Способ 1

Нужно найти угол ∠EFG, то есть угол с вершиной в точке F, между сторонами FE и FG.

Значит, каждый внутренний угол восьмиугольника равен 135∘. Угол EFG — это внутренний угол при вершине F (потому что FE и FG — стороны восьмиугольника).Поэтому ∠EFG=135∘.

Способ 2

Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Центральный угол между соседними вершинами: 360:8=45.

Угол EFG опирается на большую дугу EG и является вписанным, поэтому равен половине угла EOG : 6*45:2=135.

Задача 2

Способ 1

I признак четырехугольника, вписанного в окружность:

Четыре точки лежат на одной окружности, если два противоположных угла в сумме дают 180∘ .

Тогда угол HEJ равен 180-144=36.

Способ 2

Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность. Центральный угол между соседними вершинами: 360:10=36.

Угол HEJ опирается на ту же дугу что и центральный угол HOJ (36*2) и является вписанным, поэтому равен половине угла HOJ : 36*2:2=36.

Задача 3

Ответ: 147

Пример 1

В угол C величиной 83° вписана окружность: как найти угол AOB

Решение

Можно заметить, что углы ∠C и ∠AOB в данном четырехугольнике являются противоположными, причем два других угла прямые. Следовательно, их сумма равна 180: ∠AOB=180−83=97.

Пример 2

Ответ: 180-72=108, (180-108):2=36

Пример 3

Ответ: 90-66=24

Пример 4

Ответ: 90-57=33

Пример 5

Ответ: 15

Пример 6

Ответ: 18

Так как угол между двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то ACB=(AB-DE):2 . DE=102-33*2=36 . Тогда DAE, как вписанный и опирающийся на дугу , равен ее половине, то есть 36:2=18 .

Пример 7

Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен 32. Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах.

Так как угол между хордой и касательной, проведенными из одной точки окружности, равен половине дуги, заключенной между ними, то меньшая дуга AB равна 32*2=64.
.

Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

Задачи

1. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ОГЭ математике
2. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по базовой математике
3. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по профильной математике

Окружность. Основные теоремы

Треугольники ВОС и AOD равнобедренные. Тогда угол АСВ=(180-44):2=136:2=68

Ответ: 148

Ответ: 56

Ответ: 32

Дополнительно

Через точку 𝐴, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке 𝐾. Другая прямая пересекает окружность в точках 𝐵 и 𝐶, причём 𝐴𝐵 = 2, 𝐵𝐶 = 6. Найдите 𝐴𝐾.

Запомни:

Дополнительно

1. okruzhnost.pdf

2. matem-teoriya-okruzhnost-krug.pdf

Тренажёр: тригонометрия (приведение, двойной угол, период)

🎯 Алгоритм действий ученика:

1️⃣ Упростить угол: вычесть 360°·k или 2π·k, использовать чётность (cos(-x)=cos x, sin(-x)=-sin x, tg(-x)=-tg x).

2️⃣ Применить формулы приведения (если угол (90°±α), (180°±α)…). Определить знак по четверти.

3️⃣ Свёртка: двойной угол, сумма квадратов = 1, взаимная замена sin⇔cos при сумме 90°.

4️⃣ Если дано sinα, cosα и четверть — восстановить знак.

5️⃣ Подставить табличные значения (π/6, π/4, π/3 и т.д.) либо вычислить численно.

Изучайте математические формулы с помощью интерактивных карточек. Выберите тему и количество карточек.

Как отвечать:

1. Смотрите на лицевую сторону — читаете вопрос (например, "Площадь треугольника")

2. Вспоминаете формулу

3. Кликаете на карточку — она переворачивается и показывает правильный ответ

Дополнительные удобства:

• В шпаргалке снизу тоже есть названия формул

• Можно кликнуть на формулу в шпаргалке — она найдёт и покажет соответствующую карточку

• Поиск работает по названиям (пишите "пифагора" или "объём")

Тригонометрия — это не страшно. Мы подготовили интерактивный тренажер.

✅ Что умеет:

• показывать синус и косинус как проекции на оси;

• вычислять значение любой функции при любом угле;

✅ Почему лучше учебника:

• двигайте ползунок — точка движется, числа меняются;

• таблица точных значений всегда под рукой;

• работает на телефоне без установки.

🎯 Кому: школьникам, студентам, репетиторам, любителям математики.

Дополнительно

Источник: https://domath.ru/publish/tr_circle.pdf

Галеев Э.М., Галеева А.Э. Подготовка к вступительным экзаменам по математике в МГУ и ЕГЭ (типы задач и методы их решений). ссылка

Дополнительно

Галеев Э.М., Галеева А.Э. Подготовка к вступительным экзаменам по математике в МГУ и ЕГЭ (типы задач и методы их решений). Тригонометрия. ссылка

Обычно положение точки на единичной окружности задается углом α, который образует радиус-вектор точки с положительным направлением оси Ox (оси абсцисс).

• Углы измеряются в радианах или градусах.

• Положительное направление — против часовой стрелки .

Точке, полученной поворотом на угол α, ставят в соответствие это число α.

Однако, поскольку окружность замкнута, одной и той же точке соответствует бесконечное множество чисел (углов), отличающихся друг от друга на полный оборот (2π радиан или 360).

Диаметрально противоположные точки — это две точки на окружности, которые соединены отрезком, проходящим через центр окружности (то есть лежат на одном диаметре). Расстояние между ними по дуге составляет ровно половину окружности.

