Пример: sin²x + a cos x = 0
Алгоритм:
Сведи к одной функции:
1 – cos²x + a cos x = 0→cos²x – a cos x – 1 = 0Сделай замену
t = cos x:
t² – a t – 1 = 0Найди корни:
t = [a ± √(a² + 4)] / 2Определи, при каких a хотя бы один корень ∈ [–1; 1]:
Заметь:
√(a² + 4) > |a|, поэтому:t₁ = [a + √(a² + 4)] / 2 > 0
t₂ = [a – √(a² + 4)] / 2 < 0
Проверим
t₁ ≤ 1:
[a + √(a² + 4)] / 2 ≤ 1→√(a² + 4) ≤ 2 – a
→ Возведём в квадрат (приa ≤ 2):
a² + 4 ≤ 4 – 4a + a²→4 ≤ 4 – 4a→a ≤ 0Проверим
t₂ ≥ –1:
[a – √(a² + 4)] / 2 ≥ –1→a + 2 ≥ √(a² + 4)
→ Приa ≥ –2:a² + 4a + 4 ≥ a² + 4→4a ≥ 0→a ≥ 0
Объедини условия:
При a ≤ 0 → t₁ ≤ 1 → есть решение
При a ≥ 0 → t₂ ≥ –1 → есть решение → При всех a ∈ ℝ уравнение имеет решения!
✅ Ответ: Уравнение имеет решения при любом действительном a.
💡 Проверка:
Приa = 0:sin²x = 0→x = πn— решения есть.
Приa = 100:t₂ ≈ [100 – 100.02]/2 ≈ –0.01 ∈ [–1; 1]— решение есть.
Комментариев пока нет — может, вы будете первым?