Тригонометрия — популярное

Основные тригонометрические формулы. Карточки для самоконтроля

1. Основные формулы

• sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B

• sin(A – B) = sin A cos B – cos A sin B

• cos(A + B) = cos A cos B – sin A sin B

• cos(A – B) = cos A cos B + sin A sin B

Мы будем применять их, где A = 2x, а B = π/2, π, 3π/2.

Также вспомним значения:

• sin(π/2) = 1, cos(π/2) = 0

• sin(π) = 0, cos(π) = -1

• sin(3π/2) = -1, cos(3π/2) = 0

2. Вывод для π/2

3. Вывод для π

4. Вывод для 3π/2

Знаки тригонометрических функций: как применять формулы приведения

Как применять формулы приведения к отрицательным углам? Сначала используйте чётность/нечётность , потом — приведение: Пример 1: sin(-150°) sin(-150°) = -sin 150° // убрали минус…

Автор: Александра Пуляевская

Как применять формулы приведения к отрицательным углам?

Сначала используйте чётность/нечётность, потом — приведение:

Пример 1: sin(-150°)

sin(-150°) = -sin 150°          // убрали минус
sin 150° = sin(180° - 30°) = sin 30° = 1/2  // формула приведения
sin(-150°) = -1/2

Пример 2: cos(-210°)

cos(-210°) = cos 210°           // минус исчез (чётность)
cos 210° = cos(180° + 30°) = -cos 30° = -√3/2  // формула приведения
cos(-210°) = -√3/2

Можно ли применять формулы приведения к углам больше 2π?

Основной принцип

Любой угол можно представить в виде:

θ = 2πk + α, где k ∈ ℤ, α ∈ [0, 2π)

Тогда:

sin(θ) = sin(α)
cos(θ) = cos(α)
tg(θ) = tg(α) (если определено)
ctg(θ) = ctg(α) (если определено)

Это свойство называется периодичностью тригонометрических функций.

Алгоритм работы с большими углами

Шаг 1: Убрать лишние полные обороты

Разделить угол на 2π (или 360°) и взять остаток

Шаг 2: Применить формулы приведения к α (если нужно)

Шаг 3: Получить окончательный ответ

Примеры

Пример 1: sin 750°

750° ÷ 360° = 2 полных оборота и остаток
750° - 2×360° = 750° - 720° = 30°
sin 750° = sin 30° = 1/2

Можно короче: 750° mod 360° = 30°

Пример 2: cos(17π/4)

17π/4 = 4π + π/4
cos(17π/4) = cos(π/4) = √2/2

Пример 3: tg 1000°

1000° ÷ 360° = 2 (остаток 280°)
1000° - 2×360° = 280°
tg 1000° = tg 280°
Теперь можно применить формулы приведения к 280°
tg 280° = tg(270° + 10°) = -ctg 10°

• 1-я степень : дели на cos x → получи tg x = ...

• 2-я степень : дели на cos²x → получи квадратное уравнение от tg x...

⚠️ Убедись, что cos x = 0 не решение (подставь в исходное уравнение)

Пример: sin²x – 3 sin x cos x + 2 cos²x = 0

Алгоритм:

1. Проверь, что cos x = 0 не решение:
   Если cos x = 0, то sin x = ±1 → 1 – 0 + 0 = 1 ≠ 0 → можно делить.

2. Раздели обе части на cos²x:
   tg²x – 3 tg x + 2 = 0.

3. Замена t = tg x: t² – 3t + 2 = 0.

4. Реши: t₁ = 1, t₂ = 2.

5. Вернись к x:

   • tg x = 1 → x = π/4 + πn

   • tg x = 2 → x = arctg(2) + πn

✅ Ответ: x = π/4 + πn; x = arctg(2) + πn

Примеры

https://3.shkolkovo.online/catalog/121

Алгоритм

1. Замени sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = ... (выбери нужную формулу)

2. Перенеси всё влево

3. Вынеси общий множитель (никогда не дели!)

4. Реши каждое уравнение отдельно

Пример: sin 2x = cos x

1. Замени sin 2x = 2 sin x cos x: 2 sin x cos x = cos x.

2. Перенеси всё влево: 2 sin x cos x – cos x = 0.

3. Вынеси общий множитель: cos x (2 sin x – 1) = 0.

4. Реши каждое уравнение:

   • cos x = 0 → x = π/2 + πn

   • 2 sin x – 1 = 0 → sin x = 1/2 → x = π/6 + 2πn или 5π/6 + 2πn

✅ Ответ: x = π/2 + πn; x = π/6 + 2πn; x = 5π/6 + 2πn

Алгоритм

• Вырази всё через одну функцию (используй sin²x + cos²x = 1)

• Сделай замену: t = sin x или t = cos x

• Реши квадратное уравнение

⚠️ Проверь корни: t ∈ [–1; 1]

Пример: 2 sin²x + 3 cos x – 3 = 0

1. Замени sin²x = 1 – cos²x:
   2(1 – cos²x) + 3 cos x – 3 = 0 → –2 cos²x + 3 cos x – 1 = 0.

2. Умножь на –1: 2 cos²x – 3 cos x + 1 = 0.

3. Сделай замену t = cos x: 2t² – 3t + 1 = 0.

4. Реши квадратное уравнение:
   D = 9 – 8 = 1 → t₁ = 1, t₂ = 1/2.

5. Проверь корни: оба в [–1; 1] → подходят.

6. Вернись к x:

   • cos x = 1 → x = 2πn

   • cos x = 1/2 → x = ±π/3 + 2πn

✅ Ответ: x = 2πn; x = ±π/3 + 2πn

Пример: sin²x + a cos x = 0

Алгоритм:

1. Сведи к одной функции:
   1 – cos²x + a cos x = 0 → cos²x – a cos x – 1 = 0

2. Сделай замену t = cos x:
   t² – a t – 1 = 0

3. Найди корни:
   t = [a ± √(a² + 4)] / 2

4. Определи, при каких a хотя бы один корень ∈ [–1; 1]:

   • Заметь: √(a² + 4) > |a|, поэтому:

     • t₁ = [a + √(a² + 4)] / 2 > 0

     • t₂ = [a – √(a² + 4)] / 2 < 0

   • Проверим t₁ ≤ 1:
     [a + √(a² + 4)] / 2 ≤ 1 → √(a² + 4) ≤ 2 – a
     → Возведём в квадрат (при a ≤ 2):
     a² + 4 ≤ 4 – 4a + a² → 4 ≤ 4 – 4a → a ≤ 0

   • Проверим t₂ ≥ –1:
     [a – √(a² + 4)] / 2 ≥ –1 → a + 2 ≥ √(a² + 4)
     → При a ≥ –2: a² + 4a + 4 ≥ a² + 4 → 4a ≥ 0 → a ≥ 0

5. Объедини условия:

   • При a ≤ 0 → t₁ ≤ 1 → есть решение

   • При a ≥ 0 → t₂ ≥ –1 → есть решение → При всех a ∈ ℝ уравнение имеет решения!

✅ Ответ: Уравнение имеет решения при любом действительном a.

💡 Проверка:
При a = 0: sin²x = 0 → x = πn — решения есть.
При a = 100: t₂ ≈ [100 – 100.02]/2 ≈ –0.01 ∈ [–1; 1] — решение есть.