Семенов Андрей Викторович, Юрченко Евгений Владимирович. Материалы курса «Система подготовки к ЕГЭ по математике» : лекции 5–8. – М. : Педагогический университет «Первое сентября», 2009. – 80 с.
Трансцендентное уравнение — это уравнение, которое содержит хотя бы одну трансцендентную функцию. Трансцендентные функции — это функции, которые нельзя представить как конечную комбинацию алгебраических операций над переменной. К ним относятся, например, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Рассмотрим уравнения, в котором неизвестная переменная содержится:
Логарифмическое уравнение — уравнение, в котором неизвестная переменная находится под знаком логарифма или в его основании.
Понятие логарифма было введено в начале XVII века шотландским математиком Джоном Непером. Его работа «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 г.) произвела революцию в вычислениях, позволив заменить трудоемкое умножение и деление на сложение и вычитание. Теорию расчёта таблиц Непер изложил в другой своей книге — «Построение удивительной таблицы логарифмов» (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio), которая была издана посмертно в 1619 году его сыном Робертом.
Термин «логарифм» (от греческих слов logos — «отношение» и arithmos — «число») предложил сам Непер. Первоначально он использовал другой термин — numeri artificiales («искусственные числа»), в противоположность numeri naturalts («естественным числам»).
Непер определял логарифм кинематически, сопоставляя равномерное и логарифмически-замедленное движение. Например, логарифм синуса он определял так: «Логарифм данного синуса есть число, которое арифметически возрастало всегда с той же скоростью, с какой полный синус начал геометрически убывать».
Независимо от Непера свои таблицы логарифмов опубликовал Йост Бюрги (около 1620 года). В дальнейшем теорию логарифмов развивали другие математики, например, Генри Бригс, который в 1617 году опубликовал таблицы десятичных логарифмов чисел от 1 до 1000.
Позже, благодаря трудам Эйлера, была установлена связь между логарифмами и показательной функцией.
Особенности логарифмических уравнений
ОДЗ (область допустимых значений) — обязательное условие. Без проверки ОДЗ решение может быть неверным.
Аргумент логарифма >0
Основание >0 и ≠1
При потенцировании (избавлении от логарифмов) могут появиться посторонние корни.
Нельзя логарифмировать обе части, если они не гарантированно положительны.
Алгоритм решения (общий план)
Найти ОДЗ (все условия для аргументов и оснований).
Преобразовать уравнение к виду, удобному для потенцирования или замены.
Общие методы решения логарифмических неравенств (равносильные преобразования, метод введения новой переменной, метод знакотождественных множителей, метод интервалов и др.) предполагают умение применять свойства логарифмов и использовать монотонность логарифмической функции. Напомним эти свойства:
Необходимо чётко понимать, что приведённые свойства справедливы только при указанных условиях и только для арифметических (числовых) выражений. Для алгебраических логарифмических выражений эти свойства при решении уравнений и неравенств нужно применять, учитывая ОДЗ таких выражений, с тем чтобы не допускать её сужения (обычно ведущего к потере решений) или расширения (обычно ведущего к появлению посторонних решений).
При выполнении преобразований логарифмических выражений следует быть особенно внимательными в случае вынесения (внесения) чётной степени за знак логарифма или перехода от логарифма произведения (частного) двух алгебраических выражений к сумме (разности) логарифмов этих выражений и обратного перехода.
Переход к логарифму частного приведёт к громоздкому неравенству. Лучше использовать переход к логарифму произведения, перенеся логарифм, перед которым стоит знак «минус», в другую часть неравенства.
Переход от логарифмов произведения и частного к сумме и разности логарифмов с целью приведения подобных слагаемых может привести к сужению ОДЗ. Обратное преобразование приводит к расширению ОДЗ, что не столь критично: ведь в этом случае достаточно записать ОДЗ и тогда преобразование суммы (разности) логарифмов по одному основанию в логарифм произведения (частного) по тому же основанию будет равносильным на ОДЗ.
Примеры
1. Равносильные преобразования
При выполнении преобразований логарифмических выражений следует, как уже отмечалось, быть особенно внимательными в случае вынесения (внесения) чётной степени за знак логарифма или перехода от логарифма произведения (частного) двух алгебраических выражений к сумме (разности) логарифмов этих выражений и обратного перехода.
Рассмотрим теперь базовые логарифмические неравенства с переменным основанием, т. е. неравенства вида loga(x) f (x)∨b и loga(x) f (x)∨loga(x) g(x).
