Уравнения и неравенства — популярное

Логарифмическое уравнение — уравнение, в котором неизвестная переменная находится под знаком логарифма или в его основании.

Понятие логарифма было введено в начале XVII века шотландским математиком Джоном Непером. Его работа «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 г.) произвела революцию в вычислениях, позволив заменить трудоемкое умножение и деление на сложение и вычитание. Теорию расчёта таблиц Непер изложил в другой своей книге — «Построение удивительной таблицы логарифмов» (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio), которая была издана посмертно в 1619 году его сыном Робертом.

Термин «логарифм» (от греческих слов logos —  «отношение» и arithmos —  «число») предложил сам Непер. Первоначально он использовал другой термин —  numeri artificiales («искусственные числа»), в противоположность numeri naturalts («естественным числам»).

Непер определял логарифм кинематически, сопоставляя равномерное и логарифмически-замедленное движение. Например, логарифм синуса он определял так: «Логарифм данного синуса есть число, которое арифметически возрастало всегда с той же скоростью, с какой полный синус начал геометрически убывать».

Независимо от Непера свои таблицы логарифмов опубликовал Йост Бюрги (около 1620 года). В дальнейшем теорию логарифмов развивали другие математики, например, Генри Бригс, который в 1617 году опубликовал таблицы десятичных логарифмов чисел от 1 до 1000.

Позже, благодаря трудам Эйлера, была установлена связь между логарифмами и показательной функцией.

Особенности логарифмических уравнений

1. ОДЗ (область допустимых значений) — обязательное условие. Без проверки ОДЗ решение может быть неверным.

   • Аргумент логарифма >0

   • Основание >0 и ≠1

2. При потенцировании (избавлении от логарифмов) могут появиться посторонние корни.

3. Нельзя логарифмировать обе части, если они не гарантированно положительны.

Алгоритм решения (общий план)

1. Найти ОДЗ (все условия для аргументов и оснований).

2. Преобразовать уравнение к виду, удобному для потенцирования или замены.

3. Решить полученное алгебраическое уравнение.

4. Проверить каждый корень по ОДЗ (обязательно!).

5. Выписать ответ.

Типы логарифмических уравнений

Тип 1. Простейшие

Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.

Тип 2. Потенцирование

Тип 3. Использование свойств (сумма/разность логарифмов)

Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.

Обратить внимание на типичные ошибки

Примеры

Тип 4. Замена переменной

Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.

Тип 5. Уравнения с переменным основанием

ЕГЭ 2020. Математика. Уравнения и системы уравнений. Задача 13 (профильный уровень) / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2020. — 176 с

Тип 6. Логарифмирование обеих частей

Применяется, когда переменная и в основании, и в показателе степени.

Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.

Тип. 7. Переход к новому основанию

ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. Решение уравнений и неравенств - Садовничий Ю.В.

Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.

• 
  Приемы вычислений логарифмов: основные методы и примеры
  Что больше: log ⁡10 999 или log⁡ 2 10? Дополнительно uprazhneniya-s-logarifmami-2wk4ng6sgz.pdf pokazatelnye-i-logarifmicheskie-uravneniya-isfrkdkzmr.pdf log-osh0tnvc8z.pdf…
  Автор: Александра Пуляевская

Дополнительно

1. https://школадобра.рф/wp-content/uploads/2019/12/показательная-и-логарифмическая-функции.pdf
2. https://doroga-v-shkolu.ru/images/dokumenty/200/063.pdf
3. https://dgunh.ru/content/glavnay/ucheb_deyatel/uposob/up-matem-3.pdf
4. https://школадобра.рф/wp-content/uploads/2019/12/показательная-и-логарифмическая-функции.pdf
5. https://fm11.ucoz.ru/11math4UM.pdf
6. https://mathcourse.ru/wp-content/uploads/2022/10/zadanie-6-preobrazovanie-logarifmicheskih-vyrazhenij.pdf

Трансцендентное уравнение — это уравнение, которое содержит хотя бы одну трансцендентную функцию. Трансцендентные функции — это функции, которые нельзя представить как конечную комбинацию алгебраических операций над переменной. К ним относятся, например, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Рассмотрим уравнения, в котором неизвестная переменная содержится:

• в показателе степени (показательная часть),

• под знаком логарифма (логарифмическая часть).

