Пример: sin²x + a cos x = 0

Алгоритм:

1. Сведи к одной функции:
   1 – cos²x + a cos x = 0 → cos²x – a cos x – 1 = 0

2. Сделай замену t = cos x:
   t² – a t – 1 = 0

3. Найди корни:
   t = [a ± √(a² + 4)] / 2

4. Определи, при каких a хотя бы один корень ∈ [–1; 1]:

   • Заметь: √(a² + 4) > |a|, поэтому:

     • t₁ = [a + √(a² + 4)] / 2 > 0

     • t₂ = [a – √(a² + 4)] / 2 < 0

   • Проверим t₁ ≤ 1:
     [a + √(a² + 4)] / 2 ≤ 1 → √(a² + 4) ≤ 2 – a
     → Возведём в квадрат (при a ≤ 2):
     a² + 4 ≤ 4 – 4a + a² → 4 ≤ 4 – 4a → a ≤ 0

   • Проверим t₂ ≥ –1:
     [a – √(a² + 4)] / 2 ≥ –1 → a + 2 ≥ √(a² + 4)
     → При a ≥ –2: a² + 4a + 4 ≥ a² + 4 → 4a ≥ 0 → a ≥ 0

5. Объедини условия:

   • При a ≤ 0 → t₁ ≤ 1 → есть решение

   • При a ≥ 0 → t₂ ≥ –1 → есть решение → При всех a ∈ ℝ уравнение имеет решения!

✅ Ответ: Уравнение имеет решения при любом действительном a.

💡 Проверка:
При a = 0: sin²x = 0 → x = πn — решения есть.
При a = 100: t₂ ≈ [100 – 100.02]/2 ≈ –0.01 ∈ [–1; 1] — решение есть.

Общий алгоритм

1. Определите интервалы постоянства знаков функций внутри модулей (четверти для sin/cos).

2. Раскройте модули в каждом интервале, решите уравнение.

3. Проверьте, чтобы корни принадлежали соответствующему интервалу.

4. Объедините допустимые решения с учётом периода 2πn.

Пример: |sin x| + |cos x| = 1

Алгоритм:

1. Разбей окружность на четверти, где знаки sin и cos постоянны:

   • I: [0; π/2] → sin ≥ 0, cos ≥ 0

   • II: [π/2; π] → sin ≥ 0, cos ≤ 0

   • III: [π; 3π/2] → sin ≤ 0, cos ≤ 0

   • IV: [3π/2; 2π] → sin ≤ 0, cos ≥ 0

2. Раскрой модуль в каждой четверти:

   • I: sin x + cos x = 1

   • II: sin x – cos x = 1

   • III: –sin x – cos x = 1 → sin x + cos x = –1

   • IV: –sin x + cos x = 1

3. Реши каждое уравнение и проверь, попадает ли корень в свой интервал:

   • I: sin x + cos x = 1 → возведём в квадрат:

     1 + 2 sin x cos x = 1 → sin 2x = 0 → x = 0, π/2 (оба в I четверти)

   • II: sin x – cos x = 1 → аналогично → x = π/2, π → только x = π/2 уже учтено, x = π :

     |0| + |–1| = 1 — верно!

   • III: sin x + cos x = –1 → x = π, 3π/2 → x = 3π/2 :

     |–1| + |0| = 1 — верно!

   • IV: –sin x + cos x = 1 → x = 0, 3π/2 — уже учтены

4. Объедини все решения и учти период 2π.

✅ Ответ: x = πn/2, n ∈ ℤ
(то есть x = 0, π/2, π, 3π/2, 2π...)

💡 Геометрический смысл: сумма модулей равна 1 только в точках осей координат на единичной окружности.

Дополнительно

Метод AC (или AC method как lazy ac method, метод разложения методом подбора p и q, метод факторинга)— эффективная альтернатива стандартному решению через дискриминант, особенно когда корни являются целыми или простыми дробями. Он основан на разложении свободного члена c и коэффициента a на множители.

Метод факторизации - это процесс преобразования квадратного уравнения в произведение двух линейных уравнений вида (px + q) (rx + s) = 0. Затем мы можем определить значения x, которые удовлетворяют уравнению.

В математике факториза́ция или фа́кторинг — это декомпозиция объекта (например, числа, полинома или матрицы) в произведение других объектов или факторов, которые, будучи перемноженными, дают исходный объект. Например, число 15 факторизуется на простые числа 3 и 5, а полином x2 − 4 факторизуется на (x − 2)(x + 2). В результате факторизации во всех случаях получается произведение более простых объектов, чем исходный.

Дополнительно

1. matematika_-poluchit-maks_-ball-egje_semenov-a_v_-i-dr_2015-128s.pdf

2. ЕГЭ. Показательные и логарифмические уравнения: https://doroga-v-shkolu.ru/images/dokumenty/200/063.pdf

3. ЕГЭ. Показательные и логарифмические неравенства: https://doroga-v-shkolu.ru/images/dokumenty/200/060.pdf

4. Бабичева Т.А. Учебное пособие «Решение показательных уравнений и неравенств» (для самостоятельной работы студентов) – Махачкала: ДГУНХ, 2019. - 29 с.: https://dgunh.ru/content/glavnay/ucheb_deyatel/uposob/up-matem-15.pdf

5. Гейдман Б.П. Логарифмические и показательные уравнения и неравенства. Учебное пособие для учащихся ОЛ ВЗМШ при МГУ им. Ломоносова. — М.: МЦНМО, 2003. — 48 с.