В большинстве случаев такие неравенства целесообразно решать методом знакотождественных множителей. Если освоение этого метода вызывает затруднения, можно использовать традиционный способ решения таких неравенств, заключающийся в рассмотрении двух случаев:
основание логарифма больше 1 (в этом случае при потенцировании знак неравенства сохраняется);
основание логарифма положительно и меньше 1 (в этом случае при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный).
Разумеется, при потенцировании необходимо учитывать ОДЗ неравенства.
Логарифмические неравенства, к решению которых можно применить метод интервалов, целесообразно сначала рационализировать с помощью метода знакотождественных множителей.
Два алгебраических выражения a(х) и b(х) называются знакотождественными, если они имеют соответственно одни и те же промежутки знакоположительности, знакоотрицательности и нули.
Найти пары знакотождественных выражений а(х) и b(х) можно, основываясь на свойствах числовых неравенств. Приведём такие пары в таблице 4 (n—натуральные числа, l и с —действительные числа, u(х), v(х) и с(х) — произвольные алгебраические выражения).
Таким образом, для успешного решения неравенств методом знакотождественных множителей достаточно помнить о четырёх основных парах таких множителей:
разность модулей двух выражений (и вообще, разность двух выражений, неотрицательных при всех допустимых значениях переменной) и разность квадратов этих выражений;
разность двух корней одной степени и разность подкоренных выражений (при условии неотрицательности последних в случае корней чётной степени);
разность двух показательных выражений с одним и тем же числовым основанием, большим 1, и разность показателей;
разность двух логарифмов с одним и тем же числовым основанием, большим 1, и разность выражений под знаками логарифмов (при условии положительности этих выражений).
Примеры
Конечно же, запоминать эти системы не надо. Следует помнить лишь об основной идее решения подобных неравенств, заключающейся в переходе к основанию, большему 1, и замене разности логарифмов разностью алгебраических выражений под знаками логарифмов при естественных ограничениях на каждое из них.
Очевидно, что в ряде случаев метод знакотождественных множителей позволяет решать логарифмические неравенства с переменным основанием быстрее и эффективнее по сравнению с другими методами, предоставляя возможность сэкономить время и силы на экзамене для решения других заданий.
Областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения или неравенства будем называть множество всех значений переменной, при каждом из которых определены (имеют смысл) все алгебраические выражения в каждой из двух частей уравнения или неравенства. Областью допустимых значений (ОДЗ) системы уравнений или неравенств будем называть пересечение областей допустимых значений каждого из уравнений или неравенств системы, т. е. множество всех значений переменной, при каждом из которых определены (имеют смысл) все алгебраические выражения в каждой из двух частей каждого уравнения или неравенства системы.
Определение 2.
Если каждое решение первого неравенстваявляется и решением второго, то второе неравенство называется следствием первого. Аналогично если каждый корень первого уравнения является и корнем второго, то второе уравнение называется следствием первого. Из этого определения вытекает, что множество корней данного уравнения содержится в множестве корней уравнения-следствия. Перейдя от данного уравнения к уравнению-следствию, найдя корни последнего и проверив, какие из них являются корнями данного (такая проверка осуществляется непосредственной подстановкой найденных корней в данное уравнение), можно найти все корни данного уравнения. Корни уравнения-следствия (решения неравенства-следствия), не являющиеся корнями данного уравнения (решениями данного неравенства), часто называют посторонними корнями (решениями). Таким образом, одним из методов решения уравнений является переход к уравнению-следствию, который при записи решения обозначается стрелкой «⇒».
Определение 3.
Два уравнения (неравенства) называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений (это множество, в частности, может быть пустым, т. е. уравнения, не имеющие корней, или неравенства, не имеющие решений, равносильны).
Переход от данного уравнения (неравенства) к равносильному уравнению (неравенству), равносильной совокупности или равносильной системе называется равносильным и при записи решения обозначается двусторонней стрелкой «⇔». Такой переход не приводит ни к потере решений (корней), ни к приобретению посторонних решений (корней), и алгебраические преобразования, которые делают такой переход возможным, также называются равносильными. Метод равносильных преобразований не требует проверки найденных решений путём их подстановки в данное уравнение или неравенство и является одним из основных методов решения уравнений и неравенств.
Замечание. Одной из наиболее распространённых ошибок при записи решений уравнений и неравенств является использование знаков следования и равносильности при переходе от уравнения (неравенства, системы) с одной переменной к уравнению (неравенству, системе) с другой переменной (как правило, после выполнения замены переменной).
