За каждым заданием второй части профильного ЕГЭ по математике уже давно закрепилось неофициальное название: так, задание 16 учителя и учащиеся называют экономической задачей. Это название объединяет задачи на кредиты и вклады, а также задачи на оптимизацию.
Кредит банка – сумма денежных средств, которую заёмщик обязуется вернуть банку в соответствии с условиями заключённого договора (проценты, сроки промежуточных платежей и др.). Платёж по кредиту состоит из основного долга и процентов. Основной долг — это размер кредита. А проценты — это сумма, которую берет банк за пользование кредитом.
Основные понятия
S — сумма кредита или вклада (в рублях) r — процентная ставка (например, 10% → r=10 ) k = 1 + r/100 — коэффициент роста долга/вклада (например, при 10% → k=1.1 ) n — количество периодов (лет, месяцев) x — размер платежа (если аннуитетный) d = S/n — ежемесячное (ежегодное) погашение основного долга (для дифференцированного)
За каждым заданием второй части профильного ЕГЭ по математике уже давно закрепилось неофициальное название: так, задание 16 учителя и учащиеся называют экономической задачей. Это название объединяет задачи на кредиты и вклады, а также задачи на оптимизацию.
Кредит банка – сумма денежных средств, которую заёмщик обязуется вернуть банку в соответствии с условиями заключённого договора (проценты, сроки промежуточных платежей и др.). Платёж по кредиту состоит из основного долга и процентов. Основной долг — это размер кредита. А проценты — это сумма, которую берет банк за пользование кредитом.
Основные понятия
S — сумма кредита или вклада (в рублях) r — процентная ставка (например, 10% → r=10 ) k = 1 + r/100 — коэффициент роста долга/вклада (например, при 10% → k=1.1 ) n — количество периодов (лет, месяцев) x — размер платежа (если аннуитетный) d = S/n — ежемесячное (ежегодное) погашение основного долга (для дифференцированного)
Имеется творог двух сортов. Жирный содержит 20% жира а нежирный содержит 5% жира. Определите процент жирности получившегося творога, если смешали: а) 2 кг жирного и 3 кг нежирного творога, б) 3 кг жирного и 2 кг нежирного творога.
Ответ: а) 11%, б) 14%
Задача 2
Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 35 кг раствора кислоты различной концентрации. Если смешать оба раствора, то получится раствор, содержащий 46% кислоты. Если смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Какова концентрация данных растворов?
Имеется творог двух сортов. Жирный содержит 20% жира а нежирный содержит 5% жира. Определите процент жирности получившегося творога, если смешали: а) 2 кг жирного и 3 кг нежирного творога, б) 3 кг жирного и 2 кг нежирного творога.
Ответ: а) 11%, б) 14%
Задача 2
Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 35 кг раствора кислоты различной концентрации. Если смешать оба раствора, то получится раствор, содержащий 46% кислоты. Если смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Какова концентрация данных растворов?
На складе хранилась 51 т зерна, влажность которого была 20%. Перед закладкой зерна в зернохранилище его просушили, доведя влажность до 15%. Сколько тонн зерна засыпали в зернохранилище?
Решение
Вес зерна изменился из-за испарения воды.
Сухое вещество осталось неизменным.
Шаг 1. Сколько сухого вещества было
Масса зерна исходная: 51 т. Влажность 20%, значит воды 20%, сухого вещества:
100%−20%=80%
51×0.80=40.8 т сухого вещества.
Шаг 2. Сухое вещество после сушки
После сушки влажность 15%, значит сухого вещества:
На складе хранилась 51 т зерна, влажность которого была 20%. Перед закладкой зерна в зернохранилище его просушили, доведя влажность до 15%. Сколько тонн зерна засыпали в зернохранилище?
Решение
Вес зерна изменился из-за испарения воды.
Сухое вещество осталось неизменным.
Шаг 1. Сколько сухого вещества было
Масса зерна исходная: 51 т. Влажность 20%, значит воды 20%, сухого вещества:
100%−20%=80%
51×0.80=40.8 т сухого вещества.
