Криволинейная трапеция — это фигура, ограниченная графиком непрерывной функции y=f(x), осью Ox и двумя вертикальными прямыми x=a и x=b. Главное условие: на отрезке [a;b] функция должна быть знакопостоянной (либо только положительной, либо только отрицательной).
Используем прием для парабол - прием выделения полного квадрата (или приведение квадратичной функции к каноническому виду).
Прием выделения полного квадрата
Геометрический смысл (Площадь через вершину параболы)
В задачах на совместную работу обычно рассматриваются процессы, выполняемые несколькими участниками (рабочими, трубами, механизмами и т. д.).
Ключевая идея — определить, какую часть работы каждый участник выполняет за единицу времени (производительность), а затем найти общий результат.
Основная формула, связывающая работу, время и производительность: A=P⋅t
где:
A — объем работы (например, "1 работа" или конкретное количество деталей),
P — производительность (работа в единицу времени),
t — время выполнения работы.
Основные понятия
Совместная работа — сумма производительностей.
Основные типы задач
Тип 1. Один работник выполняет работу
Дано время выполнения работы, нужно найти производительность или объем работы.
Задание 1
Тип 2. Два объекта работают вместе
Их производительности складываются.
Задание 2
Задание 10 2026Я - в9
Задание 10 2026Я - в19
Задание 3
Два станка изготавливают детали. Первый делает 20 деталей в час, второй — 30. Сначала первый работал 2 часа один, потом оба вместе ещё 3 часа. Сколько всего деталей они изготовили?
Тип 3. Один начинает, другой присоединяется позже
Нужно учесть, сколько работы сделано до подключения второго.
Задание 4 Первый рабочий выполняет работу за 10 часов. Он работал 4 часа один, потом подключился второй, и вместе они закончили работу за 2 часа. За сколько часов выполнит работу второй рабочий?
Решение:
Задание 5 Один рабочий выполняет работу за 10 часов, второй — за 15. Первый начал работу, а через 2 часа к нему присоединился второй. За сколько часов работа будет выполнена?
Тип 4. Работа с перерывами или разными режимами
Задание 6 Два экскаватора, работая вместе, могут вырыть котлован за 12 часов. Если первый проработает 8 часов, а второй — 10 часов, они выполнят 80% работы. За сколько часов каждый выроет котлован один?
Решение
Задание 10 2026Я - в13
Задание 10 2026Я - в23
Задание 10 2026Я - в33
Задание 11 2027Я - в26
На изготовление 621 детали первый рабочий тратит на 4 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 675 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 2 детали больше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий?
Тип 5. Задачи на бассейны и трубы
Аналогичны задачам на работу: трубы могут наполнять (+) или опорожнять (–) бассейн.
Задание 7 Первая труба наполняет бассейн за 4 часа, вторая — за 6 часов. За сколько часов наполнится бассейн при совместной работе?
Задание 8
Задание 9
Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 480 литров она заполняет на 8 минут дольше, чем вторая труба?
Дано:
Первая труба пропускает x литров воды в минуту.
Вторая труба пропускает x+2 литра воды в минуту.
Объём резервуара: 480 литров.
Первая труба заполняет резервуар на 8 минут дольше, чем вторая
Составим уравнение на основе времени заполнения резервуара:
Упростим уравнение:
Решим квадратное уравнение:
Ответ: Первая труба пропускает 10 литров воды в минуту.
Шестаков С. А. ЕГЭ 2018. Математика. Задачи на составление уравнений. Задача 10 (профильный уровень). Рабочая тетрадь / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2018.
Имеется творог двух сортов. Жирный содержит 20% жира а нежирный содержит 5% жира. Определите процент жирности получившегося творога, если смешали: а) 2 кг жирного и 3 кг нежирного творога, б) 3 кг жирного и 2 кг нежирного творога.
Ответ: а) 11%, б) 14%
Задача 2
Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 35 кг раствора кислоты различной концентрации. Если смешать оба раствора, то получится раствор, содержащий 46% кислоты. Если смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Какова концентрация данных растворов?
Шаг 1. Обозначим переменные
Пусть:
x — концентрация первого раствора (в долях),
y — концентрация второго раствора.
Массы: m1=30 кг, m2=35 кг.
Шаг 5. Перевод в проценты
x=60%,y=34%
Ответ: Первый раствор: 60%, второй раствор: 34%.
Задача 10 2026Я- в5
Задача 10 2026Я- в17
Задача 10 2026Я- в29
Задача 11 2027Я- в16
Имеется два сосуда. Первый содержит 100 кг, а второй — 60 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 27% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 32% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
Шаг 1. Вводим переменные
Пусть концентрация кислоты в первом сосуде равна xx (в долях, то есть 20% = 0,2), а во втором — y (в долях).
Шаг 2. Первое условие (смешали всё содержимое)
Смешиваем 100 кг первого раствора и 60 кг второго. Общая масса смеси: 100+60=160 кг.
Компонент
Масса (кг)
Концентрация (доли)
Чистое вещество (кг)
Первый раствор
100
x
100x
Второй раствор
60
y
60y
Смесь
160
27%=0,27
0,27⋅160=43,2
Из таблицы получаем первое уравнение (сумма чистого вещества в компонентах равна чистому веществу в смеси):
100x+60y=43,2... (1)
Шаг 3. Второе условие (смешали равные массы)
Для удобства возьмем по 1 кг каждого раствора. Общая масса смеси: 1+1=2 кг. Концентрация смеси 32% (0,32).
Компонент
Масса (кг)
Концентрация (доли)
Чистое вещество (кг)
Первый раствор (часть)
1
x
1x=x
Второй раствор (часть)
1
y
1y=y
Смесь
2
32%=0,32
0,32⋅2=0,64
Из таблицы получаем второе уравнение:
x+y=0,64... (2)
Шаг 4. Решаем систему уравнений
Значит, концентрация первого раствора равна 12% (или 0,12 в долях).
Шаг 5. Находим ответ на вопрос задачи
Нужно найти массу чистой кислоты в первом сосуде. Масса раствора — 100 кг, концентрация — 0,12.
Комментариев пока нет — может, вы будете первым?