Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Свойства биссектрисы параллелограмма:
Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
2. Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.
3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.
Задача 1
.
Площадь параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷 равна 60. Точка 𝐸 — середина стороны 𝐴𝐷. Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐸. Ответ: 15
Задача 2
Ответ: 9
Задача 3
В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 диагонали делят его углы пополам и равны 10 и 24. Найдите периметр параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷.
1. Анализ условия
В параллелограмме ABCD сказано:
диагонали делят его углы пополам
В параллелограмме диагонали не являются биссектрисами углов (кроме частных случаев). Для параллелограмма диагонали делят углы пополам только если это ромб.
Задача 4
В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 диагонали являются биссектрисами его углов, 𝐴𝐵 =35, 𝐴𝐶 =42. Найдите 𝐵𝐷.
1. Понимание фигуры
В параллелограмме ABCD диагонали являются биссектрисами его углов. Такое возможно только в ромбе (в общем параллелограмме диагонали не делят углы пополам).
Задача 5
Большая сторона = 14.7.
Задача 6
В параллелограмме биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне, пересекаются на противоположной стороне тогда и только тогда, когда большая сторона в два раза больше меньшей.
Решение: 2*(x+2x)= 15 , 6х=15, х=2,5. Ответ: 2,5.
Задача 7
Обе диагонали параллелограмма равны 13. Одна из сторон параллелограмма равна 5. Найдите сторону параллелограмма, соседнюю с данной.
Частный случай — прямоугольник. Если d1=d2, то параллелограмм является прямоугольником. В этом случае теорема сводится к двум применениям теоремы Пифагора.
В параллелограмме АВСD точка Е — середина стороны АD. Найдите площадь параллелограмма АВСD, если площадь трапеции ВСDE равна 72. Решение. 3S/4 =72, S=96
Площадь параллелограмма равна 180, две его стороны равны 60 и 80. Найдите меньшую высоту этого параллелограмма. Решение. Меньшая высота — та, которая опущена на большую сторону, потому что высота обратно пропорциональна стороне.h = 180/80 =2.25.
В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 диагональ 𝐴𝐶 в два раза больше стороны 𝐴𝐵 и ∠𝐴𝐶𝐷 = 1∘. Найдите
угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах. Решение. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим искомый угол между диагоналями как ∠COD=α. Тогда ∠CDO=∠COD=α. Сумма углов треугольника равна 180 ∘ :α=89,5 ∘. Угол между диагоналями — это угол ∠COD=89,5 ∘ . Также существует смежный с ним угол ∠COB, который равен ∠COB=180 ∘ −∠COD=180 ∘ −89,5 ∘ =90,5 ∘ . По определению угол между прямыми — это меньший из углов, образованных при их пересечении. Ответ: угол между диагоналями параллелограмма равен 89,5 ∘.
.
Стороны параллелограмма равны 10 и 12. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 6. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма. Решение. Площадь параллелограмма можно вычислить как произведение стороны на высоту, опущенную к этой стороне: S=10⋅6=60. Приравняем два выражения для площади:60=12⋅h . h=60/12=5.Ответ: высота, опущенная на большую сторону параллелограмма, равна 5.
В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 отмечена точка 𝑀 — середина стороны 𝐵𝐶. Отрезки 𝐵𝐷 и 𝐴𝑀 пересекаются в точке 𝐾. Найдите длину отрезка 𝐵𝐾, если 𝐵𝐷 = 15. Решение. Рассмотрим треугольники BMK и DAK: ∠BKM=∠AKD (вертикальные углы); ∠MBK=∠KDA (накрест лежащие углы при BC∥AD и секущей BD); ∠BMK=∠KAD (накрест лежащие углы при BC∥AD и секущей AM). Следовательно, треугольники BMK и DAK подобны по трём углам.
Из подобия следует пропорциональность сторон: BK/KD=BM/AD. Так как M — середина BC, а AD=BC (противоположные стороны параллелограмма), то BM= 1/2 AD, поэтому BK/KD = 1/2. Значит, KD=2⋅BK. Найдём BK из длины диагонали. Так как BD=BK+KD=15, а KD=2⋅BK, то BK+2⋅BK=15, 3⋅BK=15, BK=5. Ответ: BK=5.
В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 проведена биссектриса угла 𝐴, пересекающая сторону 𝐵𝐶 в точке 𝐾. Найдите 𝐾𝐶, если 𝐴𝐵 = 4, а периметр параллелограмма равен 20.Решение. Треугольник ABK — равнобедренный с основанием AK, поэтому AB=BK=4. Отрезок BC состоит из двух частей: BK и KC: BC=BK+KC. Мы знаем, что BC=6 и BK=4, поэтому KC=BC−BK=6−4=2.
Как найти больший угол параллелограмма, если диагональ образует углы 30° и 45° со сторонами. Решение. Диагональ AC выходит из вершины A и делит угол параллелограмма ∠BAD на два угла: ∠BAC и ∠CAD. Согласно условию, эти углы равны 30 и 45. Следовательно, величина угла ∠A равна их сумме: ∠A=30+45=75.
Сумма соседних углов параллелограмма равна 180 (так как AD∥BC). Найдем угол ∠B: ∠B=180−∠A=180−75=105. Углы параллелограмма равны 75 и 105. Сравнивая их, видим, что больший угол равен 105.