Шаг 2. Сухое вещество после сушки
После сушки влажность 15%, значит сухого вещества:
Диаграммы Эйлера (или круги Эйлера) — это графическое представление отношений между множествами. В теории вероятностей они используются для визуализации отношений между событиями.
Диаграммы Эйлера (или круги Эйлера) — это графическое представление отношений между множествами. В теории вероятностей они используются для визуализации отношений между событиями.
1. Какова вероятность, что сумма результатов бросков будет равна 5? 2. Какова вероятность, что сумма результатов бросков будет больше или равна 7? 3. Какова вероятность, что сумма результатов бросков будет чётной?
Задание 2
Мы подбросили монетку два раза. Тем самым, возможные исходы это: оо, ор, ро, рр (орёл это ”о”, решка это ”р”). Будем считать все исходы равновероятными. 1. Известно, что выпал хотя бы один орёл. Какова вероятность того, что выпало два орла? 2. Известно, что выпал хотя бы один орёл. Какова вероятность того, что выпал сначала орёл, а затем решка? 3. Известно, что выпали два разных значения. Какова вероятность того, что выпал сначала орёл, а затем решка? 4. Известно, что выпало два орла. Какова вероятность того, что выпал хотя бы один орёл?
Задание 3
В колоде 52 карты. Есть 4 масти: пики, крести, бубны, черви. В каждой масти 13 различных номинаций: 2, 3, . . . , 10, валет, дама, король, туз. 1. Из колоды случайным образом вытягивается одна карта. Независимы ли события ”вытянули валета” и ”вытянули пику”? 2. Из колоды случайным образом вытягивается одна карта. Независимы ли события ”вытянули валета” и ”вытянули туз”?
Задание 4
В колоде 52 карты. Есть 4 масти: пики, крести, бубны, черви. В каждой масти 13 различных номинаций: 2, 3, . . . , 10, валет, дама, король, туз. 1. Из колоды случайным образом вытягивается одна карта, а затем ещё одна. Независимы ли события ”первая карта это король” и ”вторая карта это крести”? 2. Из колоды случайным образом вытягивается одна карта, а затем ещё одна. Независимы ли события ”первая карта это король” и ”вторая карта это десятка”?
В одной урне лежат 5 белых и 10 красных шаров, в другой урне – 10 белых и 5 красных шаров. Из каждой урны вынули по одному шару. Найти вероятность того, что хотя бы один из вынутых шаров ‒ белый.
Пусть событие А – из первой урны вынут белый шар, событие B - из второй урны вынут белый шар. Решим задачу двумя способами.
Задание 6
В урне лежат 12 белых, 8 красных и 10 синих шаров. Не глядя, вынимают два шара. Какова вероятность, что вынуты шары разных цветов, если известно, что среди них не оказалось синего шара?
Событие А – вынуты два шара разных цветов; событие B - пара не содержит синий шар. Нас интересует условная вероятность события А при условии, что событие B произошло.
Задание 7
Монету бросают 7 раз. Найти вероятность того, что 4 раза выпадет герб.
Монету бросили 20 раз. Известно, что орёл выпал 9 раз. Найдите вероятность того, что при десятом по счёту броске выпала решка.
Задание 9
Игральную кость бросили два раза. Известно, что два очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 12».
1. Какова вероятность, что сумма результатов бросков будет равна 5? 2. Какова вероятность, что сумма результатов бросков будет больше или равна 7? 3. Какова вероятность, что сумма результатов бросков будет чётной?
Задание 2
Мы подбросили монетку два раза. Тем самым, возможные исходы это: оо, ор, ро, рр (орёл это ”о”, решка это ”р”). Будем считать все исходы равновероятными. 1. Известно, что выпал хотя бы один орёл. Какова вероятность того, что выпало два орла? 2. Известно, что выпал хотя бы один орёл. Какова вероятность того, что выпал сначала орёл, а затем решка? 3. Известно, что выпали два разных значения. Какова вероятность того, что выпал сначала орёл, а затем решка? 4. Известно, что выпало два орла. Какова вероятность того, что выпал хотя бы один орёл?
