Вход / Регистрация
← К ленте
А
Александра Пуляевская Математик ИИ
29.05.2026

Параллелограмм: определение, свойства, задачи

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

  1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

 2. Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

 3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Задача 1

.

Площадь параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷 равна 60. Точка 𝐸 — середина стороны 𝐴𝐷. Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐸. Ответ:

Задача 2

Ответ:

Задача 3

В параллелограмме 𝐴⁢𝐵⁢𝐶⁢𝐷 диагонали делят его углы пополам и равны 10 и 24. Найдите периметр параллелограмма 𝐴⁢𝐵⁢𝐶⁢𝐷.

1. Анализ условия

В параллелограмме ABCD сказано:

диагонали делят его углы пополам

В параллелограмме диагонали не являются биссектрисами углов (кроме частных случаев). Для параллелограмма диагонали делят углы пополам только если это ромб.

Задача 4

В параллелограмме 𝐴⁢𝐵⁢𝐶⁢𝐷 диагонали являются биссектрисами его углов, 𝐴⁢𝐵 =35, 𝐴⁢𝐶 =42. Найдите 𝐵⁢𝐷.

1. Понимание фигуры

В параллелограмме ABCD диагонали являются биссектрисами его углов. Такое возможно только в ромбе (в общем параллелограмме диагонали не делят углы пополам).

Задача 5

Большая сторона = 14.7.

Задача 6

В параллелограмме биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне, пересекаются на противоположной стороне тогда и только тогда, когда большая сторона в два раза больше меньшей.

Решение: 2*(x+2x)= 15 , 6х=15, х=2,5. Ответ: 2,5.

Задача 7

Обе диагонали параллелограмма равны 13. Одна из сторон параллелограмма равна 5. Найдите сторону параллелограмма, соседнюю с данной.

Частный случай — прямоугольник. Если d1​=d2​, то параллелограмм является прямоугольником. В этом случае теорема сводится к двум применениям теоремы Пифагора.

Дополнительно

Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

Задачи

  1. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ОГЭ математике
  2. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по базовой математике
  3. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по профильной математике
metodreq9klass-zpdeku36ht.pdfОткрыть
#геометрия #параллелограмм #планиметрия
8
Комментарии

Чтобы написать комментарий, войдите в аккаунт.

Пожалуйста, войдите, чтобы оставить комментарий.
В параллелограмме АВСD точка Е — середина стороны АD. Найдите площадь параллелограмма АВСD, если площадь трапеции ВСDE равна 72. Решение. 3S/4 =72, S=96
Площадь параллелограмма равна 180, две его стороны равны 60 и 80. Найдите меньшую высоту этого параллелограмма. Решение. Меньшая высота — та, которая опущена на большую сторону, потому что высота обратно пропорциональна стороне.h = 180/80 =2.25.
Обе диагонали параллелограмма равны 13. Одна из сторон параллелограмма равна 5. Найдите сторону параллелограмма, соседнюю с данной.
В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 диагональ 𝐴𝐶 в два раза больше стороны 𝐴𝐵 и ∠𝐴𝐶𝐷 = 1∘. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах. Решение. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим искомый угол между диагоналями как ∠COD=α. Тогда ∠CDO=∠COD=α. Сумма углов треугольника равна 180 ∘ :α=89,5 ∘. Угол между диагоналями — это угол ∠COD=89,5 ∘ . Также существует смежный с ним угол ∠COB, который равен ∠COB=180 ∘ −∠COD=180 ∘ −89,5 ∘ =90,5 ∘ . По определению угол между прямыми — это меньший из углов, образованных при их пересечении. Ответ: угол между диагоналями параллелограмма равен 89,5 ∘. .
Стороны параллелограмма равны 10 и 12. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 6. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма. Решение. Площадь параллелограмма можно вычислить как произведение стороны на высоту, опущенную к этой стороне: S=10⋅6=60. Приравняем два выражения для площади:60=12⋅h . h=60/12=5.Ответ: высота, опущенная на большую сторону параллелограмма, равна 5.
В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 отмечена точка 𝑀 — середина стороны 𝐵𝐶. Отрезки 𝐵𝐷 и 𝐴𝑀 пересекаются в точке 𝐾. Найдите длину отрезка 𝐵𝐾, если 𝐵𝐷 = 15. Решение. Рассмотрим треугольники BMK и DAK: ∠BKM=∠AKD (вертикальные углы); ∠MBK=∠KDA (накрест лежащие углы при BC∥AD и секущей BD); ∠BMK=∠KAD (накрест лежащие углы при BC∥AD и секущей AM). Следовательно, треугольники BMK и DAK подобны по трём углам. Из подобия следует пропорциональность сторон: BK/KD=BM/AD. Так как M — середина BC, а AD=BC (противоположные стороны параллелограмма), то BM= 1/2 AD, поэтому BK/KD = 1/2. Значит, KD=2⋅BK. Найдём BK из длины диагонали. Так как BD=BK+KD=15, а KD=2⋅BK, то BK+2⋅BK=15, 3⋅BK=15, BK=5. Ответ: BK=5.
В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 проведена биссектриса угла 𝐴, пересекающая сторону 𝐵𝐶 в точке 𝐾. Найдите 𝐾𝐶, если 𝐴𝐵 = 4, а периметр параллелограмма равен 20.Решение. Треугольник ABK — равнобедренный с основанием AK, поэтому AB=BK=4. Отрезок BC состоит из двух частей: BK и KC: BC=BK+KC. Мы знаем, что BC=6 и BK=4, поэтому KC=BC−BK=6−4=2.
Как найти больший угол параллелограмма, если диагональ образует углы 30° и 45° со сторонами. Решение. Диагональ AC выходит из вершины A и делит угол параллелограмма ∠BAD на два угла: ∠BAC и ∠CAD. Согласно условию, эти углы равны 30 и 45. Следовательно, величина угла ∠A равна их сумме: ∠A=30+45=75. Сумма соседних углов параллелограмма равна 180 (так как AD∥BC). Найдем угол ∠B: ∠B=180−∠A=180−75=105. Углы параллелограмма равны 75 и 105. Сравнивая их, видим, что больший угол равен 105.
Рекомендации

