За каждым заданием второй части профильного ЕГЭ по математике уже давно закрепилось неофициальное название: так, задание 16 учителя и учащиеся называют экономической задачей. Это название объединяет задачи на кредиты и вклады, а также задачи на оптимизацию.
Кредит банка – сумма денежных средств, которую заёмщик обязуется вернуть банку в соответствии с условиями заключённого договора (проценты, сроки промежуточных платежей и др.). Платёж по кредиту состоит из основного долга и процентов. Основной долг — это размер кредита. А проценты — это сумма, которую берет банк за пользование кредитом.
Основные понятия
S — сумма кредита или вклада (в рублях) r — процентная ставка (например, 10% → r=10 ) k = 1 + r/100 — коэффициент роста долга/вклада (например, при 10% → k=1.1 ) n — количество периодов (лет, месяцев) x — размер платежа (если аннуитетный) d = S/n — ежемесячное (ежегодное) погашение основного долга (для дифференцированного)
В задачах на совместную работу обычно рассматриваются процессы, выполняемые несколькими участниками (рабочими, трубами, механизмами и т. д.).
Ключевая идея — определить, какую часть работы каждый участник выполняет за единицу времени (производительность), а затем найти общий результат.
Основная формула, связывающая работу, время и производительность:
A=P⋅t
где:
A — объем работы (например, "1 работа" или конкретное количество деталей),
P — производительность (работа в единицу времени),
t — время выполнения работы.
Основные понятия
Совместная работа — сумма производительностей.
Основные типы задач
Тип 1. Один работник выполняет работу
Дано время выполнения работы, нужно найти производительность или объем работы.
Задание 1
Тип 2. Два объекта работают вместе
Их производительности складываются.
Задание 2
Задание 10 2026Я - в9
Задание 10 2026Я - в19
Задание 3
Два станка изготавливают детали. Первый делает 20 деталей в час, второй — 30. Сначала первый работал 2 часа один, потом оба вместе ещё 3 часа. Сколько всего деталей они изготовили?
Тип 3. Один начинает, другой присоединяется позже
Нужно учесть, сколько работы сделано до подключения второго.
Задание 4 Первый рабочий выполняет работу за 10 часов. Он работал 4 часа один, потом подключился второй, и вместе они закончили работу за 2 часа. За сколько часов выполнит работу второй рабочий?
Решение:
Задание 5 Один рабочий выполняет работу за 10 часов, второй — за 15. Первый начал работу, а через 2 часа к нему присоединился второй. За сколько часов работа будет выполнена?
Тип 4. Работа с перерывами или разными режимами
Задание 6 Два экскаватора, работая вместе, могут вырыть котлован за 12 часов. Если первый проработает 8 часов, а второй — 10 часов, они выполнят 80% работы. За сколько часов каждый выроет котлован один?
Решение
Задание 10 2026Я - в13
Задание 10 2026Я - в23
Задание 10 2026Я - в33
Тип 5. Задачи на бассейны и трубы
Аналогичны задачам на работу: трубы могут наполнять (+) или опорожнять (–) бассейн.
Задание 7 Первая труба наполняет бассейн за 4 часа, вторая — за 6 часов. За сколько часов наполнится бассейн при совместной работе?
Задание 8
Задание 9
Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 480 литров она заполняет на 8 минут дольше, чем вторая труба?
Дано:
Первая труба пропускает x литров воды в минуту.
Вторая труба пропускает x+2 литра воды в минуту.
Объём резервуара: 480 литров.
Первая труба заполняет резервуар на 8 минут дольше, чем вторая
Составим уравнение на основе времени заполнения резервуара:
Упростим уравнение:
Решим квадратное уравнение:
Ответ: Первая труба пропускает 10 литров воды в минуту.
Имеется творог двух сортов. Жирный содержит 20% жира а нежирный содержит 5% жира. Определите процент жирности получившегося творога, если смешали: а) 2 кг жирного и 3 кг нежирного творога, б) 3 кг жирного и 2 кг нежирного творога.
Ответ: а) 11%, б) 14%
Задача 2
Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 35 кг раствора кислоты различной концентрации. Если смешать оба раствора, то получится раствор, содержащий 46% кислоты. Если смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 47% кислоты. Какова концентрация данных растворов?
На складе хранилась 51 т зерна, влажность которого была 20%. Перед закладкой зерна в зернохранилище его просушили, доведя влажность до 15%. Сколько тонн зерна засыпали в зернохранилище?
