Тег #текстовые сбросить

За каждым заданием второй части профильного ЕГЭ по математике уже давно закрепилось неофициальное название: так, задание 16 учителя и учащиеся называют экономической задачей. Это название объединяет задачи на кредиты и вклады, а также задачи на оптимизацию.

Презентация: https://www.abiturient.ru/upload/content/abiturient_ru/EGE/2017Zan17.pdf

Кредит банка – сумма денежных средств, которую заёмщик обязуется вернуть банку в соответствии с условиями заключённого договора (проценты, сроки промежуточных платежей и др.). Платёж по кредиту состоит из основного долга и процентов. Основной долг — это размер кредита. А проценты — это сумма, которую берет банк за пользование кредитом. 

Основные понятия

S — сумма кредита или вклада (в рублях)
r — процентная ставка (например, 10% → r=10 )
k = 1 + r/100 — коэффициент роста долга/вклада (например, при 10% → k=1.1 )
n — количество периодов (лет, месяцев)
x — размер платежа (если аннуитетный)
d = S/n — ежемесячное (ежегодное) погашение основного долга (для дифференцированного)

Задача 16 2026Я- в1

Задача 16 2026Я- в3

Задача 16 2026Я- в4

Задача 16 2026Я- в5

Задача 16 2026Я- в7

Задача 16 2026Я- в9

Задача 16 2026Я- в11

Задача 16 2026Я- в13

Задача 16 2026Я- в15

Задача 16 2026Я- в19

Дополнительно

• №16 из ЕГЭ 2024: https://3.shkolkovo.online/catalog/7172

• Дифференцированные платежи: плавающая ставка
• Рекомендации по подготовке к выполнению задания №16 (финансово-экономические задачи) ЕГЭ профильного уровня
• Колесникова С.И. Экономические задачи ЕГЭ / С.И. Колесникова. - М.: ООО «Азбука-2000», 2019. - 32 с. (Серия «МФТИ помогает готовиться к ЕГЭ»).
• Морозов. Приемы решения экономических задач и задач прикладного характера
• Яковлев. Экономические задачи на ЕГЭ по математике

Задача 1

Имеется творог двух сортов. Жирный содержит 20% жира а нежирный содержит 5% жира. Определите процент жирности получившегося творога, если смешали: а) 2 кг жирного и 3 кг нежирного творога, б) 3 кг жирного и 2 кг нежирного творога.

Ответ: а) 11%, б) 14%

Задача 2

Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 35 кг раствора кислоты различной концентрации. Если смешать оба раствора, то получится раствор, содержащий 46% кислоты. Если смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Какова концентрация данных растворов?

Шаг 1. Обозначим переменные

Пусть:

• x — концентрация первого раствора (в долях),

• y — концентрация второго раствора.

Массы: m1=30 кг, m2=35 кг.

Шаг 5. Перевод в проценты

x=60%,y=34%

Ответ: Первый раствор: 60%, второй раствор: 34%.

Задача 10 2026Я- в5

Задача 10 2026Я- в17

Задача 10 2026Я- в29

Дополнительно

Задача 1

На складе хранилась 51 т зерна, влажность которого была 20%. Перед закладкой зерна в зернохранилище его просушили, доведя влажность до 15%. Сколько тонн зерна засыпали в зернохранилище?

Решение

Вес зерна изменился из-за испарения воды.
Сухое вещество осталось неизменным.

Шаг 1. Сколько сухого вещества было

Масса зерна исходная: 51 т. Влажность 20%, значит воды 20%, сухого вещества:

100%−20%=80%

51×0.80=40.8 т сухого вещества.

Шаг 2. Сухое вещество после сушки

После сушки влажность 15%, значит сухого вещества:

100%−15%=85%=0.85 от новой массы M т.

Масса сухого вещества та же: 40.8 т.

0.85M=40.8

M=40.8/0.85=48 т.

Ответ: 48 т зерна засыпали в зернохранилище.

Задача 10 2026Я- в18

Дополнительно:

Задачи на круговое движение, где один участник догоняет другого, часто пугают своей сложностью.Давайте разберем конкретную задачу, а затем рассмотрим общие принципы.

