Имена ученых России: великие открытия и вклад в науку
В России множество выдающихся ученых, чьи имена известны во всем мире. Среди них — Михаил Ломоносов, Дмитрий Менделеев, Иван Павлов, Лев Ландау и многие другие. Их открытия и труды внесли огромный вклад в развитие науки.
Математика
Михаил Васильевич Ломоносов (1711–1765)
Развивал молекулярно‑кинетическую теорию тепла, обосновывая, что теплота — это движение частиц, а не перенос гипотетического «теплорода». Сформулировал принцип сохранения массы в химических реакциях, уделял особое внимание воспроизводимости опытов и точным измерениям. Организовал первую в России химическую лабораторию и заложил традицию экспериментальной строгости в отечественной науке.
Николай Иванович Лобачевский (1792–1856)
В 1826 году представил идеи неевклидовой геометрии, отказавшись от обязательности пятого постулата Евклида о параллельных прямых. В 1829–1830 годах опубликовал труд «О началах геометрии», доказав возможность существования непротиворечивых геометрий, отличных от евклидовой. Его работы стали важной математической предпосылкой для развития дифференциальной геометрии и последующего построения общей теории относительности.
Пафнутий Львович Чебышёв (1821–1894)
Внёс фундаментальный вклад в теорию чисел, теорию вероятностей (предельные теоремы, неравенства) и теорию приближений (полиномы Чебышёва). Параллельно занимался прикладной математикой и теорией механизмов: исследовал шарнирные системы и задачи приближённого преобразования движений. Основатель петербургской математической школы, подготовившей множество крупных учёных.
Софья Васильевна Ковалевская (1850–1891)
Первая в мире женщина‑профессор математики. Решила задачу о вращении твёрдого тела вокруг неподвижной точки для третьего классического случая (первые два были известны со времён Эйлера и Лагранжа), применив новые классы гиперэллиптических интегралов. За эту работу получила премию Парижской академии наук (1888).
Николай Николаевич Лузин (1883–1950)
Крупный математик, создатель знаменитой «Лузитании» — московской математической школы, воспитавшей множество выдающихся учёных. Основные работы посвящены теории функций действительного переменного и дескриптивной теории множеств. Его педагогическая и научная деятельность оказала огромное влияние на развитие советской математики в первой половине XX века.
Андрей Николаевич Колмогоров (1903–1987)
Предложил аксиоматическое построение теории вероятностей (аксиомы Колмогорова, 1933), превратив её в строгую математическую дисциплину. Внёс значительный вклад в теорию турбулентности, теорию сложности алгоритмов и теорию информации. Создал крупнейшую научную школу в советской математике.
Израиль Моисеевич Гельфанд (1913–2009)
Один из крупнейших математиков XX века, чьи работы охватывают функциональный анализ, теорию представлений, спектральную теорию и прикладные направления. Развил новые подходы к решению задач математической физики, оказал большое влияние на междисциплинарные исследования. Известен также как выдающийся педагог и организатор науки.
Рекомендации
Ещё посты из ленты — читайте и открывайте по ссылке.
Самая распространенная и грубая ошибка. Всегда выписывайте ОДЗ в начале решения.
Отсутствие проверки.
Найденные корни обязательно нужно проверить на соответствие ОДЗ. Даже если вы решили всё правильно, может найтись посторонний корень.
Неаккуратное преобразование.
При умножении на общий знаменатель будьте внимательны: умножать нужно все слагаемые уравнения (и в левой, и в правой части).
Использование пропорции.
Если уравнение имеет вид пропорции A/B = C/D, можно использовать основное свойство пропорции: A * D = B * C. Но не забывайте, что при этом тоже действуют ограничения B ≠ 0 и D ≠ 0
Функция f(x) показывает значение величины в точке.
Производная f'(x) х показывает скорость изменения этой величины. Геометрически — это
угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной к графику f(x) в точке x.
Как по графику f(x) понять, где f'(x) положительна, отрицательна или равна нулю?
Смотрим на наклон касательной к графику f(x):
f'(x) > 0 (Производная положительна):
График f(x) возрастает на этом промежутке (при движении слева направо он идет вверх).
Касательная к графику образует острый угол с положительным направлением оси OX.
f'(x) < 0 (Производная отрицательна):
График f(x) убывает на этом промежутке (при движении слева направо он идет вниз).
Касательная к графику образует тупой угол с положительным направлением оси OX.
f'(x) = 0 (Производная равна нулю):
Это точки экстремума (максимума или минимума) или точки перегиба (редко, но бывает).
Касательная к графику в этой точке горизонтальна.
Чаще всего это вершины "горок" (максимумы) и впадины "ложек" (минимумы).
Как по графику f'(x) понять, что происходит с функцией f(x)?
Это обратная задача, но она решается по тем же принципам.
