U-критерий Манна-Уитни – это непараметрический статистический критерий, используемый для сравнения двух независимых выборок по уровню какого-либо количественно измеренного признака.
Метод был предложен в 1945 году американским химиком и статистиком Фрэнком Вилкоксоном. В 1947 году он был существенно переработан и расширен математиками Х.Б. Манном (H.B. Mann) и Д.Р. Уитни (D.R. Whitney), по именам которых сегодня обычно и называется.
Ограничения критерия
В каждой выборке должно быть не менее 3 наблюдений (n1, n2 ≥ 3). Допускается, чтобы в одной выборке было 2 наблюдения, но тогда во второй их должно быть не менее 5.
В каждой выборке должно быть не более 60 наблюдений (n1, n2 ≤ 60).
Условием для применения U-критерия Манна-Уитни является отсутствие в сравниваемых группах совпадающих значений признака (все числа – разные) или очень малое число таких совпадений.
Формулировка гипотез
H0: Уровень признака в группе 2 не ниже уровня признака в группе 1.
H1: Уровень признака в группе 2 ниже уровня признака в группе 1.
Помним, что 1-й выборкой (группой) называют тот ряд значений, в котором значения, по предварительной оценке, выше, а 2-й выборкой (группой) – предположительно ниже.
Алгоритм расчёта
1. Объединить все данные в единый ряд, пометив данные, принадлежащие разным выборкам. 2. Проранжировать значения, приписывая меньшему значению меньший ранг (значению 21 приписываем ранг 1). В случае равных значений признака у нескольких единиц каждой из них присваивается среднее арифметическое последовательных значений рангов. - Например, три числа 31 занимают в едином ранжированном ряду 5, 6 и 7 место (ранг). Следовательно, каждой из них присваивается ранг, равный (5+6+7) / 3 = 6. - Всего рангов получится (n1 + n2) = 15+15 = 30. 3. Подсчитать сумму рангов отдельно для каждой выборки. 4. Определить большую из двух ранговых сумм. 5. Определить эмпирическое значение Uэмп по формуле: Uэмп = n1·n2 + nx·(nx + 1)/2 – Tx, где Uэмп – это численное значение критерия, n1 – объём выборки №1; n2 – объём выборки №2; Tx – большая из двух ранговых сумм; nx – объём максимальной выборки: nx = max(n1, n2). Uэмп = 15·15 + 15·(15 + 1)/2 – 299 = 46 6. Определить критическое значение из специальной таблицы – Uкр. Для определения Uкр нужно учесть объёмы выборок (n1, n2) и уровень статистической значимости (р), который отражает степень точности вывода о наличии различий. - В психолого-педагогических исследованиях приняты два уровня точности: р ≤ 0,01 – вероятность ошибки 1%; р ≤ 0,05 – вероятность ошибки 5%. 7. Сравнить полученное эмпирическое значение Uэмп с критическим значением Uкр. - Если Uэмп > Uкр(0,05), H0 принимается. - Если Uэмп ≤ Uкр(0,05), H0 отвергается. - Чем меньше значения U, тем достоверность различий выше.
Автоматический расчёт
Для автоматического расчёта U-критерия Манна-Уитни можно использовать следующие онлайн-ресурсы:
https://www.psychol-ok.ru/statistics/mann-whitney/index.html
https://medstatistic.ru/calculators/calcmann.html
https://www.socscistatistics.com/tests/mannwhitney/default2.aspx
https://www.statskingdom.com/170median_mann_whitney.html
https://planetcalc.com/7858/
https://statziki.com/Mannwhitneyu
https://math.semestr.ru/corel/mann-whitney.php
https://www.omnicalculator.com/statistics/u-test
Применение в экспериментах
Для анализа результатов тестирования в ходе эксперимента критерий применяется дважды:
Входное тестирование в контрольной (КГ) и экспериментальной (ЭГ) группах, где должны показать отсутствие различий в группах по изучаемому признаку.
Итоговое тестирование в этих группах должно продемонстрировать различие по изучаемому признаку.
Поскольку U-критерий Манна-Уитни является непараметрическим критерием, то в отличие от t-критерия Стьюдента, он не требует наличия нормального распределения сравниваемых выборок.
Связанные критерии
Критерий Краскела-Уоллиса
Аналогом U-критерия Манна-Уитни для сравнения трёх и более групп является Критерий Краскела-Уоллиса.
Критерий Краскела-Уоллиса(https://datatab.net/tutorial/kruskal-wallis-test) – непараметрический статистический критерий, используемый для сравнения 3-х и более независимых выборок по количественному или порядковому признаку.
Критерий был разработан американскими математиками Уильямом Краскелом и Алленом Уоллисом и представлен в их работе «Use of ranks in one-criterion variance analysis» в 1952 году.
Критерий Краскела-Уоллиса подходит для сравнения небольших выборок. Желательно, чтобы в каждой выборке было не менее 5 наблюдений.
Гипотезы для теста Краскела-Уоллиса:
H0: Между выборками 1, 2, 3 и т. д. существуют лишь случайные различия по уровню исследуемого признака.
H1: Между выборками 1, 2, 3 и т. д. существуют неслучайные различия по уровню исследуемого признака.
Если тест Краскела-Уоллиса значим, это указывает на то, что по крайней мере одна из групп отличается от других. Однако сам тест не сообщает, какие группы отличаются друг от друга – для этого необходимы последовательные попарные сравнения.
Онлайн-ресурсы для расчёта:
https://statziki.com/Kruskal
https://www.statskingdom.com/kruskal-wallis-calculator.html
https://www.socscistatistics.com/tests/kruskal/default.aspx
https://datatab.net/statistics-calculator/hypothesis-test/kruskal-wallis-test-calculator
Тест Фридмана для повторных измерений
Тест Фридмана(https://datatab.net/tutorial/friedman-test) является непараметрическим аналогом однофакторного дисперсионного анализа для повторных измерений. Данный критерий является распространением критерия Т Вилкоксона (Уилкоксона) на большее, чем 2, количество условий измерения. Разработан американским экономистом, нобелевским лауреатом Милтоном Фридманом (Milton Friedman).
Он позволяет проверять гипотезы о различии более чем двух (т.е. от 3-х и до 100) повторных измерений по уровню выраженности изучаемой переменной.
Критерий более эффективен, чем дисперсионный анализ в случае малых выборок (до 30 объектов в выборке) и распределений, отличных от нормального. Он основан на ранжировании повторных измерений для каждого объекта выборки.
Критерий применяется для сопоставления показателей, измеренных в разных условиях (c >= 3) на одной и той же выборке из n испытуемых. Критерий Фридмана позволяет установить, что величины показателей от условия к условию изменяются, но при этом не указывает на направление изменений – в этом смысле он похож на критерий знаков.
Гипотезы:
Нулевая гипотеза H0 = {между полученными в разных условиях показателями (т.е. между проверяемыми выборками) существуют лишь случайные различия}.
Альтернативная гипотеза H1 = {между полученными в разных условиях показателями (т.е. между проверяемыми выборками) имеются существенные неслучайные различия}.
Онлайн-ресурсы для расчёта:
https://www.socscistatistics.com/tests/friedman/default.aspx
https://datatab.net/statistics-calculator/hypothesis-test/friedman-test-calculator
https://www.statskingdom.com/friedman-calculator.html
Комментариев пока нет — может, вы будете первым?