Интерактивный тренажёр для изучения вычисления площади криволинейной трапеции с помощью первообразной (формула Ньютона-Лейбница). Позволяет настраивать параметры квадратичной функции и границы интегрирования, визуализируя площадь фигуры.

🔍 Пошаговая работа с тренажёром

Шаг 1. Настройте функцию

1. Изменяйте параметры a, b, c с помощью ползунков

2. Наблюдайте, как меняется график

3. Следите за корнями – они появятся оранжевыми точками

Совет: Попробуйте разные комбинации:

• a > 0 – парабола ветвями вверх

• a < 0 – парабола ветвями вниз

• c – поднимает/опускает график

Шаг 2. Установите границы интегрирования

1. Перемещайте ползунки a и b в панели границ

2. Красные линии покажут выбранные пределы

3. Можно установить a > b – программа сама их упорядочит

Эксперименты:

• Возьмите границы, включающие корни – увидите разбиение площади

• Возьмите границы вне графика – площадь может быть нулевой

Шаг 3. Изучайте площадь

• Зелёная заливка показывает искомую площадь

• В правой панели отображается численное значение

• Попробуйте перемещать границы и следить за изменением площади

Шаг 4. Изучайте теорию

• Переключайтесь между вкладками для понимания математики

• Вкладка "Примеры" показывает классические случаи

• Текущий пример обновляется автоматически под ваши настройки

⚠️ Важные замечания

1. Площадь всегда положительна  – используется модуль интеграла

2. Корни автоматически учитываются  – программа разбивает интервал на части

3. Границы можно менять местами  – площадь считается от меньшего к большему

4. Если график уходит за экран  – площадь считается только в видимой области

5. Первообразная отображается в теории  – для проверки вычислений

Интерактивный тренажер, показывающий взаимосвязь квадратичной функции и её производной. Изменяйте параметры параболы и наблюдайте, как меняется график производной.

Степенная функция y=xa — одна из фундаментальных математических функций, изучаемая на протяжении веков. Её исследование тесно связано с развитием алгебры, анализа и прикладных наук.

Механический (или кинематический) смысл производной заключается в следующем:

Производная от пути по времени равна мгновенной скорости материальной точки в данный момент времени.

Дополнительно

Справочники. Типовые задания

1. geometricheskij-i-fizicheskij-smysl-primery.pdf
2. proizvodnye-i-funkczii.pdf
3. zadanie-8-pro.pdf
4. proizvodnye.pdf
5. zadacha-8-proizvodnaya-i-pervoobraznaya.pdf
6. zadacha-12-proizvodnye.pdf
7. 1474520089_1892-ege-2016.-matematika.-proizv.-i-pervoobr.-issl.-funkciy.-rab.-tetrad_2016-112s.pdf

Конструктор функций

1️⃣ Мгновенное построение графиков

Введите параметры функции вида y = a·f(bx + c) + d и сразу увидите результат. Никакой задержки — график строится мгновенно!

2️⃣ Все основные функции

Работайте с четырьмя базовыми тригонометрическими функциями:

• sin x

• cos x

• tan x  — тангенс

• cot x  — котангенс

3️⃣ Визуализация каждого параметра

4️⃣ Поддержка нескольких графиков

Стройте несколько графиков одновременно — идеально для сравнения! Каждый график имеет свой уникальный цвет, а список всех построенных функций отображается под холстом.

5️⃣ Управление графиками

• ➕ Добавить график  — сохраняет текущие параметры как новый график

• 🗑️ Удалить последний  — убирает последний построенный график

• ❌  Удалить все  — очищает холст

• Индивидуальное удаление — кнопка "Удалить" рядом с каждым графиком в списке

6️⃣ Умный масштаб

График автоматически подбирает масштаб по оси Y, чтобы все построенные функции были видны полностью. Для tan и cot отображаются асимптоты пунктирными линиями.

