Все задачи по теории вероятностей можно классифицировать по типу случайного эксперимента и характеру связи между событиями. 

Главный принцип: Любую задачу можно решить, если правильно определить:

• Что нужно найти?  (вероятность события или условную вероятность)

• Что происходит?  (тип эксперимента)

• Как связаны события?  (независимость/зависимость, совместность)

Формула включения-исключения — мощный инструмент комбинаторики, который помогает считать количество элементов, удовлетворяющих сложным условиям (например, «хотя бы один», «не более двух» и т.д.). 

Задачи для самостоятельного решения

1. В классе 35 учеников. 20 участвуют в олимпиаде по математике, 18 — по физике, 7 — по обоим предметам. Сколько не участвуют ни в одной олимпиаде?

   Ответ:  4 ученика.

2. Из 60 человек 35 любят чай, 40 — кофе, а 15 — и то, и другое. Сколько человек не любят ни чай, ни кофе?

   Ответ:  0 человек.

3. В школе 80 детей. 50 занимаются спортом, 45 — музыкой, 20 — рисованием. 20 совмещают спорт и музыку, 15 — спорт и рисование, 10 — музыку и рисование, а 5 — все три занятия. Сколько детей не заняты ничем?

   Ответ:  5 детей.

4. Сколько чисел от 1 до 100 не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5?

   Ответ:  26 чисел.

5. В группе 90 туристов. 50 не были в Англии, 60 — во Франции, 55 — в Италии, 30 — ни в Англии, ни во Франции, 25 — ни в Англии, ни в Италии, 20 — ни во Франции, ни в Италии, 15 — ни в одной из этих стран. Сколько побывали во всех трёх?

   Ответ:  5 туристов.

Дополнительно

Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго – 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) стандартна.

На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до тысячных

Условие:

1. 10% тарелок (то есть 0,1 от всех) — дефектные.

2. При контроле выявляется 80% дефектных тарелок. Это значит, что 80% от этих 10% выбраковываются и не поступают в продажу.

3. Остальные (и невыявленные дефектные, и все хорошие) поступают в продажу.

4. Мы покупаем тарелку в магазине  (то есть выбираем случайно из тех, что поступили в продажу).

5. Нужна вероятность, что она не имеет дефектов

   .

Шаг 1: Введем обозначения и найдем доли от общего объема производства

Пусть на заводе произвели N тарелок (для удобства можно взять N=1000 или просто оперировать долями).

• Доля дефектных:  P(деф)=0,1.

• Доля качественных:  P(кач)=0,9.

Шаг 2: Что происходит с дефектными?

Контроль выявляет 80% дефектных, значит:

• Выявленные (не пойдут в продажу): 0,1×0,8=0,08 от общего выпуска.

• Не выявленные (пропущенные, пойдут в продажу): 0,1×0,2=0,02 от общего выпуска.

Шаг 3: Что поступает в продажу?

В продажу поступают:

1. Все качественные: 0,9 от выпуска.

2. Пропущенные дефектные: 0,02 от выпуска. Итого в продажу поступает доля от общего объема производства: 0,9+0,02=0,92.

Шаг 4: Ищем условную вероятность

Мы выбираем тарелку из магазина (из этой доли 0,92. Нас интересует вероятность, что она качественная.

Количество качественных среди попавших в продажу: 0,9

решим задачу через формулу Байеса

Шаг 1: Определение событий

• Событие A — тарелка  дефектная

  .

• Событие Aˉ — тарелка качественная  (без дефектов).

• Событие B — тарелка  поступила в продажу  (прошла контроль).

Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 11, но, не дойдя до отметки 2 часа.

Валя выбирает случайное трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 51.

Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 15 до 29 делится на 5?

В мешке содержатся жетоны с номерами от 5 до 54 включительно. Какова вероятность, того, что извлеченный наугад из мешка жетон содержит двузначное число?

Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 50. Какова вероятность того, что наугад взятый учеником билет имеет однозначный номер?

Коля наудачу выбирает двузначное число. Найдите вероятность того, что оно оканчивается на 3.

Андрей выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 33.

Шаг 1. Определим, сколько всего трёхзначных чисел

Трёхзначные числа — от 100 до 999 включительно.
Их количество:

999−100+1=900

Шаг 2. Определим, сколько трёхзначных чисел делится на 33

Первое трёхзначное число, которое делится на 33, найдём подбором:
33×3=99 — это двузначное, не подходит.
33×4=132 — подходит (первое трёхзначное).

Последнее трёхзначное число, которое делится на 33:
33×30=990 — подходит.
Проверим, может ли быть 33×31=1023 — уже четырёхзначное, не подходит.

Значит, трёхзначные числа, кратные 33, имеют множитель от 4 до 30 включительно.
Количество таких чисел:

30−4+1=27

Симметричный игральный кубик бросают два раза. Найдите вероятность события «сумма выпавших очков равна 3, 4 или 5».

Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпало число, большее 3.

Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма двух выпавших чисел равна 4 или 7.

Монету бросили 20 раз. Известно, что орел выпал 9 раз. Найдите вероятность того, что при десятом по счету броске выпала решка.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза.

В фирме такси в данный момент свободно 10 машин: 5 чёрных, 3 жёлтых и 2 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Ответ: 3/10=0,3.

У бабушки 25 чашек: 7 с красными цветами, остальные с синими (25-7=18). Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Ответ: 18/25=0,72

В магазине канцтоваров продаётся 120 ручек: 32 красных, 32 зелёных, 46 фиолетовых, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет красной или фиолетовой (32+46=68).

Ответ: 68/120=0,65

Родительский комитет закупил 25 пазлов для подарков детям в связи с окончанием учебного года, из них 21 с машинами и 4 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 25 детьми, среди которых есть Саша. Найдите вероятность того, что Саше достанется пазл с машиной.

Ответ: 21/25=0,84

В среднем из 150 карманных фонариков, поступивших в продажу, шесть неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Ответ: 144/150=0,96

Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,14. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

Ответ: 1-0,14=0,86

В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. (13+2+5=20 участников). Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из Норвегии или Швеции (2+5=7 участников).

Ответ: 7/20=0,35

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд будет первой владеть мячом. Команда А должна сыграть два матча  — с командой В и с командой С. Найдите вероятность того, что в обоих матчах первой мячом будет владеть команда А.

В классе 26 человек, среди них два близнеца — Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.

Ответ: 12/25=0,48

Общий алгоритм

1. Определить общее количество всех возможных исходов (n) — сколько всего объектов (чашек, машин, пазлов).

2. Определить количество благоприятных исходов (m) — сколько объектов удовлетворяют условию (синие чашки, жёлтые такси, пазл с машиной).

3. Вычислить вероятность по формуле:

   P=m/n​

4. (При необходимости) сократить дробь или перевести в десятичную/проценты.

Задача 1. Чашки с синими цветами

У бабушки 25 чашек: 7 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Задача 2. Жёлтое такси

В фирме такси в данный момент свободно 10 машин: 5 чёрных, 3 жёлтых и 2 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Задача 3. Пазл с машиной

Родительский комитет закупил 25 пазлов для подарков детям в связи с окончанием учебного года, из них 21 с машинами и 4 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом между 25 детьми, среди которых есть Саша. Найдите вероятность того, что Саше достанется пазл с машиной.