Тег #планиметрия сбросить

Теорема Штейнера — Лемуса утверждает, что если в треугольнике две биссектрисы равны по длине, то этот треугольник равнобедренный.

Теорема была сформулирована К. Л. Лемусом и впоследствии доказана Якобом Штейнером. Доказательство появилось в работах этих немецких геометров в XIX веке. В 1840 году Лемус упомянул теорему в письме К. Штурму, попросив найти чисто геометрическое доказательство. Штурм передал запрос другим математикам, и Штейнер был одним из первых, кто предложил решение. В 1963 году журнал American Mathematical Monthly объявил конкурс на лучшее доказательство теоремы. Было прислано много работ, среди которых обнаружились интересные и ранее неизвестные подходы.

https://www.itmathrepetitor.ru/spravochnik-olimpiadnika-planimetri-2/

https://mat.1sept.ru/view_article.php?ID=201000210

Задача 1

Ответ: 32

Задача 2

Ответ: 66

∠ABD=∠ABC−∠CBD. ∠CBD= ∠CAD.

Подставляем:

∠ABD=103∘−42∘=61∘.

Ответ: 98

Ответ: 77

Задача 3

Решение: 90-9=81

Задача 4

Решение: 59:2=29,5

Задача 5

Решение: 169-144=25, АС=5

Ответ: 24

Ответ: 46

Ответ: 20,5

Ответ: 2

Ответ:0,4

Ответ: 0,3

Задача 6

Задача 7

Задача 8

Задача 9

Ответ: (42+38)/2=40

Задача 10

Задача 11

Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

Задачи

1. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ОГЭ математике
2. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по базовой математике
3. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по профильной математике

Дополнительно

медиана, биссектриса и высота

Особенным образом ведут себя медиана, биссектриса и высота, проведённые к гипотенузе.

Высота разбивает прямоугольный треугольник на два прямоугольных треугольника, которые подобны друг другу, то есть имеют одинаковую форму, но разные размеры. Причём эти два треугольника подобны не только друг другу, но и большому треугольнику тоже.

Биссектриса является не только биссектрисой самого треугольника, но и биссектрисой маленького треугольника, ограниченного медианой и высотой.

Задачи из ФИПИ. 47BD49

Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

Дополнительно

1. Фигуры на квадратной решётке
2. Многоугольники: вычисление площадей
3. Система заданий по теме «Площадь фигур»
4. Е. А. Ширяева Задачник ОГЭ 2025 (примеры решений). 18. Фигуры на квадратной решётке
5. Справочник по планиметрии от «Школково»

6. matem-teoriya-treugolnik.pdf

Задачи

1. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ОГЭ математике
2. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по базовой математике
3. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по профильной математике

Утверждение: Угол между высотой и биссектрисой равен полуразности двух других углов треугольника.

Дополнительно

Системы заданий

• ploshhadi_figur_kletochki.pdf
• prototipy_zadanija-3_egeh.pdf
• 3.2.plochadi_mnogougolnikov_s_otvetami.pdf
• oge-21.02.2024-vasyuk-l.a-kovaleva-m.g-figury-na-kletchatoj-bumage.pdf
• oge_2026_zadanie_18_prim_resh.pdf
• 12.figuri_na_reschetke_s_reschenijami.pdf

Пособия

• geometriya-na-kletchatoj-bumage.pdf
• naglyadnaya-geometriya.pdf

Способ 1. Самый популярный — теорема косинусов

Это основной и надежный метод. Он работает всегда, если известны длины всех трех сторон.

Пусть в треугольнике стороны равны a,b,c.
Требуется найти косинус угла α, лежащего напротив стороны a.

Важно запомнить:
В числителе складываются квадраты сторон, образующих угол, а вычитается квадрат противолежащей стороны.

Способ 2. Если заданы координаты вершин — используем векторы

Часто треугольник задан не длинами сторон, а координатами точек A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3).
Тогда косинус угла при вершине A (угол BAC) удобно находить через скалярное произведение векторов.

Способ 3. Частный случай — прямоугольный треугольник

Если вы точно знаете, что треугольник прямоугольный, то косинус острого угла находится элементарно.

Способ 4. Если известны площадь и две стороны

Иногда в условии даны две стороны b и c и площадь S, а угол α между ними неизвестен.
Тогда алгоритм такой:

⚠️ Важнейший нюанс

Знак «плюс» или «минус» зависит от того, острый угол (α<90) или тупой (α>90).

• Если угол острый → cos⁡α>0

• Если тупой → cos⁡α<0

Без дополнительных данных задача имеет два решения.

свойства

Дополнительно

1. Отношение площадей
2. Воронин В. В. Метод. пособие: Отношения отрезков и площадей. Новосибирск: НГУ, 2016. 40 с.

3. Основные свойства площадей треугольников

Балаян. Э. Н. Разбор заданий