Где график f'(x) лежит ВЫШЕ оси OX (f'(x) > 0):
Функция f(x) возрастает.
Где график f'(x) лежит НИЖЕ оси OX (f'(x) < 0):
Функция f(x) убывает.
Где график f'(x) ПЕРЕСЕКАЕТ ось OX (f'(x) = 0):
У функции f(x) в этой точке возможен экстремум (максимум или минимум). Это "критическая точка".
Связь экстремумов f(x) с графиком f'(x)
Это самое важное практическое применение.
Точка максимума f(x): Производная f'(x) меняет знак с "+" на "-" при переходе через эту точку. График f'(x) пересекает ось OX сверху вниз.
Точка минимума f(x): Производная f'(x) меняет знак с "-" на "+" при переходе через эту точку. График f'(x) пересекает ось OX снизу вверх.
Важно: Если f'(x) не меняет знак при переходе через точку, где f'(x)=0 (например, f'(x) = x³ в точке 0), то это точка перегиба, а не экстремум.
Как по графику f'(x) понять, где f(x) выпукла вверх или вниз?
Выпуклость функции f(x) определяется знаком второй производной f''(x). А вторая производная — это производная от первой, то есть скорость изменения самой производной f'(x).
f(x) выпукла вниз (как чашка ∪):
Это означает, что f''(x) > 0.
На графике f'(x) это соответствует участкам, где сама производная возрастает (график f'(x) идет вверх).
f(x) выпукла вверх (как крыша ∩):
Это означает, что f''(x) < 0.
На графике f'(x) это соответствует участкам, где сама производная убывает (график f'(x)
идет вниз).
Точка перегиба f(x):
Это точка, где меняется выпуклость.
На графике f'(x) этой точке соответствует экстремум (максимум или минимум), так как именно в ней производная f'(x) меняет своё поведение с возрастания на убывание или наоборот.
Примеры для закрепления
Посмотрите на график ниже.
Пример 1
Давайте проанализируем функцию f(x), глядя на график её производной f'(x).
Что мы видим на графике f'(x)?
Что это означает для функции f(x)?
f'(x) > 0 (выше оси OX) - f(x) возрастает
f'(x) < 0 (ниже оси OX) - f(x) убывает
Если производная положительна на промежутке, то функция на этом промежутке возрастает. Среди указанных точек производная положительна в точках x4, x5, x6. Таких точек всего три.
Пример 2
Давайте проанализируем функцию f(x), глядя на график её производной f'(x).
Что мы видим на графике f'(x)?
Что это означает для функции f(x)?
f'(x) = 0 (пересекает OX) - Критическая точка (возможен экстремум или перегиб)
f'(x) меняет знак с + на - - Локальный максимум f(x)
f'(x) меняет знак с - на + - Локальный минимум f(x)
На отрезке [−18; 1] производная обнуляется пять раз: в точках x1 = −16, x2 = −13, x3 = −9, x4 = −3, x5 = −1. В точке x1 = −16 производная поменяла знак с «–» на «+». В точке x2 = −13 производная поменяла знак с «+» на «–». В точке x3 = −9 производная поменяла знак с «–» на «+». В точке x4 = −3 производная поменяла знак с «+» на «–». В точке x5 = −1 производная поменяла знак с «–» на «+». Значит, x1 = −16, x3 = −9, x5 = −1 — точки минимума на отрезке [−18; 1]. Таким образом, функция f(x) имеет 3 точки минимума, принадлежащих отрезку [−18; 1].
Пример 3
Производная в точке — это тангенс угла наклона касательной к графику функции в этой точке.
Если касательная идёт вверх, производная положительна.
Если касательная идёт вниз, производная отрицательна.
Чем круче наклон (вверх или вниз), тем больше по модулю производная.
Нам нужно найти точку с наибольшим значением производной:
На промежутках возрастания функции производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна, следовательно, нужно сравнить значение производной в точках на промежутках возрастания — в точках x = −4 и x = 5.
Значение производной в x = x0 равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке x0, следовательно, среди положительных значений оно больше в той точке, где угол наклона касательной больше. Если провести касательные к данному графику в точках x = −4 и x = 5, то угол наклона касательной в точке x = 5 будет больше, следовательно, и значение производной в этой точке будет больше.
Выполнение условия задачи для любого значения параметра означает его выполнение для некоторого «удобного» значения, т. е. основная наша задача состоит в нахождении «удобного» значения параметра, который в дальнейшем позволит указать решения исходной задачи.
Ключевые слова: «при любом значении параметра» или «для всех х ».
Пусть в задаче требуется определить значения параметра (или нескольких параметров), при которых уравнение (или неравенство) выполняется при всех допустимых значениях переменной x. Естественно попытаться подставить в него удобные значения переменной x, получив при этом необходимые условия на параметры.
(отредактировано)