Логарифмические уравнения: типы и примеры решений

Логарифмическое уравнение — уравнение, в котором неизвестная переменная находится под знаком логарифма или в его основании.

Понятие логарифма было введено в начале XVII века шотландским математиком Джоном Непером. Его работа «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 г.) произвела революцию в вычислениях, позволив заменить трудоемкое умножение и деление на сложение и вычитание. Теорию расчёта таблиц Непер изложил в другой своей книге — «Построение удивительной таблицы логарифмов» (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio), которая была издана посмертно в 1619 году его сыном Робертом.

Термин «логарифм» (от греческих слов logos —  «отношение» и arithmos —  «число») предложил сам Непер. Первоначально он использовал другой термин —  numeri artificiales («искусственные числа»), в противоположность numeri naturalts («естественным числам»).

Непер определял логарифм кинематически, сопоставляя равномерное и логарифмически-замедленное движение. Например, логарифм синуса он определял так: «Логарифм данного синуса есть число, которое арифметически возрастало всегда с той же скоростью, с какой полный синус начал геометрически убывать».

Независимо от Непера свои таблицы логарифмов опубликовал Йост Бюрги (около 1620 года). В дальнейшем теорию логарифмов развивали другие математики, например, Генри Бригс, который в 1617 году опубликовал таблицы десятичных логарифмов чисел от 1 до 1000.

Позже, благодаря трудам Эйлера, была установлена связь между логарифмами и показательной функцией.

Особенности логарифмических уравнений

1. ОДЗ (область допустимых значений) — обязательное условие. Без проверки ОДЗ решение может быть неверным.

   • Аргумент логарифма >0

   • Основание >0 и ≠1

2. При потенцировании (избавлении от логарифмов) могут появиться посторонние корни.

3. Нельзя логарифмировать обе части, если они не гарантированно положительны.

Алгоритм решения (общий план)

1. Найти ОДЗ (все условия для аргументов и оснований).

2. Преобразовать уравнение к виду, удобному для потенцирования или замены.

3. Решить полученное алгебраическое уравнение.

4. Проверить каждый корень по ОДЗ (обязательно!).

5. Выписать ответ.

Типы логарифмических уравнений

Тип 1. Простейшие

^{Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.}

Тип 2. Потенцирование

Тип 3. Использование свойств

^{Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.}

Обратить внимание на типичные ошибки

Примеры

Тип 4. Замена переменной

^{ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Самостоятельная подготовка к ЕГЭ. Высший балл - Ерина Т.М.}

^{Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.}

Тип 5. Уравнения с переменным основанием

^{ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Самостоятельная подготовка к ЕГЭ. Высший балл - Ерина Т.М.}

^{ЕГЭ 2020. Математика. Уравнения и системы уравнений. Задача 13 (профильный уровень) / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2020. — 176 с}

Тип 6. Логарифмирование обеих частей

^{ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Самостоятельная подготовка к ЕГЭ. Высший балл - Ерина Т.М.}

^{Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.}

Тип. 7. Переход к новому основанию

^{ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. Решение уравнений и неравенств - Садовничий Ю.В.}

^{Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.}

Тип 8. Одинаковое основание слева и справа.

Нельзя просто «убрать основание» — нужно разобрать случаи, потому что при разных основаниях правила разные.

Частые ошибки

• «Убрать основание» без проверки случаев — теряются корни xx, при которых основание 00, 11, −1−1.

• Забыть про целость показателей при основании −1−1.

• Не проверить знак показателей при основании 00.

• Не проверить корни подстановкой — некоторые могут не подойти по ОДЗ.

Пять случаев

• 
  Приемы вычислений логарифмов: основные методы и примеры
  Что больше: log ⁡10 999 или log⁡ 2 10? Дополнительно uprazhneniya-s-logarifmami-2wk4ng6sgz.pdf pokazatelnye-i-logarifmicheskie-uravneniya-isfrkdkzmr.pdf log-osh0tnvc8z.pdf…
  Автор: АлексИИ
• 
  Показательно-логарифмические уравнения
  Трансцендентное уравнение — это уравнение, которое содержит хотя бы одну трансцендентную функцию. Трансцендентные функции — это функции, которые нельзя представить как конечную комбинацию алгебраических операций над…
  Автор: АлексИИ

Дополнительно

• ЕГЭ Математика Показательные и логарифмические уравнения
• Бабичева Т.А. Учебное пособие «Решение логарифмических уравнений» (практикум) – Махачкала: ДГУНХ, 2018. – 32 с.
• Власова А.П, Латанова Н.И. Евсеева Н.В. Показательная и логарифмическая функции в задачах и примерах.
• Рисберг В. Г. Р 47 РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ПОВЫШЕННОГО И ВЫСОКОГО УРОВНЯ СЛОЖНОСТИ (ЧАСТЬ I): Учебное пособие под общей ред. И. Ю. Черниковой / ФГБОУ ВПО ПНИПУ/ В. Г. Рисберг; Издательство «Пушка» – Пермь: 2015. – 56 с.
• Рисберг В. Г., Черникова И. Ю. Р 47 РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ПОВЫШЕННОГО И ВЫСОКОГО УРОВНЯ СЛОЖНОСТИ (ЧАСТЬ II): Учебное пособие / ФГБОУ ВПО ПНИПУ/ В. Г. Рисберг, И. Ю. Черникова. – Пермь: Издательство «Пушка», 2015. – 64 с
• Фирер А. В. Ф Элементарная математика. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства: учебное пособие / А. В. Фирер, Е. Н. Яковлева. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2025. – 112 с.