Часто переменная встречается и там, и там.

• Барон Л. А. Численные методы. Учебное пособие для техникумов. Казань, 2010.
• 
  Логарифмические уравнения: типы и примеры решений
  Логарифмическое уравнение — уравнение, в котором неизвестная переменная находится под знаком логарифма или в его основании. Понятие логарифма было введено в начале XVII века шотландским математиком Джоном Непером . Его…
  Автор: Александра Пуляевская
• 
  Приемы вычислений логарифмов: основные методы и примеры
  Что больше: log ⁡10 999 или log⁡ 2 10? Дополнительно uprazhneniya-s-logarifmami-2wk4ng6sgz.pdf pokazatelnye-i-logarifmicheskie-uravneniya-isfrkdkzmr.pdf log-osh0tnvc8z.pdf…
  Автор: Александра Пуляевская

Дополнительно

• https://mathus.ru/math/logun.pdf
• https://mathus.ru/math/ege17.pdf

Тип 1

Примеры

Тип 2

Пример

Тип 3

• shestakov-neravenstva.pdf

ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. Решение уравнений и неравенств - Садовничий Ю.В.

Дополнительно

• matematika_-poluchit-maks_-ball-egje_semenov-a_v_-i-dr_2015-128s.pdf

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 6 | Сборник И.В. Ященко 2026 г. Вариант 16

https://3.shkolkovo.online/catalog/4149

З.Л. Коропец, А.А. Коропец, Т.А. Алексеева. НЕСТАНДАРТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ И ИХ СИСТЕМ

Напомним свойства:

• 
  Логарифмические неравенства с постоянным основанием: решение и примеры
  Автор: Александра Пуляевская
• 
  Логарифмические неравенства с переменным основанием
  Тип 1 Примеры Тип 2 Пример Тип 3 shestakov-neravenstva.pdf Дополнительно Показательные_логарифмические_уравнения_и_неравенства.pdf urav_i_nerav.pdf…
  Автор: Александра Пуляевская

Дополнительно

• matematika_-poluchit-maks_-ball-egje_semenov-a_v_-i-dr_2015-128s.pdf
• metod-raczionalizaczii.pdf
• logarifmicheskoe-neravenstvo.pdf
• ump_spo-5.pdf
• pokazatelnye_logarifmicheskie_uravneniya_i_neravenstva.pdf
• metodika-resheniya-zadach-logarifmicheskie-neravenstva.pdf

Дополнительно

• matematika_-poluchit-maks_-ball-egje_semenov-a_v_-i-dr_2015-128s.pdf
• zelenskiy_panfilov_reshenie_uravneniy_i_neravenstv_s_modulem.pdf
• urav_i_nerav.pdf
• uravneniya-i-neravenstva-s-modulem.pdf

https://publications.hse.ru/mirror/pubs/share/folder/fxzryzeho4/direct/72787882

Тренировочные задания

Дополнительно

Иррациональные неравенства — неравенства, содержащие переменную под знаком корня (радикала) или под знаком возведения в дробную степень. Решение таких неравенств требует особого подхода, учитывающего область допустимых значений (ОДЗ) и свойства иррациональных выражений.

Дополнительно

Квадратные уравнения — одни из древнейших математических объектов, изучение которых началось ещё в древних цивилизациях. Их типология и методы решения развивались на протяжении тысячелетий.

Рассмотрим основные типы квадратных уравнений и их исторические корни.

Дополнительно

Исторические факты о квадратных уравнениях

Дополнительно

• https://www.e-osnova.ru/PDF/osnova_3_85_19807.pdf
  https://mathus.ru/math/parameter-lin.pdf

Метод замены переменной — это универсальный приём, который позволяет преобразовать сложное уравнение в более простое квадратное.

Суть метода: найти повторяющееся выражение в уравнении, обозначить его новой переменной, решить получившееся квадратное уравнение, а затем вернуться к исходной переменной.

Дополнительно

https://mathus.ru/math/alguzap.pdf