Логарифмические уравнения: типы и примеры решений

Логарифмическое уравнение — уравнение, в котором неизвестная переменная находится под знаком логарифма или в его основании.

Понятие логарифма было введено в начале XVII века шотландским математиком Джоном Непером. Его работа «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 г.) произвела революцию в вычислениях, позволив заменить трудоемкое умножение и деление на сложение и вычитание. Теорию расчёта таблиц Непер изложил в другой своей книге — «Построение удивительной таблицы логарифмов» (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio), которая была издана посмертно в 1619 году его сыном Робертом.

Термин «логарифм» (от греческих слов logos — «отношение» и arithmos — «число») предложил сам Непер. Первоначально он использовал другой термин — numeri artificiales («искусственные числа»), в противоположность numeri naturalts («естественным числам»).

Непер определял логарифм кинематически, сопоставляя равномерное и логарифмически-замедленное движение. Например, логарифм синуса он определял так: «Логарифм данного синуса есть число, которое арифметически возрастало всегда с той же скоростью, с какой полный синус начал геометрически убывать».

Независимо от Непера свои таблицы логарифмов опубликовал Йост Бюрги (около 1620 года). В дальнейшем теорию логарифмов развивали другие математики, например, Генри Бригс, который в 1617 году опубликовал таблицы десятичных логарифмов чисел от 1 до 1000.

Позже, благодаря трудам Эйлера, была установлена связь между логарифмами и показательной функцией.

Особенности логарифмических уравнений

ОДЗ (область допустимых значений) — обязательное условие. Без проверки ОДЗ решение может быть неверным.
- Аргумент логарифма >0
- Основание >0 и ≠1
При потенцировании (избавлении от логарифмов) могут появиться посторонние корни.
Нельзя логарифмировать обе части, если они не гарантированно положительны.

Алгоритм решения (общий план)

Найти ОДЗ (все условия для аргументов и оснований).
Преобразовать уравнение к виду, удобному для потенцирования или замены.
Решить полученное алгебраическое уравнение.
Проверить каждый корень по ОДЗ (обязательно!).
Выписать ответ.

Типы логарифмических уравнений

Тип 1. Простейшие

^{Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.}

Тип 2. Потенцирование

Тип 3. Использование свойств

^{Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.}

Обратить внимание на типичные ошибки

Примеры

Тип 4. Замена переменной

^{ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Самостоятельная подготовка к ЕГЭ. Высший балл - Ерина Т.М.}

^{Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.}

Тип 5. Уравнения с переменным основанием

^{ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Самостоятельная подготовка к ЕГЭ. Высший балл - Ерина Т.М.}

^{ЕГЭ 2020. Математика. Уравнения и системы уравнений. Задача 13 (профильный уровень) / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2020. — 176 с}

Тип 6. Логарифмирование обеих частей

^{ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Самостоятельная подготовка к ЕГЭ. Высший балл - Ерина Т.М.}

^{Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.}

Тип. 7. Переход к новому основанию

^{ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. Решение уравнений и неравенств - Садовничий Ю.В.}

^{Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.}

Тип 8. Одинаковое основание слева и справа.

Нельзя просто «убрать основание» — нужно разобрать случаи, потому что при разных основаниях правила разные.

Частые ошибки

«Убрать основание» без проверки случаев — теряются корни xx, при которых основание 00, 11, −1−1.
Забыть про целость показателей при основании −1−1.
Не проверить знак показателей при основании 00.
Не проверить корни подстановкой — некоторые могут не подойти по ОДЗ.