Задача

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 20 минут он ещё не вернулся в пункт A, и из пункта A следом за ним отправился мотоциклист. Через 5 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а ещё через 46 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 46 км. Ответ дайте в км/ч.

Универсальный алгоритм

Шаг 1. Привести все единицы измерения к единой системе

Шаг 2. Обозначить переменные

Шаг 3. Проанализировать первую встречу

К моменту первой встречи:

• более медленный участник был в пути дольше (так как стартовал раньше);

• оба проехали одинаковое расстояние (так как встретились в одной точке трассы).

Составляем уравнение, приравнивая пройденные расстояния. Это позволяет найти соотношение скоростей.

Шаг 4. Проанализировать промежуток между первой и второй встречами

Ключевой принцип: за время между встречами более быстрый участник проезжает на ровно один круг больше, чем медленный.

Шаг 5. Решить систему уравнений

Используем соотношение скоростей из шага 3 и подставляем в уравнение из шага 4.

Шаг 6. Проверить решение

Задание 1

Задание 2

Дополнительно:

• Колесникова Софья Ильинична. Текстовые задачи на движение
• Яковлев. Круговое движение
• Движение по окружности

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Когда два объекта движутся в одном направлении, расстояние между ними может:

• Увеличиваться, если впереди едет более быстрый объект (но в задачах "вдогонку" обычно быстрый сзади).

• Уменьшаться, если сзади едет более быстрый объект (именно этот случай мы рассматриваем).

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

Задание 6

Важный подтип, где нужно учитывать длину самого транспортного средства .

Задача 1

Требуется приготовить 100 г 10%-го раствора нашатырного спирта. Сколько для этого потребуется воды и 25%-го раствора нашатырного спирта?

Шаг 1. Обозначим переменные

Пусть нужно взять x г 25%-го раствора нашатырного спирта.

Тогда воды потребуется 100−x г (чистая вода, 0% нашатыря).

Шаг 2. Баланс нашатырного спирта

В 25%-м растворе масса чистого нашатыря: 0.25x

В воде нашатыря нет.

В итоговом 10%-м растворе массой 100 г чистого нашатыря: 0.10×100=10 г

Уравнение баланса:

0.25x=10

Шаг 3. Решаем

x=10/0.25=40 г

Воды:

100−40=60 г

Ответ: 40​ г 25%-го раствора и 60​ г воды.

Дополнительно:

Расстояние между городами А и В равно 420 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 1 час следом за ним со скоростью 80 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он вернулся в А, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от А до С. Ответ дайте в километрах.

Шаг 1. Обозначения

• AB=420 км.

• Автомобиль выехал из A в B (обозначим его скорость va​ км/ч).

• Мотоциклист выехал из A в B через 1 час после автомобиля, скорость vm=80 км/ч.

• Мотоциклист догнал автомобиль в городе C (находится между A и B, расстояние AC=x км).

• В момент встречи в C мотоциклист разворачивается  и едет обратно в A.

• Когда мотоциклист вернулся в A, автомобиль в этот момент  прибыл в B.

Время движения отсчитываем от момента старта автомобиля.

Шаг 2. Определим время до встречи в C

Пусть t1​ — время от старта автомобиля до встречи в C.

Автомобиль: проехал x км за t1​ часов: x=va⋅t1.(1)

Мотоциклист выехал на 1 час позже, поэтому его время в пути до встречи = t1−1 часов. Он проехал те же x км со скоростью 80 км/ч: x=80⋅(t1−1).(2)

Из (1) и (2): va⋅t1=80(t1−1).(3)

Шаг 3. Движение после встречи в C

После встречи:

• Мотоциклист разворачивается и едет обратно из C в A (расстояние x) со скоростью 80 км/ч. Время на обратную дорогу = t2=x/80​ часов.

• Автомобиль продолжает путь из C в  B (расстояние 420−x) со скоростью va​. Время на этот отрезок = t3=(420−x)/v​.

Условие задачи: когда мотоциклист вернулся в A, автомобиль прибыл в B. То есть время движения после встречи у них одинаковое: t2=t3

x/80=(420−x)/va.(4)

Шаг 7. Ответ

Расстояние от A до C равно 240 км.