Тег #углы сбросить

Что такое высота треугольника?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или её продолжение).

Свойства высот:

Три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке — ортоцентре (точка H).

В геометрии, когда говорят об угле между двумя пересекающимися прямыми, всегда имеют в виду острый (или прямой) угол — то есть угол от 0° до 90° включительно. Угол между высотами в остроугольном треугольнике равен углу между сторонами, к которым эти высоты проведены.

Тупой угол равен 180 - ∠B, где ∠B — угол при вершине B треугольника. 

3. Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:

Задача 1.

В равностороннем треугольнике АВС найдите величину острого угла между его высотами.

В равностороннем треугольнике высоты (прямые линии) пересекаются, образуя два угла:

• Острый угол = 60° (так как треугольник равносторонний, все углы при вершинах равны =60)

• Тупой угол = 180-60=120°

Согласно правилу (выбираем меньший угол), углом между прямыми (высотами) будет 60°

Ответ: 60

Задача 2.

В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 65 и BD, CE — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

Угол DOE: DOE=180-65=115

Задача 3.

Два угла треугольника равны 58 и 72 . Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах

180-(58+72)=50

180-50=130.

В треугольнике ABC из вершины A проведены:

• Высота AH (перпендикуляр к стороне BC)

• Биссектриса AL (делит угол A пополам)

Утверждение: Угол между высотой и биссектрисой равен полуразности двух других углов треугольника.

Задача 1

Какой угол образуют минутная и часовая стрелки часов в 19:00? Ответ дайте в градусах.

Алгоритм:

1. Разбить циферблат:

   • Полный круг = 360°

   • Между соседними часами = 360° / 12 = 30°

   • Между соседними минутами = 360° / 60 = 6°

2. Определить положение стрелок:

   • Часовая стрелка:  за каждый час смещается на 30° от отметки «12». В 19:00 часовая стрелка ровно на цифре 7.

     Отсчёт от 12:  7 часов × 30° = 210°  от верхней точки.

   • Минутная стрелка:  в 00 минут — на цифре 12, то есть 0° от верхней точки.

3. Найти разницу углов:

   • Угол часовой = 210° (от 12 по часовой)

   • Угол минутной = 0°

   • Разница:  |210° − 0°| = 210°

4. Выбрать меньший угол между стрелками (т.к. угол между стрелками ≤ 180°):
   Если разность > 180°, вычесть из 360°.
   210° > 180° ⇒ меньший угол = 360° − 210° = 150°

Решение:

• Часовая: 7 × 30 = 210°

• Минутная: 0°

• Разность = 210°

• 210° > 180° ⇒ угол = 360 − 210 = 150°

Ответ: 150°

От 12 до 7 — 7 делений циферблата (210° по часовой). Минутная на 12, разница 210°, но меньший путь через 11, 10... — 150°.

Задача 2

В колесе углы между соседними спицами равны. Сколько спиц в колесе, если угол между соседними спицами равен 30°?

Дано:
Угол между соседними спицами = 30°.
Найти количество спиц.

Решение:

1. Полный круг = 360°.

2. Полный круг делится на равные углы.

3. Количество спиц = полный круг / угол между соседними спицами:
   n=360°​/30°
   n=12

Ответ: 12 спиц

Дополнительно

Способ 1

Нужно найти угол ∠EFG, то есть угол с вершиной в точке F, между сторонами FE и FG.

Значит, каждый внутренний угол восьмиугольника равен 135∘. Угол EFG — это внутренний угол при вершине F (потому что FE и FG — стороны восьмиугольника).Поэтому ∠EFG=135∘.

Способ 2

Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Центральный угол между соседними вершинами: 360:8=45.

Угол EFG опирается на большую дугу EG и является вписанным, поэтому равен половине угла EOG : 6*45:2=135.

Задача 2

Способ 1

I признак четырехугольника, вписанного в окружность:

Четыре точки лежат на одной окружности, если два противоположных угла в сумме дают 180∘ .

Тогда угол HEJ равен 180-144=36.

Способ 2

Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность. Центральный угол между соседними вершинами: 360:10=36.

Угол HEJ опирается на ту же дугу что и центральный угол HOJ (36*2) и является вписанным, поэтому равен половине угла HOJ : 36*2:2=36.

Задача 3

Ответ: 147

Пример 1

В угол C величиной 83° вписана окружность: как найти угол AOB

Решение

Можно заметить, что углы ∠C и ∠AOB в данном четырехугольнике являются противоположными, причем два других угла прямые. Следовательно, их сумма равна 180: ∠AOB=180−83=97.

Пример 2

Ответ: 180-72=108, (180-108):2=36

Пример 3

Ответ: 90-66=24

Пример 4

Ответ: 90-57=33

Пример 5

Ответ: 15

Пример 6

Ответ: 18

Так как угол между двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то ACB=(AB-DE):2 . DE=102-33*2=36 . Тогда DAE, как вписанный и опирающийся на дугу , равен ее половине, то есть 36:2=18 .

Пример 7

Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен 32. Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах.

Так как угол между хордой и касательной, проведенными из одной точки окружности, равен половине дуги, заключенной между ними, то меньшая дуга AB равна 32*2=64.
.

Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

Задачи

1. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ОГЭ математике
2. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по базовой математике
3. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по профильной математике

Окружность. Основные теоремы

Треугольники ВОС и AOD равнобедренные. Тогда угол АСВ=(180-44):2=136:2=68

Ответ: 148

Ответ: 56

Ответ: 32

Дополнительно

Через точку 𝐴, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке 𝐾. Другая прямая пересекает окружность в точках 𝐵 и 𝐶, причём 𝐴𝐵 = 2, 𝐵𝐶 = 6. Найдите 𝐴𝐾.

Запомни:

Дополнительно

1. okruzhnost.pdf

2. matem-teoriya-okruzhnost-krug.pdf

Обычно положение точки на единичной окружности задается углом α, который образует радиус-вектор точки с положительным направлением оси Ox (оси абсцисс).

• Углы измеряются в радианах или градусах.

• Положительное направление — против часовой стрелки .

Точке, полученной поворотом на угол α, ставят в соответствие это число α.

Однако, поскольку окружность замкнута, одной и той же точке соответствует бесконечное множество чисел (углов), отличающихся друг от друга на полный оборот (2π радиан или 360).

Диаметрально противоположные точки — это две точки на окружности, которые соединены отрезком, проходящим через центр окружности (то есть лежат на одном диаметре). Расстояние между ними по дуге составляет ровно половину окружности.

Если одна точка задана углом α, то диаметрально противоположная ей точка будет задаваться углом α+π (или α+180), так как π радиан — это половина окружности.