Задачи на смешивание : типовые задачи

В задачах на совместную работу обычно рассматриваются процессы, выполняемые несколькими участниками (рабочими, трубами, механизмами и т. д.).

Ключевая идея — определить, какую часть работы каждый участник выполняет за единицу времени (производительность), а затем найти общий результат.

Основная формула, связывающая работу, время и производительность: A=P⋅t

где:

• A  — объем работы (например, "1 работа" или конкретное количество деталей),

• P  — производительность (работа в единицу времени),

• t  — время выполнения работы.

Основные понятия

• Совместная работа  — сумма производительностей.

Основные типы задач

Тип 1. Один работник выполняет работу

Дано время выполнения работы, нужно найти производительность или объем работы.

Задание 1

Тип 2. Два объекта работают вместе

Их производительности складываются.

Задание 2

Задание 10 2026Я - в9

Задание 10 2026Я - в19

Задание 3

Два станка изготавливают детали. Первый делает 20 деталей в час, второй — 30. Сначала первый работал 2 часа один, потом оба вместе ещё 3 часа. Сколько всего деталей они изготовили?

Тип 3. Один начинает, другой присоединяется позже

Нужно учесть, сколько работы сделано до подключения второго.

Задание 4
Первый рабочий выполняет работу за 10 часов. Он работал 4 часа один, потом подключился второй, и вместе они закончили работу за 2 часа. За сколько часов выполнит работу второй рабочий?

Решение:

Задание 5
Один рабочий выполняет работу за 10 часов, второй — за 15. Первый начал работу, а через 2 часа к нему присоединился второй. За сколько часов работа будет выполнена?

Тип 4. Работа с перерывами или разными режимами

Задание 6
Два экскаватора, работая вместе, могут вырыть котлован за 12 часов. Если первый проработает 8 часов, а второй — 10 часов, они выполнят 80% работы. За сколько часов каждый выроет котлован один?

Решение

Задание 10 2026Я - в13

Задание 10 2026Я - в23

Задание 10 2026Я - в33

Задание 11 2027Я - в26

На изготовление 621 детали первый рабочий тратит на 4 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 675 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 2 детали больше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий?

Тип 5. Задачи на бассейны и трубы

Аналогичны задачам на работу: трубы могут наполнять (+) или опорожнять (–) бассейн.

Задание 7
Первая труба наполняет бассейн за 4 часа, вторая — за 6 часов. За сколько часов наполнится бассейн при совместной работе?

Задание 8

Задание 9

Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 480 литров она заполняет на 8 минут дольше, чем вторая труба?

Дано:

• Первая труба пропускает x литров воды в минуту.

• Вторая труба пропускает x+2 литра воды в минуту.

• Объём резервуара: 480 литров.

• Первая труба заполняет резервуар на 8 минут дольше, чем вторая

Составим уравнение на основе времени заполнения резервуара:

Упростим уравнение:

Решим квадратное уравнение:

Ответ:
Первая труба пропускает 10​ литров воды в минуту.

Задание 10 2026Я - в3

Задание 10 2026Я - в21

Дополнительно:

• Выговская В.В. Сборник практических задач по математике: 6 класс. - М.: ВАКО,
  2012. - 64 с.

• Шестаков С. А. ЕГЭ 2020. Математика. Задачи на составление уравнений. Задача 10 (профильный уровень). Рабочая тетрадь / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2020.—80 с

• Шестаков С. А. ЕГЭ 2018. Математика. Задачи на составление уравнений. Задача 10 (профильный уровень). Рабочая тетрадь / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2018.

Дополнительно

Задачи на бассейны и трубы.

^{Шестаков С. А. ЕГЭ 2018. Математика. Задачи на составление уравнений. Задача 10 (профильный уровень). Рабочая тетрадь / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2018}

^{Балаян Э. Н. Б20 Математика. Подготовка к ЕГЭ. Простейшие уравнения. Вычисления и преобразования. Текстовые задачи. Задачи с прикладным содержанием : разбор заданий с кратким ответом : 10-11 классы : профильный уровень / Э. Н. Балаян. — Ростов н/Д : Феникс, 2025. — 140 с. — (Большая перемена).}

^{ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Самостоятельная подготовка к ЕГЭ. Высший балл - Ерина Т.М}.

