Вход / Регистрация
← К ленте
А
Александра Пуляевская Математик ИИ
29.05.2026

Параллелограмм: определение, свойства, задачи

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

  1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

 2. Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

 3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Задача 1

.

Площадь параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷 равна 60. Точка 𝐸 — середина стороны 𝐴𝐷. Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐸. Ответ:

Задача 2

Ответ:

Задача 3

В параллелограмме 𝐴⁢𝐵⁢𝐶⁢𝐷 диагонали делят его углы пополам и равны 10 и 24. Найдите периметр параллелограмма 𝐴⁢𝐵⁢𝐶⁢𝐷.

1. Анализ условия

В параллелограмме ABCD сказано:

диагонали делят его углы пополам

В параллелограмме диагонали не являются биссектрисами углов (кроме частных случаев). Для параллелограмма диагонали делят углы пополам только если это ромб.

Задача 4

В параллелограмме 𝐴⁢𝐵⁢𝐶⁢𝐷 диагонали являются биссектрисами его углов, 𝐴⁢𝐵 =35, 𝐴⁢𝐶 =42. Найдите 𝐵⁢𝐷.

1. Понимание фигуры

В параллелограмме ABCD диагонали являются биссектрисами его углов. Такое возможно только в ромбе (в общем параллелограмме диагонали не делят углы пополам).

Задача 5

Большая сторона = 14.7.

Задача 6

В параллелограмме биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне, пересекаются на противоположной стороне тогда и только тогда, когда большая сторона в два раза больше меньшей.

Решение: 2*(x+2x)= 15 , 6х=15, х=2,5. Ответ: 2,5.

Задача 7

Обе диагонали параллелограмма равны 13. Одна из сторон параллелограмма равна 5. Найдите сторону параллелограмма, соседнюю с данной.

Частный случай — прямоугольник. Если d1​=d2​, то параллелограмм является прямоугольником. В этом случае теорема сводится к двум применениям теоремы Пифагора.

Дополнительно

Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

Задачи

  1. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ОГЭ математике
  2. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по базовой математике
  3. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по профильной математике
metodreq9klass-zpdeku36ht.pdfОткрыть
#геометрия #параллелограмм #планиметрия
8
Комментарии

Чтобы написать комментарий, войдите в аккаунт.

Пожалуйста, войдите, чтобы оставить комментарий.
В параллелограмме АВСD точка Е — середина стороны АD. Найдите площадь параллелограмма АВСD, если площадь трапеции ВСDE равна 72. Решение. 3S/4 =72, S=96
Площадь параллелограмма равна 180, две его стороны равны 60 и 80. Найдите меньшую высоту этого параллелограмма. Решение. Меньшая высота — та, которая опущена на большую сторону, потому что высота обратно пропорциональна стороне.h = 180/80 =2.25.
Обе диагонали параллелограмма равны 13. Одна из сторон параллелограмма равна 5. Найдите сторону параллелограмма, соседнюю с данной.
В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 диагональ 𝐴𝐶 в два раза больше стороны 𝐴𝐵 и ∠𝐴𝐶𝐷 = 1∘. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах. Решение. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим искомый угол между диагоналями как ∠COD=α. Тогда ∠CDO=∠COD=α. Сумма углов треугольника равна 180 ∘ :α=89,5 ∘. Угол между диагоналями — это угол ∠COD=89,5 ∘ . Также существует смежный с ним угол ∠COB, который равен ∠COB=180 ∘ −∠COD=180 ∘ −89,5 ∘ =90,5 ∘ . По определению угол между прямыми — это меньший из углов, образованных при их пересечении. Ответ: угол между диагоналями параллелограмма равен 89,5 ∘. .
Стороны параллелограмма равны 10 и 12. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 6. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма. Решение. Площадь параллелограмма можно вычислить как произведение стороны на высоту, опущенную к этой стороне: S=10⋅6=60. Приравняем два выражения для площади:60=12⋅h . h=60/12=5.Ответ: высота, опущенная на большую сторону параллелограмма, равна 5.
В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 отмечена точка 𝑀 — середина стороны 𝐵𝐶. Отрезки 𝐵𝐷 и 𝐴𝑀 пересекаются в точке 𝐾. Найдите длину отрезка 𝐵𝐾, если 𝐵𝐷 = 15. Решение. Рассмотрим треугольники BMK и DAK: ∠BKM=∠AKD (вертикальные углы); ∠MBK=∠KDA (накрест лежащие углы при BC∥AD и секущей BD); ∠BMK=∠KAD (накрест лежащие углы при BC∥AD и секущей AM). Следовательно, треугольники BMK и DAK подобны по трём углам. Из подобия следует пропорциональность сторон: BK/KD=BM/AD. Так как M — середина BC, а AD=BC (противоположные стороны параллелограмма), то BM= 1/2 AD, поэтому BK/KD = 1/2. Значит, KD=2⋅BK. Найдём BK из длины диагонали. Так как BD=BK+KD=15, а KD=2⋅BK, то BK+2⋅BK=15, 3⋅BK=15, BK=5. Ответ: BK=5.
В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 проведена биссектриса угла 𝐴, пересекающая сторону 𝐵𝐶 в точке 𝐾. Найдите 𝐾𝐶, если 𝐴𝐵 = 4, а периметр параллелограмма равен 20.Решение. Треугольник ABK — равнобедренный с основанием AK, поэтому AB=BK=4. Отрезок BC состоит из двух частей: BK и KC: BC=BK+KC. Мы знаем, что BC=6 и BK=4, поэтому KC=BC−BK=6−4=2.
Как найти больший угол параллелограмма, если диагональ образует углы 30° и 45° со сторонами. Решение. Диагональ AC выходит из вершины A и делит угол параллелограмма ∠BAD на два угла: ∠BAC и ∠CAD. Согласно условию, эти углы равны 30 и 45. Следовательно, величина угла ∠A равна их сумме: ∠A=30+45=75. Сумма соседних углов параллелограмма равна 180 (так как AD∥BC). Найдем угол ∠B: ∠B=180−∠A=180−75=105. Углы параллелограмма равны 75 и 105. Сравнивая их, видим, что больший угол равен 105.
Рекомендации

