Логарифмические неравенства с постоянным основанием

Общие методы решения логарифмических неравенств (равносильные преобразования, метод введения новой переменной, метод знакотождественных множителей, метод интервалов и др.) предполагают умение применять свойства логарифмов и использовать монотонность логарифмической функции. Напомним эти свойства:

Необходимо чётко понимать, что приведённые свойства справедливы только при указанных условиях и только для арифметических (числовых) выражений. Для алгебраических логарифмических выражений эти свойства при решении уравнений и неравенств нужно применять, учитывая ОДЗ таких выражений, с тем чтобы не допускать её сужения (обычно ведущего к потере решений) или расширения (обычно ведущего к появлению посторонних решений).

^{Рекомендации по подготовке к выполнению и оформлению задания №14 (неравенства) ЕГЭ профильного уровня (22 января 2022) Прокофьев АА}

• При выполнении преобразований логарифмических выражений следует быть особенно внимательными в случае вынесения (внесения) чётной степени за знак логарифма или перехода от логарифма произведения (частного) двух алгебраических выражений к сумме (разности) логарифмов этих выражений и обратного перехода.

• Переход к логарифму частного приведёт к громоздкому неравенству. Лучше использовать переход к логарифму произведения, перенеся логарифм, перед которым стоит знак «минус», в другую часть неравенства.

• Переход от логарифмов произведения и частного к сумме и разности логарифмов с целью приведения подобных слагаемых может привести к сужению ОДЗ. Обратное преобразование приводит к расширению ОДЗ, что не столь критично: ведь в этом случае достаточно записать ОДЗ и тогда преобразование суммы (разности) логарифмов по одному основанию в логарифм произведения (частного) по тому же основанию будет равносильным на ОДЗ.

Примеры

1. Равносильные преобразования

При выполнении преобразований логарифмических выражений следует, как уже отмечалось, быть особенно внимательными в случае вынесения (внесения) чётной степени за знак логарифма или перехода от логарифма произведения (частного) двух алгебраических выражений к сумме (разности) логарифмов этих выражений и обратного перехода.

• ^{ЕГЭ Математика Показательные и логарифмические неравенства}

^{Власова А.П, Латанова Н.И. Евсеева Н.В. Показательная и логарифмическая функции в задачах и примерах.}

2.Метод введения новой переменной

• ^{ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. Решение уравнений и неравенств - Садовничий Ю.В.}

• ^{ЕГЭ Математика Показательные и логарифмические неравенства}

3.Метод знакотождественных множителей и метод интервалов

^{Балаян Э. Н. Б20 Математика. Подготовка к ЕГЭ. Уравнения и неравенства: разбор заданий с развернутым ответом : 10-11 классы : профильный уровень / Э. Н. Балаян. — Ростов н/Д : Феникс, 2025. — 247 с. — (Большая перемена).}

Неравенства с модулями

^{Балаян Э.Н. Математика. ЕГЭ. Задачи типа С3. Неравенства и системы неравенств}

4.Переход к новому основанию

^{Шестаков С.А_Неравенства и системы неравенств_2018_352с.pdf}

Исследование ОДЗ неравенства

Применение свойств функций

• ^{Шестаков С. А. ЕГЭ 2019. Математика. Неравенства и системы неравенств. Задача 15 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2019.}

Дополнительно:

• ЕГЭ Математика Показательные и логарифмические неравенства

• Практикум в формате ЕГЭ по профильной математике

• Рекомендации по подготовке к выполнению и оформлению задания №14 (неравенства) ЕГЭ профильного уровня (22 января 2022) Прокофьев АА

• ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. Решение уравнений и неравенств - Садовничий Ю.В.

• Элементарная математика: общие методы решения уравнений и неравенств [Электронный ресурс] / Р.Ф. Ахвердиев, Е.А. Турилова, А.А. Евсеева и др. – Электрон. текстовые дан. (1 файл: 778 Кб). – Казань: Издательство Казанского университета, 2021. – 61 с. – Систем. требования: Adobe Acrobat Reader.

• Балаян Э. Н. Б20 Математика. Подготовка к ЕГЭ. Уравнения и неравенства: разбор заданий с развернутым ответом : 10-11 классы : профильный уровень / Э. Н. Балаян. — Ростов н/Д : Феникс, 2025. — 247 с. — (Большая перемена).

• Балаян Э.Н. Математика. ЕГЭ. Задачи типа С3. Неравенства и системы неравенств

• Власова А.П, Латанова Н.И. Евсеева Н.В. Показательная и логарифмическая функции в задачах и примерах.
• Колесникова С.И. Методы рационализации. Часть первая. Некоторые типы неравенств, содержащих логарифмы и показательные функции с постоянным основанием
• Колесникова С.И. Эффективные методы решений некоторых показательных и логарифмических неравенств. часть 1

• Уравнения и неравенства - Нестандартные методы решения - Справочник [1997] Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И.

• Шестаков С. А. ЕГЭ 2019. Математика. Неравенства и системы неравенств. Задача 15 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2019.

• Шестаков С. А. ЕГЭ 2018. Математика. Неравенства и системы неравенств. Задача 15 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2018.

• Шестаков С.А_Неравенства и системы неравенств_2020_352с.pdf

  Шестаков С.А_Неравенства и системы неравенств_2019_352с.pdf

  Шестаков С.А_Неравенства и системы неравенств_2018_352с.pdf

• Нестандартные методы решения неравенств и их систем

• 75 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ, ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

• 
  Приемы вычислений логарифмов: основные методы и примеры
  Что больше: log ⁡10 999 или log⁡ 2 10? Дополнительно uprazhneniya-s-logarifmami-2wk4ng6sgz.pdf pokazatelnye-i-logarifmicheskie-uravneniya-isfrkdkzmr.pdf log-osh0tnvc8z.pdf…
  Автор: Александра Пуляевская
• 
  Логарифмические уравнения: типы и примеры решений
  Логарифмическое уравнение — уравнение, в котором неизвестная переменная находится под знаком логарифма или в его основании. Понятие логарифма было введено в начале XVII века шотландским математиком Джоном Непером . Его…
  Автор: Александра Пуляевская