Если одна точка задана углом α, то диаметрально противоположная ей точка будет задаваться углом α+π (или α+180), так как π радиан — это половина окружности.

На единичной окружности даны две точки. Известно, что их абсциссы (координаты x) равны. Нужно найти общую формулу для записи всех действительных чисел (углов), которые соответствуют этим двум точкам.

На единичной окружности координаты точки задаются уравнениями: x=cos⁡ t, y=sin ⁡t. Если у двух точек одинаковые абсциссы, значит: cos⁡ t1=cos ⁡t2

Геометрически это означает, что точки расположены симметрично относительно горизонтальной оси (оси Ox). Если одна точка находится в верхней полуплоскости (ордината положительна), то вторая — в нижней полуплоскости (ордината отрицательна), и наоборот.

Исключение: точки на самом верху или внизу окружности (углы π2​ и 3π/2​) — там абсциссы равны 0, но это частный случай, который тоже подчиняется общей формуле.

Возьмём произвольный угол α, задающий точку Pα​ в верхней полуплоскости:

Точка Pt — это исходная точка. Ей соответствует угол α.

Точка P−t​ — это точка, симметричная исходной относительно оси Ox. Ей соответствует угол −α (или 2π−α, если брать положительное направление).

Почему именно −α?
Потому что косинус — чётная функция: cos⁡(−α)=cos⁡α. Синус — нечётная функция: sin⁡(−α)=−sin⁡α. Таким образом, абсциссы совпадают, а ординаты противоположны.

Уравнения вида:

sin(-kx) = a, cos(-mx) = b, tg(-nx) = c

или

sin(-x + b) = a, cos(-x - π/3) = c

Ключевой принцип: используем чётность/нечётность тригонометрических функций.

Свойства чётности

Запомним:

• sin(-t) = -sin t → нечётная

• cos(-t) = cos t → чётная

• tg(-t) = -tg t → нечётная

• ctg(-t) = -ctg t → нечётная

Простейшие случаи

Пример 1: sin(-x) = 1/2

Пример 2: cos(-x) = 1/2

Важно: Минус просто исчез!

Пример 3: sin(-3x + π/4) = √2/2

Это обратные тригонометрические функции.

1. Основная идея: они "возвращают" угол

Если обычные функции по углу дают число:

• sin(30°) = 0.5

• cos(60°) = 0.5

То обратные функции по числу возвращают угол:

• arcsin(0.5) = 30°  (или π/6 радиан)

• arccos(0.5) = 60°  (или π/3 радиан)

2. Что означает приставка "arc"?

"Arc" — это дуга. На тригонометрическом круге:

• arcsin a — это длина дуги  (в радианах) или угол, синус которого равен a

• arccos a  — угол, косинус которого равен a

• arctg a — угол, тангенс которого равен a

Без обратных функций мы не смогли бы записать решение уравнений!

Пример: sin x = 0.7
 x = arcsin(0.7) + 2πn или x = π - arcsin(0.7) + 2πn

Главное запомнить:

• arcsin: от -90° до 90° [-π/2, π/2]

• arccos: от 0° до 180° [0, π]

• arctg: от -90° до 90° (-π/2, π/2)

Общий алгоритм:

1. Сделать замену: t = (выражение с x)
2. Решить простое уравнение: sin t = a или cos t = a
3. Вернуться к старой переменной: (выражение с x) = t
4. Решить полученное уравнение относительно x

Пример 1: sin 2x = √3/2

Шаг 1: Замена

Предположим, что t = 2x
Тогда уравнение становится: sin t = √3/2

Знаем, что sin(π/3) = √3/2 и sin(2π/3) = √3/2
Общее решение:

t = π/3 + 2πn, n ∈ ℤ
t = 2π/3 + 2πn, n ∈ ℤ

Шаг 2: Решаем

2x = π/3 + 2πn или 2x = 2π/3 + 2πn

x = π/6 + πn, n ∈ ℤ
x = π/3 + πn, n ∈ ℤ

Ответ:
x = π/6 + πn или x = π/3 + πn, n ∈ ℤ

Пример 2: tg(3x - π/6) = 1

1. 3x - π/6 = π/4 + πn

2. 3x = π/4 + π/6 + πn = 3π/12 + 2π/12 + πn = 5π/12 + πn

3. x = 5π/36 + πn/3, n ∈ ℤ

Тренажер позволяет в реальном времени наблюдать за трансформациями базовых типов функций.

Цель тренажера понять, как влияют на график:

• Коэффициент a  — растяжение/сжатие и отражение

• Сдвиг начала координат (x0​;y0​)  — параллельный перенос графика

Основное поле — холст с графиком

• Серая сетка  — система координат

• Черные оси  — исходные оси координат

• Пунктирная линия  — базовая функция

• Цветная сплошная линия  — текущая функция после всех преобразований

• Красная точка  — новое начало координат (вершина для параболы, центр для гиперболы)

Как пользоваться

1. Изучение коэффициента a

• Передвигай ползунок — наблюдай, как меняется наклон или форма графика

• Попробуй отрицательные значения — график отразится

2. Изучение сдвигов

• Перетащи красную точку  — график сместится вместе с осями

• Следи за формулой — она обновляется в реальном времени

• Для гиперболы видны асимптоты (пунктирные линии)

3. Комбинирование эффектов

• Сначала выбери коэффициент a, затем сдвинь начало координат

• Наблюдай, как меняется формула