В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 известно, что 𝐴𝐵 = 10, 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷 = 26. Найдите площадь параллелограмма. Решение. Если диагонали параллелограмма равны (AC=BD), то этот параллелограмм — прямоугольник. Применим теорему Пифагора для нахождения стороны BC=676−100=576, BC=24. Площадь прямоугольника равна произведению смежных сторон: S=AB⋅BC=10⋅24=240.
На стороне 𝐵𝐶 прямоугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷, у которого 𝐴𝐵 = 12 и 𝐴𝐷 = 17, отмечена точка 𝐸 так, что
треугольник 𝐴𝐵𝐸 равнобедренный. Найдите 𝐸𝐷. Решение. ED^2=12^2+(17-12)^2=169, ED=13
В прямоугольнике одна из сторон равна 21, а диагональ равна 29. Найдите площадь этого прямоугольника. Решение. Найдем вторую сторону: b^2 =841−441=400, b= 20. Формула площади прямоугольника: S=a⋅b. Подставляем значения: S=21⋅20=420.
Рекомендации
Ещё посты из ленты — читайте и открывайте по ссылке.
Периодические десятичные дроби — важное понятие, которое связывает арифметику, теорию чисел и историю математики. Их изучение показывает, как постепенно формировалось строгое понимание рациональных и иррациональных чисел.
Вавилоняне (II тысячелетие до н. э.) пользовались шестидесятеричной системой счисления. При делении в этой системе часто получались бесконечные последовательности, в которых группы цифр повторялись — по сути, аналог периодичности. Однако это были шестидесятеричные, а не десятичные дроби, и само понятие «периода» в современном смысле тогда не формулировалось.
Индийские математики (V–IX вв.) развивали позиционную десятичную систему и совершенствовали алгоритмы деления. Они осознали, что при делении целых чисел могут возникать повторяющиеся остатки, а значит, и повторяющиеся цифры в частном. Брахмагупта (VII в.) не использовал современную запись 1/3=0,(3), но понимал природу повторяющихся остатков и работал с дробями так, что эти идеи фактически предвосхищали концепцию периодических дробей. Современная нотация с чертой или скобками появилась намного позже.
Симон Стевин (1548–1620) в работе De Thiende («Десятая») сделал десятичные дроби удобным инструментом для расчётов в торговле, инженерии и науке. Он чётко описал правила действий с десятичными дробями и их пользу, но не занимался теорией периодичности: для него десятичные дроби были прежде всего практическим средством.
Джон Валлис (1616–1703) в Treatise of Algebra рассматривал бесконечные представления чисел и вплотную подошёл к идее периодических последовательностей. Его работы показывали, что дроби могут давать бесконечные ряды цифр, но строгого аппарата для описания периодичности ещё не было.
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) интересовался представлением чисел в разных системах (включая двоичную) и общими вопросами бесконечных последовательностей и рядов. Его подход был скорее алгоритмическим и философским: он изучал, как числа можно описывать бесконечными процессами, но не формулировал теорию периодических десятичных дробей как раздел теории чисел.
Настоящий теоретический прорыв произошёл в XVIII–XIX веках, когда математики связали периодичность с рациональностью чисел и выразили это на языке теории чисел.
Леонард Эйлер (1707–1783) систематически исследовал разложение обыкновенных дробей в десятичные и установил фундаментальный факт: любая дробь p/q при делении даёт либо конечную, либо бесконечную периодическую десятичную дробь. Это стало ключевым утверждением, которое объединило арифметику и теорию чисел.
Иоганн Генрих Ламберт (1728–1777) доказал, что иррациональные числа не могут быть представлены периодическими десятичными дробями. Отсюда следует важный критерий: если десятичная дробь периодическая, то она обязательно рациональна. Таким образом, периодичность стала признаком рациональности.
Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) углубил понимание структуры периода. Он связал длину периода дроби 1/p (где p — простое число, не равное 2 или 5) с порядком числа 10 по модулю p. Например, для 1/7 длина периода равна 6, потому что 106≡1(mod 7), и это наименьшее положительное k, для которого это верно. В общем случае длина периода дроби 1/q определяется порядком 10 по модулю q после удаления из знаменателя всех множителей 2 и 5.
Жозеф Луи Лагранж (1736–1813) внёс вклад в теорию непрерывных дробей и в понимание связи между рациональностью и периодичностью. Его работы помогли увидеть разные способы представления чисел и их свойства.
(отредактировано)
(отредактировано)
(отредактировано)
(отредактировано)
(отредактировано)
(отредактировано)
(отредактировано)
(отредактировано)