Шевкин_Текстовые_задачи_по_математике,_5_6_класс.pdf

Шевкин_Текстовые_задачи_по_математике,_7_11_класс.pdf

Для решения этой задачи удобнее всего использовать правило креста (конверт Пирсона) или табличный метод

Задача 1

Требуется приготовить 100 г 10%-го раствора нашатырного спирта. Сколько для этого потребуется воды и 25%-го раствора нашатырного спирта?

Шаг 1. Обозначим переменные

Пусть нужно взять x г 25%-го раствора нашатырного спирта.

Тогда воды потребуется 100−x г (чистая вода, 0% нашатыря).

Шаг 2. Баланс нашатырного спирта

В 25%-м растворе масса чистого нашатыря: 0.25x

В воде нашатыря нет.

В итоговом 10%-м растворе массой 100 г чистого нашатыря: 0.10×100=10 г

Уравнение баланса:

0.25x=10

Шаг 3. Решаем

x=10/0.25=40 г

Воды:

100−40=60 г

Ответ: 40​ г 25%-го раствора и 60​ г воды.

Альтернативный способ (Правило креста)

Этот способ позволяет решить задачу в одну строчку, если её нужно сделать быстро.

Дополнительно:

• tipovye-zadachi-na-smesi.pdf
• 22_zadachi_na_prozenti_splavi_smesi_s_otvetami-2.pdf
• 15_2_2-sbornik-konczentracziya-veshhestva-zadanie-10.pdf
• 15_2_2_4-dop-zadachi-na-konczentracziyu-zadaniya-i-resheniya.pdf
• metody-resheniya-tekstovyh-zadach-na-smesi-i-splavy.pdf
• zadachi-na-splavy.pdf
• osnova_6_4_361.pdf
• text9.pdf

Задача 1

На складе хранилась 51 т зерна, влажность которого была 20%. Перед закладкой зерна в зернохранилище его просушили, доведя влажность до 15%. Сколько тонн зерна засыпали в зернохранилище?

Решение

Вес зерна изменился из-за испарения воды.
Сухое вещество осталось неизменным.

Шаг 1. Сколько сухого вещества было

Масса зерна исходная: 51 т. Влажность 20%, значит воды 20%, сухого вещества:

100%−20%=80%

51×0.80=40.8 т сухого вещества.

Шаг 2. Сухое вещество после сушки

После сушки влажность 15%, значит сухого вещества:

100%−15%=85%=0.85 от новой массы M т.

Масса сухого вещества та же: 40.8 т.

0.85M=40.8

M=40.8/0.85=48 т.

Ответ: 48 т зерна засыпали в зернохранилище.

Задача 10 2026Я- в18

Дополнительно:

• tipovye-zadachi-na-smesi.pdf
• 22_zadachi_na_prozenti_splavi_smesi_s_otvetami-2.pdf
• 15_2_2-sbornik-konczentracziya-veshhestva-zadanie-10.pdf
• 15_2_2_4-dop-zadachi-na-konczentracziyu-zadaniya-i-resheniya.pdf
• metody-resheniya-tekstovyh-zadach-na-smesi-i-splavy.pdf
• zadachi-na-splavy.pdf
• osnova_6_4_361.pdf
• text9.pdf

• 
  Задачи на смеси и сплавы
  Дополнительно Шестаков С. А. ЕГЭ 2018. Математика. Задачи на составление уравнений. Задача 10 (профильный уровень). Рабочая тетрадь / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2018 Задачи…
  Автор: АлексИИ
• 
  Типовые задачи на смеси: калькулятор
  Задачи на смеси (сплавы, растворы) — это текстовые задачи, в которых речь идёт о смешивании веществ, растворении веществ или переливании жидкостей, состоящих из нескольких компонентов.…
  Автор: АлексИИ
• 
  Задачи на сплавы: калькуляторы
  Задачи на сплавы в математике — это задания, в которых смешиваются растворы (сплавы) с разными массами и концентрациями некоторого вещества, формируя раствор общей массы и новой концентрации. Искомая величина — масса…
  Автор: АлексИИ