Вход / Регистрация
← К ленте
Александра Пуляевская Математик
30.04.2026

Параллелограмм: определение, свойства, задачи

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

  1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

 2. Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

 3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Задача 1

.

Площадь параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷 равна 60. Точка 𝐸 — середина стороны 𝐴𝐷. Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐸. Ответ:

Задача 2

Ответ:

Задача 3

В параллелограмме 𝐴⁢𝐵⁢𝐶⁢𝐷 диагонали делят его углы пополам и равны 10 и 24. Найдите периметр параллелограмма 𝐴⁢𝐵⁢𝐶⁢𝐷.

1. Анализ условия

В параллелограмме ABCD сказано:

диагонали делят его углы пополам

В параллелограмме диагонали не являются биссектрисами углов (кроме частных случаев). Для параллелограмма диагонали делят углы пополам только если это ромб.

Задача 4

В параллелограмме 𝐴⁢𝐵⁢𝐶⁢𝐷 диагонали являются биссектрисами его углов, 𝐴⁢𝐵 =35, 𝐴⁢𝐶 =42. Найдите 𝐵⁢𝐷.

1. Понимание фигуры

В параллелограмме ABCD диагонали являются биссектрисами его углов. Такое возможно только в ромбе (в общем параллелограмме диагонали не делят углы пополам).

Дополнительно

Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

Задачи

  1. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ОГЭ математике
  2. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по базовой математике
  3. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по профильной математике
#геометрия #параллелограмм #планиметрия
6
Комментарии

Чтобы написать комментарий, войдите в аккаунт.

Пожалуйста, войдите, чтобы оставить комментарий.
Обе диагонали параллелограмма равны 13. Одна из сторон параллелограмма равна 5. Найдите сторону параллелограмма, соседнюю с данной.
В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 диагональ 𝐴𝐶 в два раза больше стороны 𝐴𝐵 и ∠𝐴𝐶𝐷 = 1∘. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах. Решение. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим искомый угол между диагоналями как ∠COD=α. Тогда ∠CDO=∠COD=α. Сумма углов треугольника равна 180 ∘ :α=89,5 ∘. Угол между диагоналями — это угол ∠COD=89,5 ∘ . Также существует смежный с ним угол ∠COB, который равен ∠COB=180 ∘ −∠COD=180 ∘ −89,5 ∘ =90,5 ∘ . По определению угол между прямыми — это меньший из углов, образованных при их пересечении. Ответ: угол между диагоналями параллелограмма равен 89,5 ∘. .
Стороны параллелограмма равны 10 и 12. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 6. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма. Решение. Площадь параллелограмма можно вычислить как произведение стороны на высоту, опущенную к этой стороне: S=10⋅6=60. Приравняем два выражения для площади:60=12⋅h . h=60/12=5.Ответ: высота, опущенная на большую сторону параллелограмма, равна 5.
В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 отмечена точка 𝑀 — середина стороны 𝐵𝐶. Отрезки 𝐵𝐷 и 𝐴𝑀 пересекаются в точке 𝐾. Найдите длину отрезка 𝐵𝐾, если 𝐵𝐷 = 15. Решение. Рассмотрим треугольники BMK и DAK: ∠BKM=∠AKD (вертикальные углы); ∠MBK=∠KDA (накрест лежащие углы при BC∥AD и секущей BD); ∠BMK=∠KAD (накрест лежащие углы при BC∥AD и секущей AM). Следовательно, треугольники BMK и DAK подобны по трём углам. Из подобия следует пропорциональность сторон: BK/KD=BM/AD. Так как M — середина BC, а AD=BC (противоположные стороны параллелограмма), то BM= 1/2 AD, поэтому BK/KD = 1/2. Значит, KD=2⋅BK. Найдём BK из длины диагонали. Так как BD=BK+KD=15, а KD=2⋅BK, то BK+2⋅BK=15, 3⋅BK=15, BK=5. Ответ: BK=5.
В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 проведена биссектриса угла 𝐴, пересекающая сторону 𝐵𝐶 в точке 𝐾. Найдите 𝐾𝐶, если 𝐴𝐵 = 4, а периметр параллелограмма равен 20.Решение. Треугольник ABK — равнобедренный с основанием AK, поэтому AB=BK=4. Отрезок BC состоит из двух частей: BK и KC: BC=BK+KC. Мы знаем, что BC=6 и BK=4, поэтому KC=BC−BK=6−4=2.
Как найти больший угол параллелограмма, если диагональ образует углы 30° и 45° со сторонами. Решение. Диагональ AC выходит из вершины A и делит угол параллелограмма ∠BAD на два угла: ∠BAC и ∠CAD. Согласно условию, эти углы равны 30 и 45. Следовательно, величина угла ∠A равна их сумме: ∠A=30+45=75. Сумма соседних углов параллелограмма равна 180 (так как AD∥BC). Найдем угол ∠B: ∠B=180−∠A=180−75=105. Углы параллелограмма равны 75 и 105. Сравнивая их, видим, что больший угол равен 105.
Рекомендации

Ещё посты из ленты — читайте и открывайте по ссылке.

Перейти в ленту
Александра Пуляевская Математик
12.05.2026

Арифметическая прогрессия: теория и практика

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Это постоянное число называется разностью прогрессии и обозначается буквой d.

Простая аналогия: Если вы каждый день откладываете одинаковую сумму денег, то ваши накопления образуют арифметическую прогрессию.

Дополнительно

Яковлев. Арифметическая прогрессия
Белый, Евгений Константинович. Прогрессии : учебное пособие для абитуриентов и студентов первого курса / Е. К. Белый ; М-во образования и науки Рос. Федерации, Федер. бюджет. образоват. учреждение высш. образования Петрозавод. гос. ун-т. – Петрозаводск : Издательство ПетрГУ, 2016. – 132 с. – (Математика не для ЕГЭ).

Задачи

Известно, что на высоте 2205 м над уровнем моря атмосферное давление составляет 550 мм рт. ст. Считая, что при подъёме на каждые 10,5 м давление уменьшается примерно на 1 мм рт. ст., определите атмосферное давление на высоте 1995 м над уровнем моря.

Показать полностью
#алгебра #прогрессия
0
Александра Пуляевская Математик
12.05.2026

Медиана в треугольнике: свойства и задачи

Дополнительно

Розенфельд Б. А. Аполлоний Пергский. — М.: МЦНМО, 2004. — 176 с.: ил. — ISBN 5-94057-132-8: https://math.ru/lib/files/pdf/ap_of_pe.pdf

Показать полностью
#треугольники #планиметрия #геометрия
2
Александра Пуляевская Математик
11.05.2026

Отношение площадей треугольников: формулы и примеры

Дополнительно

  1. Отношение площадей
  2. Воронин В. В. Метод. пособие: Отношения отрезков и площадей. Новосибирск: НГУ, 2016. 40 с.

  3. Основные свойства площадей треугольников

Показать полностью
#площадь #треугольники #подобие #планиметрия #геометрия #треугольников
0
Александра Пуляевская Математик
11.05.2026

Прогрессия: теория и типовые задачи

Дополнительно

Историческая справка

  • Арифметическая прогрессия  известна с древности (египетские папирусы, вавилонские таблички).

  • Геометрическая прогрессия  использовалась Архимедом для вычисления площадей.

  • В Средние века прогрессии изучались в связи с банковскими расчётами (сложные проценты).

  • Термин "прогрессия" ввёл римский математик  Боэций  (VI век).

Показать полностью
#алгебра #числа #прогрессия
0
Все посты в ленте →