Тег #треугольники сбросить

В русскоязычной школьной традиции «теоремой Фалеса» называют утверждение о пропорциональных отрезках при параллельных прямых.

^{https://ege-mobile.maximumtest.ru/v1/content/image/72418db0-1180-4acf-9285-43cc4491c5a9}

В англоязычной литературе (Thales’ theorem) этим именем чаще называют свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр.

^{https://www.kp.ru/edu/shkola/tsentralnye-i-vpisannye-ugly/}

Оба утверждения исторически связывают с Фалесом Милетским, но в учебных задачах лучше опираться на принятую в нашей традиции формулировку: «Теорема о вписанном угле, опирающемся на диаметр» или «Свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр».

Рассмотрим обе теоремы и разберем задачи.

Дополнительно

https://profimatika.ru/planik_bis?clckid=06923e72

Инцентр (точка пересечения биссектрис треугольника) делит каждую биссектрису в отношении, которое равно сумме длин двух сторон, образующих этот угол, делённой на длину противолежащей стороны.

Например, 𝐴𝐵 = 6, 𝐵𝐶 = 5, 𝐴𝐶 = 9. Тогда АО:ОА'= (AB+AC)/BC = 15/5=3:1

https://profimatika.ru/planik_bis?clckid=06923e72

Отрезки, на которые биссектриса треугольника делит противолежащую сторону, пропорциональны прилежащим сторонам.

Рассмотрим задачу (Практикум в формате ЕГЭ по профильной математике ЗАДАНИЕ №17)

• В каких отношениях могут делить друг друга биссектрисы, медианы и высоты треугольника точками их пересечения

• Лемма о трех биссектрисах

Дополнительно

• 
  Биссектрисы в треугольнике: свойства, формулы и построение
  Дополнительно https://internat.msu.ru/media/uploads/2013/11/Материалы-очных-сборов.-Биссектриса.pdf https://znanierussia.ru/articles/Биссектриса
  Автор: Александра Пуляевская
• 
  Как найти угол между высотой (медианой) и биссектрисой в треугольнике
  Утверждение: Угол между высотой и биссектрисой равен полуразности двух других углов треугольника.
  Автор: Александра Пуляевская
• 
  Как найти угол между биссектрисами треугольника
  Если биссектрисы углов А и C треугольника ABC пересекаются в точке О, то ∠АОC = 90◦ + ∠В/2. или 90+74/2=90+37=127 Дополнительно Теорема о сумме углов треугольника и следствия из нее…
  Автор: Александра Пуляевская

Теорема Штейнера — Лемуса утверждает, что если в треугольнике две биссектрисы равны по длине, то этот треугольник равнобедренный.

Теорема была сформулирована К. Л. Лемусом и впоследствии доказана Якобом Штейнером. Доказательство появилось в работах этих немецких геометров в XIX веке. В 1840 году Лемус упомянул теорему в письме К. Штурму, попросив найти чисто геометрическое доказательство. Штурм передал запрос другим математикам, и Штейнер был одним из первых, кто предложил решение. В 1963 году журнал American Mathematical Monthly объявил конкурс на лучшее доказательство теоремы. Было прислано много работ, среди которых обнаружились интересные и ранее неизвестные подходы.

https://www.itmathrepetitor.ru/spravochnik-olimpiadnika-planimetri-2/

https://mat.1sept.ru/view_article.php?ID=201000210

Дополнительно

медиана, биссектриса и высота

Особенным образом ведут себя медиана, биссектриса и высота, проведённые к гипотенузе.

Высота разбивает прямоугольный треугольник на два прямоугольных треугольника, которые подобны друг другу, то есть имеют одинаковую форму, но разные размеры. Причём эти два треугольника подобны не только друг другу, но и большому треугольнику тоже.

Биссектриса является не только биссектрисой самого треугольника, но и биссектрисой маленького треугольника, ограниченного медианой и высотой.

Задачи из ФИПИ. 47BD49

Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

Дополнительно

1. Фигуры на квадратной решётке
2. Многоугольники: вычисление площадей
3. Система заданий по теме «Площадь фигур»
4. Е. А. Ширяева Задачник ОГЭ 2025 (примеры решений). 18. Фигуры на квадратной решётке
5. Справочник по планиметрии от «Школково»

6. matem-teoriya-treugolnik.pdf

Задачи

1. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ОГЭ математике
2. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по базовой математике
3. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по профильной математике

Утверждение: Угол между высотой и биссектрисой равен полуразности двух других углов треугольника.

Дополнительно

Системы заданий

• ploshhadi_figur_kletochki.pdf
• prototipy_zadanija-3_egeh.pdf
• 3.2.plochadi_mnogougolnikov_s_otvetami.pdf
• oge-21.02.2024-vasyuk-l.a-kovaleva-m.g-figury-na-kletchatoj-bumage.pdf
• oge_2026_zadanie_18_prim_resh.pdf
• 12.figuri_na_reschetke_s_reschenijami.pdf

Пособия

• geometriya-na-kletchatoj-bumage.pdf
• naglyadnaya-geometriya.pdf

Способ 1. Самый популярный — теорема косинусов

Это основной и надежный метод. Он работает всегда, если известны длины всех трех сторон.

Пусть в треугольнике стороны равны a,b,c.
Требуется найти косинус угла α, лежащего напротив стороны a.

Важно запомнить:
В числителе складываются квадраты сторон, образующих угол, а вычитается квадрат противолежащей стороны.

Способ 2. Если заданы координаты вершин — используем векторы

Часто треугольник задан не длинами сторон, а координатами точек A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3).
Тогда косинус угла при вершине A (угол BAC) удобно находить через скалярное произведение векторов.

Способ 3. Частный случай — прямоугольный треугольник

Если вы точно знаете, что треугольник прямоугольный, то косинус острого угла находится элементарно.

Способ 4. Если известны площадь и две стороны

Иногда в условии даны две стороны b и c и площадь S, а угол α между ними неизвестен.
Тогда алгоритм такой:

⚠️ Важнейший нюанс

Знак «плюс» или «минус» зависит от того, острый угол (α<90) или тупой (α>90).

• Если угол острый → cos⁡α>0

• Если тупой → cos⁡α<0

Без дополнительных данных задача имеет два решения.

свойства

Дополнительно

1. Отношение площадей
2. Воронин В. В. Метод. пособие: Отношения отрезков и площадей. Новосибирск: НГУ, 2016. 40 с.

3. Основные свойства площадей треугольников