в задачах: Сборник задач, - Ханты-Мансийск, Югорский физико-математический лицей, 39 c. : https://yufmli.gosuslugi.ru/netcat_files/30/69/V.P._Chuvakov._Delimost_tselyh_chisel_v_zadachah.pdf

• Элементы теории чисел Задание № 19.1 профильного ЕГЭ по математике. https://iro23.ru/wp-content/uploads/2024/04/Вебинар-18.04.2024-Артемова-ОЛ.pdf

Дополнительно

• ЕГЭ 2018. Математика. Арифметика и алгебра. Задача 19 (профильный уровень) / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО. : https://repetitor95.ru/Volfson_19.pdf

• Делимость целых чисел в задачах: Сборник задач, - Ханты-Мансийск, Югорский физико-математический лицей, 39 c. : https://yufmli.gosuslugi.ru/netcat_files/30/69/V.P._Chuvakov._Delimost_tselyh_chisel_v_zadachah.pdf

• Элементы теории чисел Задание № 19.1 профильного ЕГЭ по математике. https://iro23.ru/wp-content/uploads/2024/04/Вебинар-18.04.2024-Артемова-ОЛ.pdf

Обратная задача к функции τ(n): для заданного k найти наименьшее число, имеющее ровно k делителей.

Дополнительно

Дополнительно

Числа и алгоритм Капрекара — это "математические микроскопы", позволяющие рассмотреть удивительные закономерности в, казалось бы, простых арифметических операциях.

Этот интерактивный веб-инструмент решает классическую математическую задачу: находит минимальное натуральное число, которое имеет заданное количество делителей. Например, если вам нужно число с 12 делителями, калькулятор покажет, что это число 60 (2²×3×5).

«Решето» — это один из самых ранних и элегантных алгоритмов в истории математики. Название образное: как просеивают крупу через сито, так и в этом методе «просеиваются» натуральные числа, оставляя только простые.

Метод поиска простых чисел, известный как «Решето Эратосфена», действительно придумал Эратосфен из Кирены — выдающийся древнегреческий учёный, живший примерно в 276–194 гг. до н. э.

Он был не только математиком, но и:

• Географом (считается «отцом географии», первым ввёл термин «география»),

• Астрономом (точно измерил окружность Земли с поразительной для своего времени точностью),

• Библиотекарем (возглавлял знаменитую Александрийскую библиотеку),

• Философом и поэтом

  .

Напомним:

• Простое число — это число, у которого ровно два делителя: 1 и оно само. Примеры: 2, 3, 5, 7, 11, 13... 1 —не простое и не составное!

Алгоритм

Цель: Найти все простые числа от 1 до 100.

Шаг 1: Запишем числа от 1 до 100

https://cdn1.ozone.ru/s3/multimedia-0/6319237488.jpg

Шаг 2: Вычёркиваем по правилам

🔹 Вычеркни число 1.

🔹 Обведи 2 — это первое простое число.

Затем вычеркни все числа, кратные 2 (то есть каждое второе): 4, 6, 8, 10, 12, 14, ..., 100

🔹 Следующее число — 3. Обведи.

Вычеркни все числа, кратные 3 (после 3): 6, 9, 12, 15, 18, 21, ... (уже вычеркнутые можно не трогать)

🔹Следующее число — 5. Обведи.

Вычеркни все кратные 5: 10, 15, 20, 25, 30, ... (многие уже вычеркнуты)

🔹 Следующее число — 7. Обведи.

Вычеркни кратные 7: 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98

🔹 Следующее число — 11. Но:

11×11=121>100 , значит, дальше ничего вычёркивать не нужно.

Шаг 3: Остались только простые числа!

Обведённые числа — это простые от 2 до 100:

https://www.frontiersin.org/files/Articles/409580/frym-06-00040-HTML/image_m/figure-2.jpg

Всего 25 простых чисел от 1 до 100.