Текстовые задачи — популярное

Задачи на круговое движение, где один участник догоняет другого, часто пугают своей сложностью.Давайте разберем конкретную задачу, а затем рассмотрим общие принципы.

Задача

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 20 минут он ещё не вернулся в пункт A, и из пункта A следом за ним отправился мотоциклист. Через 5 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а ещё через 46 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 46 км. Ответ дайте в км/ч.

Универсальный алгоритм

Шаг 1. Привести все единицы измерения к единой системе

Шаг 2. Обозначить переменные

Шаг 3. Проанализировать первую встречу

К моменту первой встречи:

• более медленный участник был в пути дольше (так как стартовал раньше);

• оба проехали одинаковое расстояние (так как встретились в одной точке трассы).

Составляем уравнение, приравнивая пройденные расстояния. Это позволяет найти соотношение скоростей.

Шаг 4. Проанализировать промежуток между первой и второй встречами

Ключевой принцип: за время между встречами более быстрый участник проезжает на ровно один круг больше, чем медленный.

Шаг 5. Решить систему уравнений

Используем соотношение скоростей из шага 3 и подставляем в уравнение из шага 4.

Шаг 6. Проверить решение

Задача 1

Требуется приготовить 100 г 10%-го раствора нашатырного спирта. Сколько для этого потребуется воды и 25%-го раствора нашатырного спирта?

Шаг 1. Обозначим переменные

Пусть нужно взять x г 25%-го раствора нашатырного спирта.

Тогда воды потребуется 100−x г (чистая вода, 0% нашатыря).

Шаг 2. Баланс нашатырного спирта

В 25%-м растворе масса чистого нашатыря: 0.25x

В воде нашатыря нет.

В итоговом 10%-м растворе массой 100 г чистого нашатыря: 0.10×100=10 г

Уравнение баланса:

0.25x=10

Шаг 3. Решаем

x=10/0.25=40 г

Воды:

100−40=60 г

Ответ: 40​ г 25%-го раствора и 60​ г воды.

Дополнительно:

Задача 1

Имеется творог двух сортов. Жирный содержит 20% жира а нежирный содержит 5% жира. Определите процент жирности получившегося творога, если смешали: а) 2 кг жирного и 3 кг нежирного творога, б) 3 кг жирного и 2 кг нежирного творога.

Ответ: а) 11%, б) 14%

Задача 2

Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 35 кг раствора кислоты различной концентрации. Если смешать оба раствора, то получится раствор, содержащий 46% кислоты. Если смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Какова концентрация данных растворов?

Шаг 1. Обозначим переменные

Пусть:

• x — концентрация первого раствора (в долях),

• y — концентрация второго раствора.

Массы: m1=30 кг, m2=35 кг.

Шаг 5. Перевод в проценты

x=60%,y=34%

Ответ: Первый раствор: 60%, второй раствор: 34%.

Дополнительно

Задача 1

На складе хранилась 51 т зерна, влажность которого была 20%. Перед закладкой зерна в зернохранилище его просушили, доведя влажность до 15%. Сколько тонн зерна засыпали в зернохранилище?

Решение

Вес зерна изменился из-за испарения воды.
Сухое вещество осталось неизменным.

Шаг 1. Сколько сухого вещества было

Масса зерна исходная: 51 т. Влажность 20%, значит воды 20%, сухого вещества:

100%−20%=80%

51×0.80=40.8 т сухого вещества.

Шаг 2. Сухое вещество после сушки

После сушки влажность 15%, значит сухого вещества:

100%−15%=85%=0.85 от новой массы M т.

Масса сухого вещества та же: 40.8 т.

0.85M=40.8

M=40.8/0.85=48 т.

Ответ: 48 т зерна засыпали в зернохранилище.

Дополнительно:

Расстояние между городами А и В равно 420 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 1 час следом за ним со скоростью 80 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он вернулся в А, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от А до С. Ответ дайте в километрах.

Шаг 1. Обозначения

• AB=420 км.

• Автомобиль выехал из A в B (обозначим его скорость va​ км/ч).

• Мотоциклист выехал из A в B через 1 час после автомобиля, скорость vm=80 км/ч.

• Мотоциклист догнал автомобиль в городе C (находится между A и B, расстояние AC=x км).

• В момент встречи в C мотоциклист разворачивается  и едет обратно в A.

• Когда мотоциклист вернулся в A, автомобиль в этот момент  прибыл в B.

Время движения отсчитываем от момента старта автомобиля.

Шаг 2. Определим время до встречи в C

Пусть t1​ — время от старта автомобиля до встречи в C.

Автомобиль: проехал x км за t1​ часов: x=va⋅t1.(1)

Мотоциклист выехал на 1 час позже, поэтому его время в пути до встречи = t1−1 часов. Он проехал те же x км со скоростью 80 км/ч: x=80⋅(t1−1).(2)

Из (1) и (2): va⋅t1=80(t1−1).(3)

Шаг 3. Движение после встречи в C

После встречи:

• Мотоциклист разворачивается и едет обратно из C в A (расстояние x) со скоростью 80 км/ч. Время на обратную дорогу = t2=x/80​ часов.

• Автомобиль продолжает путь из C в  B (расстояние 420−x) со скоростью va​. Время на этот отрезок = t3=(420−x)/v​.

Условие задачи: когда мотоциклист вернулся в A, автомобиль прибыл в B. То есть время движения после встречи у них одинаковое: t2=t3

x/80=(420−x)/va.(4)

Шаг 7. Ответ

Расстояние от A до C равно 240 км.

Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 22 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 20 км/ч больше скорости другого?

1. Понимание условия

У нас есть круговая трасса длиной 22 км. Два мотоциклиста стартуют одновременно из двух диаметрально противоположных точек трассы, значит расстояние между ними по трассе — половина длины круга:

22/2=11 км.

Они едут в одном направлении. Скорость одного на 20 км/ч больше скорости другого. Через какое время они поравняются в первый раз?

Обозначим:

• v км/ч — скорость медленного,

• v+20 км/ч — скорость быстрого.

2. Относительная скорость

При движении в одну сторону скорость сближения (догоняния) равна разности их скоростей:

vотн=(v+20)−v=20 км/ч.

3. Какое расстояние нужно сократить

В момент старта расстояние между ними 11 км (половина круга).

Так как они едут в одну сторону, чтобы первый раз поравняться, быстрому нужно догнать медленного. Это значит сократить расстояние 11 км.

Если бы они ехали навстречу друг другу, тогда расстояние между ними сокращалось бы со скоростью, равной сумме их скоростей. Потому что они бегут друг к другу и уменьшают расстояние с двух сторон.

А в одном направлении они оба бегут в одну сторону, и расстояние уменьшается только за счет того, что один бежит быстрее другого. Поэтому берется именно разность.

Когда два объекта движутся в одном направлении, расстояние между ними может:

• Увеличиваться

  , если впереди едет более быстрый объект (но в задачах "вдогонку" обычно быстрый сзади).

• Уменьшаться

  , если сзади едет более быстрый объект (именно этот случай мы рассматриваем).