Задание 3
В колоде 52 карты. Есть 4 масти: пики, крести, бубны, черви. В каждой масти 13 различных номинаций: 2, 3, . . . , 10, валет, дама, король, туз. 1. Из колоды случайным образом вытягивается одна карта. Независимы ли события ”вытянули валета” и ”вытянули пику”? 2. Из колоды случайным образом вытягивается одна карта. Независимы ли события ”вытянули валета” и ”вытянули туз”?
Задание 4
В колоде 52 карты. Есть 4 масти: пики, крести, бубны, черви. В каждой масти 13 различных номинаций: 2, 3, . . . , 10, валет, дама, король, туз. 1. Из колоды случайным образом вытягивается одна карта, а затем ещё одна. Независимы ли события ”первая карта это король” и ”вторая карта это крести”? 2. Из колоды случайным образом вытягивается одна карта, а затем ещё одна. Независимы ли события ”первая карта это король” и ”вторая карта это десятка”?
В одной урне лежат 5 белых и 10 красных шаров, в другой урне – 10 белых и 5 красных шаров. Из каждой урны вынули по одному шару. Найти вероятность того, что хотя бы один из вынутых шаров ‒ белый.
Пусть событие А – из первой урны вынут белый шар, событие B - из второй урны вынут белый шар. Решим задачу двумя способами.
Задание 6
В урне лежат 12 белых, 8 красных и 10 синих шаров. Не глядя, вынимают два шара. Какова вероятность, что вынуты шары разных цветов, если известно, что среди них не оказалось синего шара?
Событие А – вынуты два шара разных цветов; событие B - пара не содержит синий шар. Нас интересует условная вероятность события А при условии, что событие B произошло.
Задание 7
Монету бросают 7 раз. Найти вероятность того, что 4 раза выпадет герб.
Монету бросили 20 раз. Известно, что орёл выпал 9 раз. Найдите вероятность того, что при десятом по счёту броске выпала решка.
Задание 9
Игральную кость бросили два раза. Известно, что два очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 12».
Экзаменационный билет состоит из трёх вопросов. Вероятность того, что студент ответит на первый вопрос, равна 0,9; на второй — 0,8; на третий — 0,7. Найдите вероятность того, что студент, выбрав билет, ответит а) на все вопросы; б) по крайней мере на два вопроса.
Студент знает ответ на 20 вопросов из 25. Найти вероятность того, что он ответит на три вопроса, предложенные преподавателем.
с. 29
Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень первого стрелка равна 0,7, а второго — 0,9. Найти вероятность того, что мишень будет поражена.
Экзаменационный билет состоит из трёх вопросов. Вероятность того, что студент ответит на первый вопрос, равна 0,9; на второй — 0,8; на третий — 0,7. Найдите вероятность того, что студент, выбрав билет, ответит а) на все вопросы; б) по крайней мере на два вопроса.
Студент знает ответ на 20 вопросов из 25. Найти вероятность того, что он ответит на три вопроса, предложенные преподавателем.
с. 29
Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень первого стрелка равна 0,7, а второго — 0,9. Найти вероятность того, что мишень будет поражена.
Условная вероятность одно из важнейших понятий теории вероятностей, которое позволяет учитывать дополнительную информацию о наступлении другого события при оценке шансов события А.
Понятие условной вероятности возникло в работах математиков XVII–XVIII веков, связанных с анализом азартных игр и демографических данных.
Томас Байес (1701–1761) разработал теорему, связывающую условные вероятности (теорема Байеса).
Пьер-Симон Лаплас (1749–1827) формализовал теорию вероятностей, включая условные вероятности.
Современное определение основано на аксиоматике А. Н. Колмогорова (1933).
Задание 1
Мы сделали медицинский тест на наличие некоторой болезни тысяче человек. У 900 из них результат теста оказался отрицательным (тест говорит ”здоров”), у 100 — положительным (тест говорит ”болен”). Впоследствии выяснилось, что среди 900 людей с отрицательным результатом было 60 заболевших, а среди 100 людей с положительным результатом было 50 заболевших.
1. Ещё один человек сдал тест и получил положительный результат. Какова вероятность того, что он болен?
2. Ещё один человек сдал тест и получил отрицательный результат. Какова вероятность того, что он болен?
