В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны 48 и 14.
Найдите периметр параллелограмма. Решение. Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то этот параллелограмм — ромб.Следовательно, все стороны ромба равны: AB=BC=CD=DA=a.Применим теорему Пифагора для нахождения стороны ромба: a=25. Так как у ромба 4 равные стороны: P=4⋅a=4⋅25=100.
В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 диагонали являются биссектрисами его углов, 𝐴𝐵 = 35, 𝐴𝐶 = 42. Найдите 𝐵𝐷. Решение. Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то этот параллелограмм — ромб. Следовательно, все стороны равны: AB=BC=CD=DA=35. BO^2
=1225−441=784,Так как BO — половина диагонали BD, то: BD=2⋅BO=2⋅28=56.
Как найти высоту ромба: сторона 4, угол 150°. Решение. в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30∘, равен половине гипотенузы: h=a/2, h=4/2=2.
Как найти площадь ромба, если периметр равен 24, а угол 30°. Решение. Нахождение стороны ромба. Все стороны ромба равны. Зная периметр, найдем длину стороны a: a=P/4=24/4=6. Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус любого угла ромба: S=a^2⋅sinα. Подставим известные данные (a=6, α=30) в формулу: S=6^2⋅sin30.
Выполним вычисления: S=36⋅1/2=18
В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 диагонали делят его углы пополам и равны 10 и 24. Найдите периметр параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷. Решение. Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм является ромбом. Обоснование: в ромбе диагонали являются биссектрисами углов; обратное утверждение тоже верно: если в параллелограмме диагонали — биссектрисы углов, то это ромб. Следовательно, все стороны параллелограмма равны: AB=BC=CD=DA=a.Применим теорему Пифагора для нахождения стороны ромба:a=13. Периметр — это сумма длин всех сторон. Так как у ромба 4 равные стороны: P=4⋅a=4⋅13=52.
Ромб и квадрат имеют равные стороны. Найдите площадь ромба, если его острый угол равен 30∘, а площадь квадрата равна 64. Решение. Длина стороны = 8. По условию стороны ромба и квадрата равны, значит, сторона ромба также равна 8. Площадь ромба можно найти по формуле через сторону и синус острого угла: S ромб =a^2 ⋅sinα. Подставляем значения: S ромб =8^2 ⋅sin30 ∘ =64*1/2 =32.
В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 диагонали перпендикулярны. Сумма углов 𝐴 и 𝐶 равна
120∘, 𝐴𝐵 = 44. Найдите 𝐵𝐷.Решение. В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому: BD=AB=44.
Каждое неравенство разбито на шаги: сначала ОДЗ, затем ветвление по основанию логарифма (a>1 или 0<a<1), упрощение и финальный вывод. На каждом шаге — четыре варианта ответа, правильный подсвечивается, неправильный показывает подсказку с указанием конкретной ошибки.
📈 Двойная интерактивная ось — главная фишка
В конце каждой задачи появляется интерактивный блок с двумя осями:
верхняя — параметр a (по ней двигается ползунок, красные зоны отмечают критические точки);
нижняя — переменная x, где цветом подсвечивается множество решений: зелёный — входит в ответ, серый — не входит, красные и зелёные точки — выколотые и включённые границы.
Двигая ползунок, вы в реальном времени видите, как «зелёная зона» решения сжимается, расширяется или вовсе исчезает при переходе через критическую точку и т.д.
Вкладка «Все» — быстрая самопроверка
Все 9 задач собраны в компактный список с кнопкой «Показать ответ» — удобно для повторения перед экзаменом или проверки себя без полного разбора.
Прогресс сохраняется автоматически
Все решённые задачи, текущая задача и активная вкладка восстанавливаются при следующем визите. Кнопка «Сбросить прогресс» — на вкладке «Все».
Квадратные уравнения с параметром — это уравнения, в которых помимо переменной (обычно обозначаемой как x) присутствуют параметры. Параметры — это буквы (например, a, b, c, k, m), конкретные числовые значения которых не заданы изначально и подлежат определению в соответствии с условием задачи. Важно понимать, что параметр — это не переменная, а неизвестная константа, значение которой может меняться от задачи к задаче. Часто требуется найти не одно конкретное число, а целый набор (интервал) значений параметра, при которых выполняются заданные условия относительно корней уравнения.
Давайте разберем основные особенности квадратных уравнений с параметром максимально подробно. Понимание этих «подводных камней» — ключ к тому, чтобы не терять корни и не получать лишние ответы.
В отличие от обычного уравнения, где коэффициенты — это конкретные числа, здесь они зависят от параметра. Это порождает три главные особенности.
Особенность 1. «Исчезающая квадратичность»
В стандартном квадратном уравнении ax2+bx+c=0 жестко задано условие a≠0. В уравнении с параметром коэффициент a может быть выражением с параметром, которое обращается в ноль при некоторых его значениях.
Суть: При одних значениях параметра уравнение — квадратное (имеет 0, 1 или 2 корня), а при других — превращается в линейное (имеет 0 или 1 корень) или даже вырождается в константу.
Алгоритм действий:
При решении любой задачи с параметром у квадратного уравнения первым делом нужно рассматривать два принципиально разных случая:
Случай A: Коэффициент при x2 равен нулю (уравнение НЕ квадратное).
Случай B: Коэффициент при x2 не равен нулю (уравнение квадратное).
Пример
Особенность 2. «Плавающий» дискриминант
В обычном уравнении дискриминант — это число. В уравнении с параметром дискриминант D(k) — это функция от параметра. Его знак может меняться в зависимости от k.
Что нужно контролировать:
D>0 — два различных действительных корня.
D=0 — один корень (два совпавших).
D<0 — нет действительных корней.
Важный нюанс про «один корень»:
Фраза «уравнение имеет один корень» в задачах с параметром всегда двусмысленна. Она может означать:
Дискриминант равен нулю (квадратный случай).
Уравнение выродилось в линейное (коэффициент при x2 = 0). Поэтому при ответе на вопрос «когда ровно 1 корень?» нужно объединить решения из Особенности 1 (случай линейного уравнения) и Особенности 2 (D=0).
Пример
Особенность 3. Неравенства Виета
Теорема Виета описывает связь между всеми корнями и коэффициентами. Она не работает, если уравнение потеряло квадратичность (случай a=0). Также она ничего не говорит о существовании корней (это делает дискриминант).
Золотое правило: Сначала через дискриминант находим, при каких параметрах корни существуют (D≥0), а затем применяем Виета для наложения дополнительных условий (знаки, сравнение с числом).
Краткий чек-лист при решении любой задачи:
Посмотри на коэффициент при x2. При каких значениях параметра он равен нулю? Запиши эти случаи и реши их отдельно (линейные уравнения).
Для случая a≠0: Найди дискриминант D.
Условие существования корней: D≥0. Реши это неравенство.
Примени условия задачи (положительность, сравнение с числом и т.д.) используя теорему Виета или формулу корней, не забывая про знак a.
Объедини результаты из пункта 1 (линейный случай) и пунктов 2-4 (квадратный случай).
Проверь граничные точки (особенно те, где D=0 или a=0) на вхождение в ответ — часто они требуют отдельной проверки подстановкой.
Примеры
Тренировочные задачи и материалы
Для закрепления материала рекомендуется решать разнообразные задачи. Ниже приведены ссылки на подборки заданий по теме "Квадратные уравнения с параметром", которые помогут отработать рассмотренные методы.
(отредактировано)
(отредактировано)
(отредактировано)
(отредактировано)
(отредактировано)
(отредактировано)
(отредактировано)
(отредактировано)
(отредактировано)
(отредактировано)