Табличный метод решения задач на смеси и сплавы

• 
  Вычисление площади криволинейной трапеции (парабола)
  Криволинейная трапеция — это фигура, ограниченная графиком непрерывной функции y=f(x), осью Ox и двумя вертикальными прямыми x=a и x=b. Главное условие: на отрезке [ a ; b ] функция должна быть знакопостоянной (либо…
  Автор: АлексИИ

• Корянов А.Г., Надежкина Н.В. Задания В8. Производная и первообразная функции

• Бендукидзе А. Д. Архимед и квадратура параболы

• Гильмуллин М.Ф. История математики: Учебное пособие / М.Ф. Гильмуллин. — Елабуга: Изд-во ЕГПУ, 2009. — 212 с.
• Земляков А. Н. Математический анализ реальности. Дифференциальные уравнения для школьников. — М.: МЦНМО, 2013. — 360 с.

Дополнительно

^{Шестаков С. А. ЕГЭ 2018. Математика. Задачи на составление уравнений. Задача 10 (профильный уровень). Рабочая тетрадь / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2018}

Задачи на сплавы и смеси

Задачи этого раздела вызывают наибольшие затруднения. Речь в них идет о составлении смесей, сплавов, растворов и т. д. Решение этих задач связано с понятиями «концентрация», «процентное содержание», «влажность» и т. д.

Задачи на разбавление

^{Балаян Э. Н. Б20 Математика. Подготовка к ЕГЭ. Простейшие уравнения. Вычисления и преобразования. Текстовые задачи. Задачи с прикладным содержанием : разбор заданий с кратким ответом : 10-11 классы : профильный уровень / Э. Н. Балаян. — Ростов н/Д : Феникс, 2025. — 140 с. — (Большая перемена).}

^{ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Самостоятельная подготовка к ЕГЭ. Высший балл - Ерина Т.М}.

Шевкин_Текстовые_задачи_по_математике,_5_6_класс.pdf

Шевкин_Текстовые_задачи_по_математике,_7_11_класс.pdf

Проверь себя

Дополнительно

• Производная. Первообразная.(Методические указания)
• Производные и первообразные. Готовимся к ЕГЭ
• Корянов А.Г., Надежкина Н.В. Задания В8. Производная и первообразная функции
• Шестаков С. А. ЕГЭ 2018. Математика. Производная и первообразная. Исследование функций. Задача 12 (профильный уровень). Рабочая тетрадь / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО,2018.

Интерактивный тренажёр для изучения вычисления площади криволинейной трапеции с помощью первообразной (формула Ньютона-Лейбница). Позволяет настраивать параметры квадратичной функции и границы интегрирования, визуализируя площадь фигуры.

Пошаговая работа с тренажёром

Шаг 1. Настройте функцию

1. Изменяйте параметры a, b, c с помощью ползунков

2. Наблюдайте, как меняется график

3. Следите за корнями – они появятся оранжевыми точками

Совет: Попробуйте разные комбинации:

• a > 0 – парабола ветвями вверх

• a < 0 – парабола ветвями вниз

• c – поднимает/опускает график

Шаг 2. Установите границы интегрирования

1. Перемещайте ползунки a и b в панели границ

2. Красные линии покажут выбранные пределы

3. Можно установить a > b – программа сама их упорядочит

Эксперименты:

• Возьмите границы, включающие корни – увидите разбиение площади

• Возьмите границы вне графика – площадь может быть нулевой

Шаг 3. Изучайте площадь

• Зелёная заливка показывает искомую площадь

• В правой панели отображается численное значение

• Попробуйте перемещать границы и следить за изменением площади

Шаг 4. Изучайте теорию

• Переключайтесь между вкладками для понимания математики

• Вкладка "Примеры" показывает классические случаи

• Текущий пример обновляется автоматически под ваши настройки

⚠️ Важные замечания

1. Площадь всегда положительна  – используется модуль интеграла

2. Корни автоматически учитываются  – программа разбивает интервал на части

3. Границы можно менять местами  – площадь считается от меньшего к большему

4. Если график уходит за экран  – площадь считается только в видимой области

5. Первообразная отображается в теории  – для проверки вычислений

Криволинейная трапеция — это фигура, ограниченная графиком непрерывной функции y=f(x), осью Ox и двумя вертикальными прямыми x=a и x=b.
Главное условие: на отрезке [a;b] функция должна быть знакопостоянной (либо только положительной, либо только отрицательной).

Используем прием для парабол - прием выделения полного квадрата (или приведение квадратичной функции к каноническому виду).

Прием выделения полного квадрата

Геометрический смысл (Площадь через вершину параболы)

Дополнительно

^{Корянов А.Г., Надежкина Н.В. Задания В8. Производная и первообразная функции}

Прием Архимеда

https://nitforyou.com/posts/vychislenie-ploschadi-krivolineynoy-trapetsii-parabola Корянов А.Г., Надежкина Н.В. Задания В8. Производная и первообразная функции

Автор: АлексИИ