Задача 1

Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту l этого столба, если высота h горки равна 3,6 м. Ответ дайте в метрах.

Дано:

Горка — это гипотенуза прямоугольного треугольника. Вертикальная высота h = 3,6 м. Столб стоит вертикально посередине горки.
Найти высоту столба l.

1 способ. Подобие треугольников

Треугольник ABC: AC вертикаль = h, AB — горка.
Точка E — середина AB, DE — столб вертикально, D — на земле.
Треугольник DBE подобен треугольнику ABC:
• Угол B общий
• Угол DEB = угол ACB = 90°, потому что DE параллельно AC.

Коэффициент подобия

Так как E — середина AB, то BE = (1/2) AB.
В подобных треугольниках отношение соответственных сторон равно:
l / h = BE / AB = (1/2) AB / AB = 1/2.

Вычисление

l / 3,6 = 1/2
l = 3,6 * (1/2)
l = 1,8

Ответ: 1,8 м

2 способ. Формула средней линии

Средняя линия = половина параллельной стороны.
DE = 1/2 * AC

l = 1/2 h
l = 1/2 3,6

l = 1,8

Ответ: 1,8 м

Задача 1

Требуется приготовить 100 г 10%-го раствора нашатырного спирта. Сколько для этого потребуется воды и 25%-го раствора нашатырного спирта?

Шаг 1. Обозначим переменные

Пусть нужно взять x г 25%-го раствора нашатырного спирта.

Тогда воды потребуется 100−x г (чистая вода, 0% нашатыря).

Шаг 2. Баланс нашатырного спирта

В 25%-м растворе масса чистого нашатыря: 0.25x

В воде нашатыря нет.

В итоговом 10%-м растворе массой 100 г чистого нашатыря: 0.10×100=10 г

Уравнение баланса:

0.25x=10

Шаг 3. Решаем

x=10/0.25=40 г

Воды:

100−40=60 г

Ответ: 40​ г 25%-го раствора и 60​ г воды.

Дополнительно:

Расстояние между городами А и В равно 420 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 1 час следом за ним со скоростью 80 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он вернулся в А, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от А до С. Ответ дайте в километрах.

Шаг 1. Обозначения

• AB=420 км.

• Автомобиль выехал из A в B (обозначим его скорость va​ км/ч).

• Мотоциклист выехал из A в B через 1 час после автомобиля, скорость vm=80 км/ч.

• Мотоциклист догнал автомобиль в городе C (находится между A и B, расстояние AC=x км).

• В момент встречи в C мотоциклист разворачивается  и едет обратно в A.

• Когда мотоциклист вернулся в A, автомобиль в этот момент  прибыл в B.

Время движения отсчитываем от момента старта автомобиля.

Шаг 2. Определим время до встречи в C

Пусть t1​ — время от старта автомобиля до встречи в C.

Автомобиль: проехал x км за t1​ часов: x=va⋅t1.(1)

Мотоциклист выехал на 1 час позже, поэтому его время в пути до встречи = t1−1 часов. Он проехал те же x км со скоростью 80 км/ч: x=80⋅(t1−1).(2)

Из (1) и (2): va⋅t1=80(t1−1).(3)

Шаг 3. Движение после встречи в C

После встречи:

• Мотоциклист разворачивается и едет обратно из C в A (расстояние x) со скоростью 80 км/ч. Время на обратную дорогу = t2=x/80​ часов.

• Автомобиль продолжает путь из C в  B (расстояние 420−x) со скоростью va​. Время на этот отрезок = t3=(420−x)/v​.

Условие задачи: когда мотоциклист вернулся в A, автомобиль прибыл в B. То есть время движения после встречи у них одинаковое: t2=t3

x/80=(420−x)/va.(4)

Шаг 7. Ответ

Расстояние от A до C равно 240 км.

Именные теоремы — это теоремы, названные в честь математиков (или реже — других ученых), которые их открыли, доказали или в честь которых они были названы. Это своеобразный способ увековечить вклад ученого в науку.

АЛГЕБРА и ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Древний мир и Средневековье

Эпоха Возрождения и Новое время

ГЕОМЕТРИЯ

Классическая геометрия (Древняя Греция)

Геометрия Нового времени (16-19 века)

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Основатели анализа

Строгое обоснование анализа (18-19 века)

Дополнительно

Треугольник со сторонами 5, 6, 7 — остроугольный.

Это утверждение — верное ✅.

Доказать, что треугольник со сторонами 5, 6, 7 — остроугольный, можно несколькими способами.

1. Правило (следствие теоремы Пифагора):

2. Проверка через косинус наибольшего угла

Определите вид треугольников:

• 5, 12, 13

• 6, 7, 9

• 8, 15, 17

• 4, 5, 7

Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует. Это утверждение — верное.

Неравенство треугольника:

Для любого треугольника сумма любых двух сторон должна быть больше третьей стороны.

В любом треугольнике самая длинная сторона должна быть меньше суммы двух других.

Здесь самая длинная сторона = 4.
Сумма двух других = 1+2=3
4<3? Нет. Значит, треугольника нет.

