Типовые задачи на совместную работу

В задачах на совместную работу обычно рассматриваются процессы, выполняемые несколькими участниками (рабочими, трубами, механизмами и т. д.).

Ключевая идея — определить, какую часть работы каждый участник выполняет за единицу времени (производительность), а затем найти общий результат.

Основная формула, связывающая работу, время и производительность: A=P⋅t

где:

• A  — объем работы (например, "1 работа" или конкретное количество деталей),

• P  — производительность (работа в единицу времени),

• t  — время выполнения работы.

Основные понятия

• Совместная работа  — сумма производительностей.

Основные типы задач

Тип 1. Один работник выполняет работу

Дано время выполнения работы, нужно найти производительность или объем работы.

Задание 1

Тип 2. Два объекта работают вместе

Их производительности складываются.

Задание 2

Задание 10 2026Я - в9

Задание 10 2026Я - в19

Задание 3

Два станка изготавливают детали. Первый делает 20 деталей в час, второй — 30. Сначала первый работал 2 часа один, потом оба вместе ещё 3 часа. Сколько всего деталей они изготовили?

Тип 3. Один начинает, другой присоединяется позже

Нужно учесть, сколько работы сделано до подключения второго.

Задание 4
Первый рабочий выполняет работу за 10 часов. Он работал 4 часа один, потом подключился второй, и вместе они закончили работу за 2 часа. За сколько часов выполнит работу второй рабочий?

Решение:

Задание 5
Один рабочий выполняет работу за 10 часов, второй — за 15. Первый начал работу, а через 2 часа к нему присоединился второй. За сколько часов работа будет выполнена?

Тип 4. Работа с перерывами или разными режимами

Задание 6
Два экскаватора, работая вместе, могут вырыть котлован за 12 часов. Если первый проработает 8 часов, а второй — 10 часов, они выполнят 80% работы. За сколько часов каждый выроет котлован один?

Решение

Задание 10 2026Я - в13

Задание 10 2026Я - в23

Задание 10 2026Я - в33

Задание 11 2027Я - в26

На изготовление 621 детали первый рабочий тратит на 4 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 675 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 2 детали больше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий?

Тип 5. Задачи на бассейны и трубы

Аналогичны задачам на работу: трубы могут наполнять (+) или опорожнять (–) бассейн.

Задание 7
Первая труба наполняет бассейн за 4 часа, вторая — за 6 часов. За сколько часов наполнится бассейн при совместной работе?

Задание 8

Задание 9

Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 480 литров она заполняет на 8 минут дольше, чем вторая труба?

Дано:

• Первая труба пропускает x литров воды в минуту.

• Вторая труба пропускает x+2 литра воды в минуту.

• Объём резервуара: 480 литров.

• Первая труба заполняет резервуар на 8 минут дольше, чем вторая

Составим уравнение на основе времени заполнения резервуара:

Упростим уравнение:

Решим квадратное уравнение:

Ответ:
Первая труба пропускает 10​ литров воды в минуту.

Задание 10 2026Я - в3

Задание 10 2026Я - в21

Дополнительно:

• Выговская В.В. Сборник практических задач по математике: 6 класс. - М.: ВАКО,
  2012. - 64 с.

• Шестаков С. А. ЕГЭ 2020. Математика. Задачи на составление уравнений. Задача 10 (профильный уровень). Рабочая тетрадь / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2020.—80 с

• Шестаков С. А. ЕГЭ 2018. Математика. Задачи на составление уравнений. Задача 10 (профильный уровень). Рабочая тетрадь / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2018.