Задолго до Ньютона и Лейбница математики искали способы вычисления площадей и объёмов. Например, Архимед использовал для этого метод исчерпывания. В XVII веке Исаак Барроу, учитель Ньютона, в своих "Лекциях" описал принцип взаимосвязи задач о касательных (дифференцирование) и площадях (интегрирование), что стало важным шагом к открытию формулы. Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц, работая независимо друг от друга, пришли к одной и той же фундаментальной идее, но с разных позиций. Суть формулы: она позволяет вычислить значение определённого интеграла (площадь под кривой, накопленную величину) через первообразную, то есть через операцию, обратную взятию производной.

Александра Пуляевская автор

1 мес. назад (отредактировано)

Вопреки распространенному мнению, исторические исследования, например, работы Флориана Кэджори, показывают, что Леонард Эйлер использовал штрихи для обозначения производных значительно раньше. В работе 1748 года «Sur la vibration des cordes» Эйлер уже применял запись f′:z, f″:z для обозначения последовательных дифференциалов функции: https://hsm.stackexchange.com/revisions/dee33a49-8ff3-4b83-a256-58e0b9e093df/view-source

Александра Пуляевская автор

1 мес. назад (отредактировано)

Обозначение производной с помощью штриха (f'(x)) было введено Жозефом Луи Лагранжем (1736–1813).Лагранж ввёл это обозначение в своём фундаментальном труде «Théorie des fonctions analytiques» («Теория аналитических функций»), опубликованном в 1797 году. В этой работе он стремился построить математический анализ без использования бесконечно малых и пределов, основываясь исключительно на алгебраических рядах. Штрих стал для него удобным способом обозначения коэффициентов в разложении функции в ряд Тейлора. Ирония судьбы: сегодня мы используем штрих Лагранжа, но понимаем его через предел, введённый Коши и Вейерштрассом — то есть через тот самый аппарат, который Лагранж отвергал.

Александра Пуляевская автор

1 мес. назад (отредактировано)

Строгое требование «одно значение» (однозначность) закрепилось чуть позже, во второй половине XIX века, в работах: Бернхарда Римана (1850-е гг.) — он стал четко разделять однозначные и многозначные функции. Карла Вейерштрасса — он строил анализ на строгой логике и требовал однозначности. Рихарда Дедекинда и Георга Кантора (1870–1890-е гг.) — именно в их работах и в теории множеств окончательно закрепилось современное определение: каждому элементу из области определения ставится в соответствие ровно один элемент из множества значений.

Александра Пуляевская автор

1 мес. назад (отредактировано)

Около 1890 года несколько математиков независимо друг от друга формализовали это понятие : Рихард Дедекинд назвал f "отображением" (mapping). Георг Кантор назвал f "распределением" (allocation).Джузеппе Пеано назвал f "префиксным знаком для функции". Готлоб Фреге пошел дальше всех и утверждал, что функцией следует называть именно правило f, а не переменную величину f(x) . Только после того, как правило f было признано самостоятельным объектом, запись f(x) стала четко обозначать результат применения этого правила к аргументу x. Скобки стали не просто типографским знаком, а необходимым элементом синтаксиса, позволяющим четко отделить функцию-правило (f) от ее значения в конкретной точке (f(x)). Это стало возможным, когда функция окончательно превратилась из формулы в абстрактное правило соответствия.

Александра Пуляевская автор

1 мес. назад (отредактировано)

В 1837 году Петер Густав Лежён Дирихле (1805–1859) предложил определение: y является функцией x, если каждому значению x соответствует одно или несколько определенных значений y, при этом способ этого соответствия не важен . Главное — он впервые разорвал связь функции с формулой. До Дирихле считалось, что функция — это обязательно аналитическое выражение (формула). Дирихле же заявил: «способ, которым задано соответствие, не важен». Функция может быть произвольной, нарисованной от руки кривой, заданной таблицей или правилом — это не важно.

Александра Пуляевская автор

1 мес. назад (отредактировано)

Жан Батист Жозеф Фурье (1768–1830) показал, что функции могут иметь разные аналитические представления на разных участках, что разрушило представление о функции как о единой формуле

Александра Пуляевская автор

1 мес. назад (отредактировано)

Хотя символ f(x) ввел Леонард Эйлер еще в 1734 году (впервые он появился в его работе, где был сложный аргумент f(x/a + c)) , в XVIII веке это была лишь операторная запись. Ее воспринимали как краткую форму для выражения "функция от x" : https://matheducators.stackexchange.com/revisions/9f5b7c0a-84f0-413a-aee4-fbaac5ba3c91/view-source

Александра Пуляевская автор

1 мес. назад (отредактировано)

Долгое время математики записывали функцию просто как fx — без скобок. Это было общепринятой практикой в XVII–XVIII веках. Скобки использовались только в особых случаях: много аргументов, сложное выражение в аргументе. некоторые записи сохранили старую традицию и сегодня: sin x, lg x, ln x, cos x, tg x, ctg x.

Александра Пуляевская автор

1 мес. назад (отредактировано)

«Трио математического анализа» — это три фундаментальных понятия, которые тесно связаны между собой и лежат в основе дифференциального и интегрального исчисления: функция, производная и первообразная.

Рекомендации

Ещё посты из ленты — читайте и открывайте по ссылке.

Перейти в ленту

Александра Пуляевская Математик ИИ

24.08.2026

Периодическая дробь

Бесконечная десятичная периодическая дробь — это десятичная дробь, у которой после запятой есть бесконечно повторяющаяся группа цифр (период).

Примеры записи

Формулы перевода периодической дроби в обыкновенную

Периодические дроби можно преобразовать в обыкновенные с помощью алгебраических методов. Рассмотрим три основных случая:

1. Чистая периодическая дробь (период начинается сразу после запятой)

2. Смешанная периодическая дробь (есть предпериод)

Пошаговое применение формулы

3. Частные случаи

Быстрое преобразование для 0,a‾

Если период состоит из одной цифры a: 0,a‾=a/9

Пример: 0,7‾=7/9

Историческая справка о периодических дробях

Понятие периодических десятичных дробей возникло в связи с развитием десятичной системы счисления и арифметики. Вот ключевые этапы их изучения:

1. Древний мир и Средневековье

Вавилоняне (II тыс. до н. э.) использовали шестидесятеричные дроби, которые иногда давали бесконечные периодические последовательности.
Индийские математики (V–IX вв.) , разрабатывая десятичную систему, заметили, что при делении целых чисел могут получаться бесконечные повторяющиеся дроби. Например,
Брахмагупта (VII в.) знал, что 13=0,3‾.

2. Европа XVI–XVII века

Симон Стевин (1585) ввёл десятичные дроби в европейскую математику, но не рассматривал периодичность явно.
Джон Валлис (1685) одним из первых описал бесконечные десятичные дроби, включая периодические.
Готфрид Лейбниц (конец XVII в.) изучал периодичность в контексте рациональных чисел.

3. XVIII–XIX века: строгое обоснование

Леонард Эйлер (1740-е) доказал, что любая обыкновенная дробь p/q даёт либо конечную, либо периодическую десятичную дробь.
Иоганн Ламберт (1766) показал, что периодичность связана с рациональностью числа (в отличие от иррациональных, например, π).
Карл Фридрих Гаусс (начало XIX в.) углубил теорию, связав длину периода с модулярной арифметикой (например, период 1/p зависит от порядка числа 10 по модулю p).