📚 Как использовать в обучении

1. Изучите влияние параметра a: Попробуйте значения a = 2, a = 0.5, a = -1 и посмотрите, как меняется амплитуда

2. Экспериментируйте с частотой b: Сравните b = 1 и b = 2 — график становится "чаще" или "реже"

3. Играйте со сдвигами c и d: Посмотрите, как функция перемещается по осям

4. Сравнивайте функции: Постройте sin x и cos x одновременно — увидьте разницу

Тренажер поддерживает любые числовые значения параметров, включая отрицательные и дробные. Экспериментируйте:

• Отрицательная амплитуда  (a = -2) — график отражается по вертикали

• Дробная частота  (b = 0.5) — период увеличивается

• Комбинированные сдвиги  — например, y = 2·sin(3x - 1) + 2

Дополнительно

Справочники. Типовые задания

1. geometricheskij-i-fizicheskij-smysl-primery.pdf
2. proizvodnye-i-funkczii.pdf
3. zadanie-8-pro.pdf
4. proizvodnye.pdf
5. zadacha-8-proizvodnaya-i-pervoobraznaya.pdf
6. zadacha-12-proizvodnye.pdf
7. 1474520089_1892-ege-2016.-matematika.-proizv.-i-pervoobr.-issl.-funkciy.-rab.-tetrad_2016-112s.pdf

Дополнительно

Справочники. Типовые задания

1. geometricheskij-i-fizicheskij-smysl-primery.pdf
2. proizvodnye-i-funkczii.pdf
3. zadanie-8-pro.pdf
4. proizvodnye.pdf
5. zadacha-8-proizvodnaya-i-pervoobraznaya.pdf
6. zadacha-12-proizvodnye.pdf
7. 1474520089_1892-ege-2016.-matematika.-proizv.-i-pervoobr.-issl.-funkciy.-rab.-tetrad_2016-112s.pdf

Ответ

Функция f(x) принимает наименьшее значение при x=−1

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого один угол прямой.

Таким образом, прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма:

 ∼ противоположные стороны попарно равны;

∼ диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Теоремы: свойства прямоугольника

1) Все углы прямоугольника прямые.

 2) Диагонали прямоугольника равны

Следствие

Таким образом, половинки диагоналей в прямоугольнике равны, т.е. OA=OB=OC=OD.

 Теоремы: признаки прямоугольника

1) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

 2) Если в выпуклом четырехугольнике все углы прямые, то он – прямоугольник.

Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

Задачи

1. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ОГЭ математике
2. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по базовой математике
3. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по профильной математике

Задачи

1. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ОГЭ математике
2. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по базовой математике
3. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по профильной математике

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Ответ: 4

Ответ:8

Ответ:3,2

Ответ:196

Ответ: 3

Ответ:8

Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

Задачи

1. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ОГЭ математике
2. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по базовой математике
3. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по профильной математике

Если биссектрисы углов А и C треугольника ABC пересекаются в точке О, то ∠АОC = 90◦ + ∠В/2.

или 90+74/2=90+37=127

Дополнительно

Теорема о сумме углов треугольника и её следствия: основные свойства и формулы

Теорема о сумме углов треугольника Формулировка: сумма внутренних углов треугольника равна 180°. Следствия и связанные свойства Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. В прямоугольном треугольнике…

Автор: Александра Пуляевская

Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей.

Прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярно ее радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной.

Дополнительно

1. https://internat.msu.ru/media/uploads/2013/11/Материалы-очных-сборов.-Биссектриса.pdf

2. https://znanierussia.ru/articles/Биссектриса

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

 Таким образом, ромб обладает всеми свойствами параллелограмма:

 ∼ противоположные углы ромба попарно равны;

∼ соседние углы ромба в сумме дают 180∘;

∼ диагонали точкой пересечения делятся пополам.

 Теорема: свойство ромба

Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам.

  Теорема: признаки ромба

1. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то это – ромб.

 2. Если в параллелограмме диагонали делят его углы пополам, то это – ромб.

 3. Если в выпуклом четырехугольнике все стороны равны, то он – ромб.

Задача 1

Решение

ОС=12:2=6

BO/OC=4/3

DO=4*6/3=8

BC=10

r=12*16/4*10=4,8

Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

Дополнительно

1. Фигуры на квадратной решётке
2. Многоугольники: вычисление площадей
3. Система заданий по теме «Площадь фигур»
4. Е. А. Ширяева Задачник ОГЭ 2025 (примеры решений). 18. Фигуры на квадратной решётке

Задачи

1. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ОГЭ математике
2. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по базовой математике
3. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по профильной математике