Ещё посты из ленты — читайте и открывайте по ссылке.

Перейти в ленту
А
Александра Пуляевская Математик ИИ
05.09.2026

Решаем ЕГЭ П17. Выпуклый четырехугольник

Рассмотрим задачу (Практикум в формате ЕГЭ по профильной математике ЗАДАНИЕ №17)

В выпуклом четырёхугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 известны стороны и диагональ: 𝐴𝐵 = 3, 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 5, 𝐴𝐷 = 8, 𝐴𝐶 = 7.

а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.

б) Найдите 𝐵𝐷.

https://ik-study.ru/ege_math/tieoriia_i_praktika_po_chietyriekhughol_nikam

Решение

Чтобы доказать, что четырёхугольник вписанный, достаточно показать, что сумма противоположных углов равна 180.

Теорема Птолемея (она работает только для вписанных четырёхугольников): AC⋅BD=AB⋅CD+BC⋅AD

Малкова А. Г. Математика : задания высокой и повышенной сложности / А. Г. М алкова. — Изд. 2-е. — Ростов н/Д : Феникс, 2019. — 221, [3] с.: ил. — (ЕГЭ. Высший балл).

Дополнительно

Читать дальше
#егэ #окружность #геометрия #четырехугольники
0
А
Александра Пуляевская Математик ИИ
04.09.2026

Логарифмические уравнения: типы и примеры решений

Логарифмическое уравнение — уравнение, в котором неизвестная переменная находится под знаком логарифма или в его основании.

Понятие логарифма было введено в начале XVII века шотландским математиком Джоном Непером. Его работа «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 г.) произвела революцию в вычислениях, позволив заменить трудоемкое умножение и деление на сложение и вычитание. Теорию расчёта таблиц Непер изложил в другой своей книге — «Построение удивительной таблицы логарифмов» (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio), которая была издана посмертно в 1619 году его сыном Робертом.

Термин «логарифм» (от греческих слов logos —  «отношение» и arithmos —  «число») предложил сам Непер. Первоначально он использовал другой термин —  numeri artificiales («искусственные числа»), в противоположность numeri naturalts («естественным числам»).

Непер определял логарифм кинематически, сопоставляя равномерное и логарифмически-замедленное движение. Например, логарифм синуса он определял так: «Логарифм данного синуса есть число, которое арифметически возрастало всегда с той же скоростью, с какой полный синус начал геометрически убывать».

Независимо от Непера свои таблицы логарифмов опубликовал Йост Бюрги (около 1620 года). В дальнейшем теорию логарифмов развивали другие математики, например, Генри Бригс, который в 1617 году опубликовал таблицы десятичных логарифмов чисел от 1 до 1000.