Рекомендации
Ещё посты из ленты — читайте и открывайте по ссылке.
Каждое неравенство разбито на шаги: сначала ОДЗ, затем ветвление по основанию логарифма (a>1 или 0<a<1), упрощение и финальный вывод. На каждом шаге — четыре варианта ответа, правильный подсвечивается, неправильный показывает подсказку с указанием конкретной ошибки.
📈 Двойная интерактивная ось — главная фишка
В конце каждой задачи появляется интерактивный блок с двумя осями:
верхняя — параметр a (по ней двигается ползунок, красные зоны отмечают критические точки);
нижняя — переменная x, где цветом подсвечивается множество решений: зелёный — входит в ответ, серый — не входит, красные и зелёные точки — выколотые и включённые границы.
Двигая ползунок, вы в реальном времени видите, как «зелёная зона» решения сжимается, расширяется или вовсе исчезает при переходе через критическую точку и т.д.
Вкладка «Все» — быстрая самопроверка
Все 9 задач собраны в компактный список с кнопкой «Показать ответ» — удобно для повторения перед экзаменом или проверки себя без полного разбора.
Прогресс сохраняется автоматически
Все решённые задачи, текущая задача и активная вкладка восстанавливаются при следующем визите. Кнопка «Сбросить прогресс» — на вкладке «Все».
Квадратные уравнения с параметром — это уравнения, в которых помимо переменной (обычно обозначаемой как x) присутствуют параметры. Параметры — это буквы (например, a, b, c, k, m), конкретные числовые значения которых не заданы изначально и подлежат определению в соответствии с условием задачи. Важно понимать, что параметр — это не переменная, а неизвестная константа, значение которой может меняться от задачи к задаче. Часто требуется найти не одно конкретное число, а целый набор (интервал) значений параметра, при которых выполняются заданные условия относительно корней уравнения.
Давайте разберем основные особенности квадратных уравнений с параметром максимально подробно. Понимание этих «подводных камней» — ключ к тому, чтобы не терять корни и не получать лишние ответы.
В отличие от обычного уравнения, где коэффициенты — это конкретные числа, здесь они зависят от параметра. Это порождает три главные особенности.
Особенность 1. «Исчезающая квадратичность»
В стандартном квадратном уравнении ax2+bx+c=0 жестко задано условие a≠0. В уравнении с параметром коэффициент a может быть выражением с параметром, которое обращается в ноль при некоторых его значениях.
Суть: При одних значениях параметра уравнение — квадратное (имеет 0, 1 или 2 корня), а при других — превращается в линейное (имеет 0 или 1 корень) или даже вырождается в константу.
Алгоритм действий:
При решении любой задачи с параметром у квадратного уравнения первым делом нужно рассматривать два принципиально разных случая:
Случай A: Коэффициент при x2 равен нулю (уравнение НЕ квадратное).
Случай B: Коэффициент при x2 не равен нулю (уравнение квадратное).
Пример
Особенность 2. «Плавающий» дискриминант
В обычном уравнении дискриминант — это число. В уравнении с параметром дискриминант D(k) — это функция от параметра. Его знак может меняться в зависимости от k.
Что нужно контролировать:
D>0 — два различных действительных корня.
D=0 — один корень (два совпавших).
D<0 — нет действительных корней.
Важный нюанс про «один корень»:
Фраза «уравнение имеет один корень» в задачах с параметром всегда двусмысленна. Она может означать:
Дискриминант равен нулю (квадратный случай).
Уравнение выродилось в линейное (коэффициент при x2 = 0). Поэтому при ответе на вопрос «когда ровно 1 корень?» нужно объединить решения из Особенности 1 (случай линейного уравнения) и Особенности 2 (D=0).
Пример
Особенность 3. Неравенства Виета
Теорема Виета описывает связь между всеми корнями и коэффициентами. Она не работает, если уравнение потеряло квадратичность (случай a=0). Также она ничего не говорит о существовании корней (это делает дискриминант).
Золотое правило: Сначала через дискриминант находим, при каких параметрах корни существуют (D≥0), а затем применяем Виета для наложения дополнительных условий (знаки, сравнение с числом).
Краткий чек-лист при решении любой задачи:
Посмотри на коэффициент при x2. При каких значениях параметра он равен нулю? Запиши эти случаи и реши их отдельно (линейные уравнения).
Для случая a≠0: Найди дискриминант D.
Условие существования корней: D≥0. Реши это неравенство.
Примени условия задачи (положительность, сравнение с числом и т.д.) используя теорему Виета или формулу корней, не забывая про знак a.
Объедини результаты из пункта 1 (линейный случай) и пунктов 2-4 (квадратный случай).
Проверь граничные точки (особенно те, где D=0 или a=0) на вхождение в ответ — часто они требуют отдельной проверки подстановкой.
Примеры
Тренировочные задачи и материалы
Для закрепления материала рекомендуется решать разнообразные задачи. Ниже приведены ссылки на подборки заданий по теме "Квадратные уравнения с параметром", которые помогут отработать рассмотренные методы.
(отредактировано)
(отредактировано)
(отредактировано)
(отредактировано)
(отредактировано)
(отредактировано)
(отредактировано)
(отредактировано)