Решение
Вес зерна изменился из-за испарения воды.
Сухое вещество осталось неизменным.
Шаг 1. Сколько сухого вещества было
Масса зерна исходная: 51 т. Влажность 20%, значит воды 20%, сухого вещества:
100%−20%=80%
51×0.80=40.8 т сухого вещества.
Шаг 2. Сухое вещество после сушки
После сушки влажность 15%, значит сухого вещества:
Задачи на круговое движение, где один участник догоняет другого, часто пугают своей сложностью.Давайте разберем конкретную задачу, а затем рассмотрим общие принципы.
Задача
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 20 минут он ещё не вернулся в пункт A, и из пункта A следом за ним отправился мотоциклист. Через 5 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а ещё через 46 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 46 км. Ответ дайте в км/ч.
Универсальный алгоритм
Шаг 1. Привести все единицы измерения к единой системе
Шаг 2. Обозначить переменные
Шаг 3. Проанализировать первую встречу
К моменту первой встречи:
более медленный участник был в пути дольше (так как стартовал раньше);
оба проехали одинаковое расстояние (так как встретились в одной точке трассы).
Составляем уравнение, приравнивая пройденные расстояния. Это позволяет найти соотношение скоростей.
Шаг 4. Проанализировать промежуток между первой и второй встречами
Ключевой принцип: за время между встречами более быстрый участник проезжает на ровно один круг больше, чем медленный.
Шаг 5. Решить систему уравнений
Используем соотношение скоростей из шага 3 и подставляем в уравнение из шага 4.
Расстояние между городами А и В равно 420 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 1 час следом за ним со скоростью 80 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он вернулся в А, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от А до С. Ответ дайте в километрах.
Шаг 1. Обозначения
AB=420 км.
Автомобиль выехал из A в B (обозначим его скорость va км/ч).
Мотоциклист выехал из A в B через 1 час после автомобиля, скорость vm=80 км/ч.
Мотоциклист догнал автомобиль в городе C (находится между A и B, расстояние AC=x км).
В момент встречи в C мотоциклист разворачивается и едет обратно в A.
Когда мотоциклист вернулся в A, автомобиль в этот момент прибыл в B.
Время движения отсчитываем от момента старта автомобиля.
Шаг 2. Определим время до встречи в C
Пусть t1 — время от старта автомобиля до встречи в C.
Автомобиль: проехал x км за t1 часов: x=va⋅t1.(1)
Мотоциклист выехал на 1 час позже, поэтому его время в пути до встречи = t1−1 часов. Он проехал те же x км со скоростью 80 км/ч: x=80⋅(t1−1).(2)
Из (1) и (2): va⋅t1=80(t1−1).(3)
Шаг 3. Движение после встречи в C
После встречи:
Мотоциклист разворачивается и едет обратно из C в A (расстояние x) со скоростью 80 км/ч. Время на обратную дорогу = t2=x/80 часов.
Автомобиль продолжает путь из C в B (расстояние 420−x) со скоростью va. Время на этот отрезок = t3=(420−x)/v.
Условие задачи: когда мотоциклист вернулся в A, автомобиль прибыл в B. То есть время движения после встречи у них одинаковое: t2=t3
Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 22 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 20 км/ч больше скорости другого?
1. Понимание условия
У нас есть круговая трасса длиной 22 км. Два мотоциклиста стартуют одновременно из двух диаметрально противоположных точек трассы, значит расстояние между ними по трассе — половина длины круга:
22/2=11 км.
Они едут в одном направлении. Скорость одного на 20 км/ч больше скорости другого. Через какое время они поравняются в первый раз?
Обозначим:
v км/ч — скорость медленного,
v+20 км/ч — скорость быстрого.
2. Относительная скорость
При движении в одну сторону скорость сближения (догоняния) равна разности их скоростей:
vотн=(v+20)−v=20 км/ч.
3. Какое расстояние нужно сократить
В момент старта расстояние между ними 11 км (половина круга).
Так как они едут в одну сторону, чтобы первый раз поравняться, быстрому нужно догнать медленного. Это значит сократить расстояние 11 км.
Если бы они ехали навстречу друг другу, тогда расстояние между ними сокращалось бы со скоростью, равной сумме их скоростей. Потому что они бегут друг к другу и уменьшают расстояние с двух сторон.
А в одном направлении они оба бегут в одну сторону, и расстояние уменьшается только за счет того, что один бежит быстрее другого. Поэтому берется именно разность.