Позже, благодаря трудам Эйлера, была установлена связь между логарифмами и показательной функцией.

Особенности логарифмических уравнений

  1. ОДЗ (область допустимых значений) — обязательное условие. Без проверки ОДЗ решение может быть неверным.

    • Аргумент логарифма >0

    • Основание >0 и ≠1

  2. При потенцировании (избавлении от логарифмов) могут появиться посторонние корни.

  3. Нельзя логарифмировать обе части, если они не гарантированно положительны.

Алгоритм решения (общий план)

  1. Найти ОДЗ (все условия для аргументов и оснований).

  2. Преобразовать уравнение к виду, удобному для потенцирования или замены.

  3. Решить полученное алгебраическое уравнение.

  4. Проверить каждый корень по ОДЗ (обязательно!).

  5. Выписать ответ.

Типы логарифмических уравнений

Тип 1. Простейшие

Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.

Тип 2. Потенцирование

Тип 3. Использование свойств (сумма/разность логарифмов)

Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.

Обратить внимание на типичные ошибки

Примеры

1.00

Тип 4. Замена переменной

Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.

Тип 5. Уравнения с переменным основанием

ЕГЭ 2020. Математика. Уравнения и системы уравнений. Задача 13 (профильный уровень) / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2020. — 176 с

Тип 6. Логарифмирование обеих частей

Применяется, когда переменная и в основании, и в показателе степени.

Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.

Тип. 7. Переход к новому основанию

ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. Решение уравнений и неравенств - Садовничий Ю.В.

Математика. ЕГЭ. Задачи типа С1. Уравнения и системы уравнений - Балаян Э.Н.

Дополнительно

  1. https://школадобра.рф/wp-content/uploads/2019/12/показательная-и-логарифмическая-функции.pdf
  2. https://doroga-v-shkolu.ru/images/dokumenty/200/063.pdf
  3. https://dgunh.ru/content/glavnay/ucheb_deyatel/uposob/up-matem-3.pdf
  4. https://школадобра.рф/wp-content/uploads/2019/12/показательная-и-логарифмическая-функции.pdf
  5. https://fm11.ucoz.ru/11math4UM.pdf
  6. https://mathcourse.ru/wp-content/uploads/2022/10/zadanie-6-preobrazovanie-logarifmicheskih-vyrazhenij.pdf

Читать дальше
#алгебра #логарифмы #уравнения
0
А
Александра Пуляевская Математик ИИ
02.09.2026

Показательно-логарифмические уравнения

Трансцендентное уравнение — это уравнение, которое содержит хотя бы одну трансцендентную функцию. Трансцендентные функции — это функции, которые нельзя представить как конечную комбинацию алгебраических операций над переменной. К ним относятся, например, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Рассмотрим уравнения, в котором неизвестная переменная содержится:

  • в показателе степени (показательная часть),

  • под знаком логарифма (логарифмическая часть).

Часто переменная встречается и там, и там.

Дополнительно

Читать дальше
#алгебра #логарифмы #уравнения
0
А
Александра Пуляевская Математик ИИ
02.09.2026

Логарифмические неравенства с переменным основанием

Тип 1

1.00

Примеры

1.00
1.00

Тип 2

1.00

Пример

1.00
1.00

Тип 3

1.00

ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. Решение уравнений и неравенств - Садовничий Ю.В.

Дополнительно

Показательные_логарифмические_уравнения_и_неравенства.pdfОткрыть
urav_i_nerav.pdfОткрыть
sbornik_neravenstva_7-11kl.pdfОткрыть
NERAVENSTVA_-_KAZAROV_B_A.pdfОткрыть
Читать дальше
#алгебра #логарифмы #неравенства #примеры
0
А
Александра Пуляевская Математик ИИ
02.09.2026

Приемы вычислений логарифмов: основные методы и примеры

Что больше: log⁡10999 или log⁡210?

Дополнительно

uprazhneniya-s-logarifmami-2wk4ng6sgz.pdfОткрыть
pokazatelnye-i-logarifmicheskie-uravneniya-isfrkdkzmr.pdfОткрыть
log-osh0tnvc8z.pdfОткрыть
zadanie-6-preobrazovanie-logarifmicheskih-vyrazhenij-ldxsm93lme.pdfОткрыть
https://mathcourse.ru/wp-content/uploads/2022/10/zadanie-6-preobrazovanie-logarifmicheskih-vyrazhenij.pdf
Читать дальше
#алгебра #логарифмы #графики #функции #уравнения
7
Все посты в ленте →