Основной идеей метода является замена повторяющегося алгебраического выражения в данном уравнении (неравенстве) некоторой (обычно латинской) буквой, играющей роль новой переменной. Решив после такой замены уравнение (неравенство) относительно новой переменной, нужно сделать обратную замену, вернувшись к данной переменной, и решить полученные уравнения (неравенства) уже относительно данной переменной. Заметим, что устоявшееся название «метод замены переменной» является терминологически не вполне точным, поскольку заменяется не переменная, а алгебраическое выражение. Правильнее называть этот метод методом введения новой переменной. При решении систем неравенств с одной переменной новая переменная может вводиться как в пределах всей системы, так и в пределах одного из неравенств системы.
Обратим внимание на следующее. Большинство показательных неравенств сводится с помощью введения новой переменной к квадратному неравенству, множеством решений которого является, как правило, либо числовой промежуток, заключённый между корнями соответствующего квадратного трёхчлена (в этом случае при обратной замене получаем систему двух простейших показательных неравенств), либо объединение числовых промежутков, один из которых расположен левее меньшего корня, другой — правее большего корня соответствующего квадратного трёхчлена (в этом случае при обратной замене получаем совокупность двух простейших показательных неравенств). Вместо перехода к системе или совокупности двух показательных неравенств можно сначала разложить левую часть квадратного неравенства на множители, затем выполнить обратную замену, а после этого воспользоваться методом знакотождественных множителей и получить рациональное неравенство. Какой из двух возможных путей использовать — не принципиально, важно получить в итоге правильный ответ.
Неравносильные преобразования уравнений и неравенств с одной переменной связаны в основном с сужением или расширением ОДЗ уравнения или неравенства. В случае сужения ОДЗ может произойти потеря решений (корней), в случае расширения ОДЗ — приобретение посторонних решений (корней). Поэтому при каждом преобразовании нужно внимательно следить за ОДЗ, не допуская сужения или расширения последней и руководствуясь следующими правилами.
Перенос числа или одночлена из одной части уравнения или неравенства в другую с изменением знака (плюс или минус) перед этим числом или одночленом на противоположный — равносильное преобразование.
Приведение подобных слагаемых, не ведущее к изменению ОДЗ, — равносильное преобразование.
Умножение обеих частей неравенства на положительное число, а обеих частей уравнения на любое отличное от нуля число — равносильное преобразование.
Умножение обеих частей неравенства на отрицательное число с изменением знака неравенства на противоположный — равносильное преобразование.
Возведение обеих частей уравнения или неравенства в чётную степень (в частности, в квадрат) при условии неотрицательности каждой из этих частей и допустимых значениях переменной — равносильное преобразование.
При решении неравенств и уравнений часто используются следующие равносильные переходы
При преобразованиях, связанных с «освобождением» от корней чётной степени и логарифмов (т. е. с рационализацией иррациональных и логарифмических уравнений и неравенств), обычно происходит расширение ОДЗ, поэтому применение таких преобразований должно сопровождаться обязательным выписыванием соответствующих ограничений (условие неотрицательности алгебраического выражения под знаком корня чётной степени, условие положительности алгебраического выражения под знаком логарифма, условие положительности и неравенства единице алгебраического выражения в основании логарифма, условие неотрицательности обеих частей уравнения или неравенства при возведении их в квадрат или другую чётную степень).
Что касается алгебраических дробей, то их знаменатели лучше «не трогать», используя при решении уравнений условие равенства дроби нулю (дробь равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю и не теряет смысла). При решении неравенств, содержащих алгебраические дроби, грубой ошибкой является «избавление» от знаменателя: ведь его знак влияет на знак всей дроби и условия отличия знаменателя от нуля в таких случаях недостаточно. При решении дробно-рациональных неравенств обычно все алгебраические выражения переносятся в одну из частей неравенства и приводятся к общему знаменателю.
К сужению ОДЗ в основном приводят преобразования, связанные с недостаточно чётко понятыми свойствами корней и логарифмов. Так, переход от корня из произведения к произведению корней может потребовать рассмотрения двух случаев, ведь подкоренное число неотрицательно, если числа a(x) и b(x) оба неотрицательны либо оба неположительны.
Шестаков С. А. ЕГЭ 2019. Математика. Неравенства и системы неравенств. Задача 15 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2019.