Полная проверка

Существует треугольник или нет:

• 3, 4, 5

• 2, 3, 6

• 5, 7, 12

• 2, 2, 3

Дополнительно:

Неравенство треугольника

Автор: Александра Пуляевская

Окружности с радиусами 5 и 7, расстояние между центрами 3 → нет общих точек. Это утверждение — неверное.

Некоторые думают:
«Если расстояние между центрами меньше меньшего радиуса, то одна окружность целиком внутри другой и общих точек нет».
Правильное рассуждение:

1. d<r → центр малой внутри большой

2. Но d>R−r → малая не целиком внутри большой, а частично выходит наружу → пересечение.

Условия взаимного расположения двух окружностей

Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 1, то эти окружности не пересекаются. Это утверждение — верное.

Для тренировки:

• R=8,r=3,d=4

• R=6,r=2,d=8

• R=10,r=4,d=6

Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра до прямой равно 2, то прямая и окружность пересекаются. Это утверждение — верное

Условия взаимного расположения прямой и окружности

Применяем к нашему случаю

R=3,d=2

2<3⇒d<R

Значит, прямая пересекает окружность в двух точках.

Для тренировки:

• R=4,d=5

• R=2.5,d=2.5

• R=6,d=4

Способ 1

Нужно найти угол ∠EFG, то есть угол с вершиной в точке F, между сторонами FE и FG.

Значит, каждый внутренний угол восьмиугольника равен 135∘. Угол EFG — это внутренний угол при вершине F (потому что FE и FG — стороны восьмиугольника).Поэтому ∠EFG=135∘.

Способ 2

Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Центральный угол между соседними вершинами: 360:8=45.

Угол EFG опирается на большую дугу EG и является вписанным, поэтому равен половине угла EOG : 6*45:2=135.

Задача 2

Способ 1

I признак четырехугольника, вписанного в окружность:

Четыре точки лежат на одной окружности, если два противоположных угла в сумме дают 180∘ .

Тогда угол HEJ равен 180-144=36.

Способ 2

Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность. Центральный угол между соседними вершинами: 360:10=36.

Угол HEJ опирается на ту же дугу что и центральный угол HOJ (36*2) и является вписанным, поэтому равен половине угла HOJ : 36*2:2=36.

Задача 3

Ответ: 147

Пример 1

В угол C величиной 83° вписана окружность: как найти угол AOB

Решение

Можно заметить, что углы ∠C и ∠AOB в данном четырехугольнике являются противоположными, причем два других угла прямые. Следовательно, их сумма равна 180: ∠AOB=180−83=97.

Пример 2

Ответ: 180-72=108, (180-108):2=36

Пример 3

Ответ: 90-66=24

Пример 4

Ответ: 90-57=33

Пример 5

Ответ: 15

Пример 6

Ответ: 18

Так как угол между двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то ACB=(AB-DE):2 . DE=102-33*2=36 . Тогда DAE, как вписанный и опирающийся на дугу , равен ее половине, то есть 36:2=18 .

Пример 7

Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен 32. Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах.

Так как угол между хордой и касательной, проведенными из одной точки окружности, равен половине дуги, заключенной между ними, то меньшая дуга AB равна 32*2=64.
.

Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

Задачи

1. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ОГЭ математике
2. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по базовой математике
3. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по профильной математике

Окружность. Основные теоремы

Треугольники ВОС и AOD равнобедренные. Тогда угол АСВ=(180-44):2=136:2=68

Ответ: 148

Ответ: 56

Ответ: 32

Дополнительно

Через точку 𝐴, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке 𝐾. Другая прямая пересекает окружность в точках 𝐵 и 𝐶, причём 𝐴𝐵 = 2, 𝐵𝐶 = 6. Найдите 𝐴𝐾.

Запомни:

Дополнительно

1. okruzhnost.pdf

2. matem-teoriya-okruzhnost-krug.pdf

Тренажёр: тригонометрия (приведение, двойной угол, период)

🎯 Алгоритм действий ученика:

1️⃣ Упростить угол: вычесть 360°·k или 2π·k, использовать чётность (cos(-x)=cos x, sin(-x)=-sin x, tg(-x)=-tg x).

2️⃣ Применить формулы приведения (если угол (90°±α), (180°±α)…). Определить знак по четверти.

3️⃣ Свёртка: двойной угол, сумма квадратов = 1, взаимная замена sin⇔cos при сумме 90°.

4️⃣ Если дано sinα, cosα и четверть — восстановить знак.

5️⃣ Подставить табличные значения (π/6, π/4, π/3 и т.д.) либо вычислить численно.

Изучайте математические формулы с помощью интерактивных карточек. Выберите тему и количество карточек.

Как отвечать:

1. Смотрите на лицевую сторону — читаете вопрос (например, "Площадь треугольника")

2. Вспоминаете формулу

3. Кликаете на карточку — она переворачивается и показывает правильный ответ

Дополнительные удобства:

• В шпаргалке снизу тоже есть названия формул

• Можно кликнуть на формулу в шпаргалке — она найдёт и покажет соответствующую карточку

• Поиск работает по названиям (пишите "пифагора" или "объём")