3. Человек здоров, но пока не знает об этом. Он сдаёт тест. Какова вероятность, что тест по ошибке определит его как больного, то есть даст положительный результат? (такой результат называют ложноположительным)
4. Человек болен, но пока не знает об этом. Он сдаёт тест. Какова вероятность, что тест по ошибке определит его как здорового, то есть даст отрицательный результат? (такой результат называют ложноотрицательным
Условная вероятность одно из важнейших понятий теории вероятностей, которое позволяет учитывать дополнительную информацию о наступлении другого события при оценке шансов события А.
Понятие условной вероятности возникло в работах математиков XVII–XVIII веков, связанных с анализом азартных игр и демографических данных.
Томас Байес (1701–1761) разработал теорему, связывающую условные вероятности (теорема Байеса).
Пьер-Симон Лаплас (1749–1827) формализовал теорию вероятностей, включая условные вероятности.
Современное определение основано на аксиоматике А. Н. Колмогорова (1933).
Задание 1
Мы сделали медицинский тест на наличие некоторой болезни тысяче человек. У 900 из них результат теста оказался отрицательным (тест говорит ”здоров”), у 100 — положительным (тест говорит ”болен”). Впоследствии выяснилось, что среди 900 людей с отрицательным результатом было 60 заболевших, а среди 100 людей с положительным результатом было 50 заболевших.
1. Ещё один человек сдал тест и получил положительный результат. Какова вероятность того, что он болен?
2. Ещё один человек сдал тест и получил отрицательный результат. Какова вероятность того, что он болен?
3. Человек здоров, но пока не знает об этом. Он сдаёт тест. Какова вероятность, что тест по ошибке определит его как больного, то есть даст положительный результат? (такой результат называют ложноположительным)
4. Человек болен, но пока не знает об этом. Он сдаёт тест. Какова вероятность, что тест по ошибке определит его как здорового, то есть даст отрицательный результат? (такой результат называют ложноотрицательным
Задачи на круговое движение, где один участник догоняет другого, часто пугают своей сложностью.Давайте разберем конкретную задачу, а затем рассмотрим общие принципы.
Задача
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 20 минут он ещё не вернулся в пункт A, и из пункта A следом за ним отправился мотоциклист. Через 5 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а ещё через 46 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 46 км. Ответ дайте в км/ч.
Универсальный алгоритм
Шаг 1. Привести все единицы измерения к единой системе
Шаг 2. Обозначить переменные
Шаг 3. Проанализировать первую встречу
К моменту первой встречи:
более медленный участник был в пути дольше (так как стартовал раньше);
оба проехали одинаковое расстояние (так как встретились в одной точке трассы).
Составляем уравнение, приравнивая пройденные расстояния. Это позволяет найти соотношение скоростей.
Шаг 4. Проанализировать промежуток между первой и второй встречами
Ключевой принцип: за время между встречами более быстрый участник проезжает на ровно один круг больше, чем медленный.
Шаг 5. Решить систему уравнений
Используем соотношение скоростей из шага 3 и подставляем в уравнение из шага 4.
Задачи на круговое движение, где один участник догоняет другого, часто пугают своей сложностью.Давайте разберем конкретную задачу, а затем рассмотрим общие принципы.
Задача
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 20 минут он ещё не вернулся в пункт A, и из пункта A следом за ним отправился мотоциклист. Через 5 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а ещё через 46 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 46 км. Ответ дайте в км/ч.
Универсальный алгоритм
Шаг 1. Привести все единицы измерения к единой системе
Шаг 2. Обозначить переменные
Шаг 3. Проанализировать первую встречу
К моменту первой встречи:
более медленный участник был в пути дольше (так как стартовал раньше);
оба проехали одинаковое расстояние (так как встретились в одной точке трассы).
Составляем уравнение, приравнивая пройденные расстояния. Это позволяет найти соотношение скоростей.
Шаг 4. Проанализировать промежуток между первой и второй встречами
Ключевой принцип: за время между встречами более быстрый участник проезжает на ровно один круг больше, чем медленный.
Шаг 5. Решить систему уравнений
Используем соотношение скоростей из шага 3 и подставляем в уравнение из шага 4.
