Учебные пособия

1. Апайчева, Л.А. А 76 Теория вероятностей : учебное пособие / Л.А. Апайчева, А.Г. Багоутдинова, Л.Е. Шувалова. – 2-е изд., перераб. и доп. – Нижнекамск : Нижнекамский химико-технологический институт (филиал)
2. Барышева В.К., Галанов Ю.И., Ивлев Е.Т.,Пахомова Е.Г. T338 Теория вероятностей. Учебное пособие. — Томск: Изд–во ТПУ, 2004. — 136 с.
3. Бесклубная А.В. Теория вероятностей [Текст]: учебн. пос. для вузов / А.В. Бесклубная; Нижегор. гос. архитектур.- строит. ун-т. – Н. Новгород: ННГАСУ, 2016. – 52с.
4. Иванов С.О., Коннова Е.Г. и др.Математика. Подготовка к ЕГЭ-2014.Теория вероятностей
5. Купцов, А. Н. Теория вероятностей : учеб. пособие / А. Н. Купцов. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2011.
6. Е. И. Панченко, Л. А. Галимова. Теория вероятностей. Учебное электронное издание
7. Скрябина А.Г., Иванова А.В. Вероятностно-стохастическая линия школьного курса математики: учебное пособие / А.Г. Скрябина, А.В. Иванова. – Ульяновск: Зебра, 2021. – 102 с.
8. Трофимова, Е. А. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие / Е. А. Трофимова, Н. В. Кисляк, Д. В. Гилёв ; [под общ. ред. Е. А. Трофимовой] ; М-во образования и науки Рос. Федерации, Урал. федер. ун-т. – Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2018. – 160 с.
9. Тюрин Ю. Н. и др. Т98 Математика 7–9 класс. Теория вероятностей и статистика / Ю. Н. Тюрин, А. А. Макаров, И. Р. Высоцкий, И. В. Ященко. — 3-е изд., стереотипное. — М.: МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2011. — 256 с.: ил.
10. Яковлев И.В. Я 26 Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие/ И.В. Яковлев, Е.Н. Яковлева. – Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2012. – 83 с.

Типовые задачи

1. Высоцкий И. Р., Ященко И. В. ЕГЭ 2021. Математика. Теория вероятностей. Задача 4(профильный уровень). Задача 10(базовый уровень). Рабочая тетрадь / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2021
2. И. Высоцкий, В. Шапарина. Об условной вероятности в школе

Дополнительно

1. Математические тренажёры. Теория вероятностей.

В торговом центре установлены два автомата, продающие кофе. Вероятность того, что к концу дня кофе закончится в каждом отдельном автомате, равна 0,3. В обоих автоматах кофе заканчивается к вечеру с вероятностью 0,21. Вечером пришел мастер, чтобы обслужить автоматы, и обнаружил, что в первом кофе закончился. Какова теперь вероятность того, что во втором автомате кофе тоже закончился?

Теория вероятностей изучает случайные события и закономерности, возникающие при их массовом повторении.

Дополнительно

Диаграммы Эйлера (или круги Эйлера) — это графическое представление отношений между множествами. В теории вероятностей они используются для визуализации отношений между событиями.

Теория вероятностей — один из ключевых разделов математики, который изучает закономерности случайных явлений. Её история тесно связана с азартными играми, статистикой и естественными науками.

Общая структура

Страница состоит из 6 раскрывающихся блоков (аккордеонов):

Симуляции показывают, как экспериментальная вероятность приближается к теоретической при большом числе испытаний.

Как использовать интерактивные симуляции

В блоке «🎮 Интерактивные симуляции» три эксперимента:

🪙 Монета на линиях

• Что делает: бросает монету на линии, считает, сколько раз монета НЕ пересекла линию.

• Ползунки: можно менять расстояние между линиями (d) и радиус монеты (r).