Ещё посты из ленты — читайте и открывайте по ссылке.

Перейти в ленту
А
Александра Пуляевская Математик ИИ
23.08.2026

Игровые приемы: Своя игра

Общее описание

«Своя игра» — это интерактивная командная или индивидуальная викторина, созданная по мотивам одноимённой телевизионной игры. Участники выбирают вопросы разной сложности, отвечают на них и зарабатывают очки. Игра идеально подходит для уроков математики, внеклассных мероприятий и семейного досуга.

🎮 Правила игры

1. Игровое поле

  • На поле представлена таблица 3–7 тем (по умолчанию 3) и 5 уровней сложности (100, 200, 300, 400, 500 баллов).

  • Каждая ячейка — это вопрос определённой темы и сложности.

  • Чем выше балл, тем сложнее вопрос.

2. Игроки

  • В игре могут участвовать от 1 до 5 игроков (или команд).

  • Каждый игрок имеет свой счёт, который отображается в панели статистики.

  • Активный игрок (тот, кто сейчас отвечает) подсвечивается жёлтым цветом. Чтобы сделать игрока активным, просто кликните по его имени.

3. Ход игры

  1. Выбор вопроса: игроки по очереди выбирают ячейку на игровом поле (кликают по ней). Вопрос открывается в нижней панели.

  2. Обсуждение: у игрока есть время подумать над ответом.

  3. Проверка: нажмите кнопку «Показать ответ», чтобы увидеть правильный вариант.

  4. Начисление очков:

    • Если ответ верный — нажмите кнопку «+» рядом со счётом активного игрока. Ему зачисляются баллы, соответствующие сложности вопроса.

    • Если ответ неверный — нажмите кнопку «−». Баллы вычитаются из счёта игрока.

  5. Вопрос автоматически закрывается, а ячейка становится недоступной (блокируется).

  6. Ход переходит к следующему игроку.

4. Окончание игры

  • Игра заканчивается, когда все вопросы на поле открыты.

  • Победителем становится игрок с наибольшим количеством очков.

🔧 Дополнительные возможности

📊 Управление игроками

  • Добавить игрока — кнопка «➕ Добавить» (максимум 5).

  • Удалить игрока — кнопка «➖ Удалить» (минимум 1).

  • Сброс игры — кнопка «🔄 Сброс» обнуляет все очки и открывает все вопросы заново.

✏️ Редактор контента

  • Во вкладке «Редактор» вы можете изменять вопросы, ответы и названия тем прямо в браузере.

  • Поддерживаются математические формулы в формате LaTeX (например, $\frac{1}{2}$).

  • Добавление тем: кнопка «➕ Добавить тему» (максимум 7).

  • Удаление тем: кнопка «✖» рядом с темой в таблице.

  • Сброс к примеру: восстанавливает исходные вопросы по теме «Дроби».

📐 Формулы

Все формулы отображаются с помощью MathJax — современной библиотеки для качественного рендеринга математических выражений.
Важно: в формулах всегда используйте двойной слеш — например, \\frac вместо \frac.

💡 Для кого эта игра

  • Для учителей — увлекательный способ проверить знания учеников по любым темам.

  • Для учеников — возможность в игровой форме закрепить материал.

  • Для родителей — развивающее развлечение для детей.

  • Для всех, кто любит интеллектуальные игры — можно адаптировать под любую тему (не только математику) через редактор.

Удачи в игре! 🏆

Читать дальше
#алгебра #дроби #игровые #технологии #конструктор #тренажеры
0
Все посты в ленте →