• Кнопки:

  • «🎲 50 бросков» — добавить 50 случайных бросков

  • «⟳ Сброс» — очистить все результаты

• Что показывает:

  • «Всего» — сколько всего бросков сделано

  • «Не пересекла» — сколько раз монета не задела линию

  • «P эмп» — экспериментальная вероятность (не пересечь линию)

  • «Теор» — теоретическая вероятность (рассчитанная по формуле)

⚫ Точка в круге

• Что делает: генерирует случайные точки в круге, проверяет, ближе ли точка к центру, чем к границе.

• Кнопки:

  • «➕ 50 точек» — добавить 50 случайных точек

  • «🗑️ Сброс» — очистить

• Что показывает: экспериментальная вероятность (должна стремиться к 0.25)

🤝 Задача о встрече

• Что делает: моделирует встречу двух человек, которые ждут друг друга.

• Ползунок: время ожидания (5–30 минут).

• Что показывает: экспериментальная вероятность встречи (теоретическая ≈ 0.4375 при 15 минутах).

Все задачи по теории вероятностей можно классифицировать по типу случайного эксперимента и характеру связи между событиями. 

Главный принцип: Любую задачу можно решить, если правильно определить:

• Что нужно найти?  (вероятность события или условную вероятность)

• Что происходит?  (тип эксперимента)

• Как связаны события?  (независимость/зависимость, совместность)

Формула включения-исключения — мощный инструмент комбинаторики, который помогает считать количество элементов, удовлетворяющих сложным условиям (например, «хотя бы один», «не более двух» и т.д.). 

Задачи для самостоятельного решения

1. В классе 35 учеников. 20 участвуют в олимпиаде по математике, 18 — по физике, 7 — по обоим предметам. Сколько не участвуют ни в одной олимпиаде?

   Ответ:  4 ученика.

2. Из 60 человек 35 любят чай, 40 — кофе, а 15 — и то, и другое. Сколько человек не любят ни чай, ни кофе?

   Ответ:  0 человек.

3. В школе 80 детей. 50 занимаются спортом, 45 — музыкой, 20 — рисованием. 20 совмещают спорт и музыку, 15 — спорт и рисование, 10 — музыку и рисование, а 5 — все три занятия. Сколько детей не заняты ничем?

   Ответ:  5 детей.

4. Сколько чисел от 1 до 100 не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5?

   Ответ:  26 чисел.

5. В группе 90 туристов. 50 не были в Англии, 60 — во Франции, 55 — в Италии, 30 — ни в Англии, ни во Франции, 25 — ни в Англии, ни в Италии, 20 — ни во Франции, ни в Италии, 15 — ни в одной из этих стран. Сколько побывали во всех трёх?

   Ответ:  5 туристов.

Дополнительно

Условная вероятность одно из важнейших понятий теории вероятностей, которое позволяет учитывать дополнительную информацию о наступлении другого события при оценке шансов события А.

Понятие условной вероятности возникло в работах математиков XVII–XVIII веков, связанных с анализом азартных игр и демографических данных.

• Томас Байес  (1701–1761) разработал теорему, связывающую условные вероятности (теорема Байеса).

• Пьер-Симон Лаплас  (1749–1827) формализовал теорию вероятностей, включая условные вероятности.

Современное определение основано на аксиоматике А. Н. Колмогорова (1933).

Дополнительно

• Курбацкий А. Н. Операции с событиями, формула сложения вероятностей, независимые события. Условная вероятность
• И. Высоцкий, В. Шапарина. Об условной вероятности в школе

• Теория вероятностей и статистика. 10 класс
• Теория вероятностей и математическая статистика: решение задач : учебное пособие / О.Я. Шевалдина, Е.В. Выходец, О.Л. Кузнецова [и др.] ; под ред. Е.А. Трофимовой ; Министерство науки и высшего образования Российской Федерации, Уральский федеральный университет.— Екатеринбург : Изд‑во Урал. ун‑та, 2021.— 220 с. : ил.— 100 экз.— ISBN 978-5-7996-3189-5.— Текст : непосредственный.

Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго – 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) стандартна.