6. Масанина Т.Н. Иррациональные уравнения. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Учебное пособие. Сургутский политехнический колледж, 2023: https://s3.yandexcloud.net/pedproject/01/wp-content/uploads/2023/12/МасанинаТ.Н.-Османкина-С.И.-Сборник.pdf

7. Паркевич Егор Вадимович. Показательные, логарифмические уравнения и неравенства, метод потенциирования и логарифмирования в решении задач.

8. Рисберг В. Г. Решение показательных и логарифмических уравнений, неравенств и систем уравнений повышенного и высокого уровня сложности (часть 1): Учебное пособие под общей ред. И. Ю. Черниковой / ФГБОУ ВПО ПНИПУ/ В. Г. Рисберг; Издательство «Пушка» – Пермь: 2015. – 56 с.: http://genius.pstu.ru/joomla/files/methodological/tutorial_8.pdf

9. Рисберг В. Г., Черникова И. Ю. Решение показательных и логарифмических уравнений, неравенств и систем уравнений повышенного и высокого уровня сложности (часть 2): Учебное пособие / ФГБОУ ВПО ПНИПУ/ В. Г. Рисберг, И. Ю. Черникова. – Пермь: Издательство «Пушка», 2015. – 64 с.: http://genius.pstu.ru/joomla/files/methodological/tutorial_9.pdf

10. Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н. Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства: учебное пособие. — М.: Илекса; Народное образование; Ставрополь: Сервисшкола, 2008. — 352 с.

11. Семенов Андрей Викторович, Юрченко Евгений Владимирович. Материалы курса «Система подготовки к ЕГЭ по математике» : лекции 5–8. – М. : Педагогический университет «Первое сентября», 2009. – 80 с.: https://dist-tutor.info/file.php/216/Povyshenie_kvalifikacii/02.pdf

12. Элементарная математика. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства: учебное пособие / А. В. Фирер, Е. Н. Яковлева. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2025. – 112 с.:https://lpi.sfu-kras.ru/files/a._v._firer_em_pokaz_logarifm_uravn_neravenstva_firer_yakovleva.pdf

13. И. В. Яковлев. Показательные неравенства (задания): ttps://mathus.ru/math/pokazaner.pdf

Метод интервалов используется при решении неравенств довольно общего вида: f(x) > g(x) (знак у неравенства может быть другим: >, <).

Единственным ограничением на функции f и g является требование их непрерывности.

Пример 1

Примеры 2-3

Примеры 4-5

Примеры 6-7

Пример 8

Метод интервалов (универсальный)

Алгоритм:

1. Шаг 1. Найти нули подмодульных выражений.
   Для каждого выражения, стоящего под знаком модуля, решаем уравнение выражение = 0. Полученные числа называются критическими точками.

   Шаг 2. Отметить критические точки на числовой оси.
   Они разбивают всю числовую прямую на несколько промежутков.

   Шаг 3. Определить знаки подмодульных выражений на каждом промежутке.
   Берем пробную точку из каждого промежутка и подставляем в каждое подмодульное выражение, чтобы узнать его знак (плюс или минус).

   Шаг 4. Раскрыть модули на каждом промежутке в соответствии со знаками.
   Если выражение положительно на промежутке, модуль убираем без изменений; если отрицательно — убираем с заменой знака всего выражения (т.е. умножаем его на -1).

   Шаг 5. Решить полученное уравнение (уже без модулей) на каждом промежутке.
   Полученный корень должен принадлежать тому промежутку, для которого мы решали уравнение. Если корень не попадает в промежуток — он отбрасывается.

   Шаг 6. Объединить все подходящие корни.

Пример 3

Пример 4

Пример 5

Дополнительно

1. ЕГЭ. Уравнения и неравенства, содержащие модули: https://doroga-v-shkolu.ru/images/dokumenty/200/061.pdf

2. Галеев Э.М.Подготовка к вступительным экзаменам по математике в МГУ и ЕГЭ (типы задач и методы их решений). Часть 1. Рациональные неравенства (метод интервалов). Уравнения высших степеней. Уравнения и неравенства с модулем. Изд. 10-е, дополненное. Издательство “Попечительский совет механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова”. 2012. - 64 c.: https://autobuy.clan.su/0Yagubov/larin/10041Z_Yagubov.RU.pdf

3. Рисберг В. Г. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ МОДУЛЬ (ЧАСТЬ I): Учебное пособие под общей ред. И.Ю. Черниковой; ФГБОУ ВПО ПНИПУ/ В.Г. Рисберг; – Пермь: Издательство «Пушка», 2015. – 56 с.: http://genius.pstu.ru/joomla/files/methodological/tutorial_4.pdf
   Рисберг В. Г., Черникова И. Ю. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ГРАФИКОВ
   ФУНКЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИХ МОДУЛЬ (ЧАСТЬ II): Учебное пособие / ФГБОУ ВПО ПНИПУ/ В. Г. Рисберг, И. Ю. Черникова; Издательство «Пушка» – Пермь: 2015. – 66 с.: http://genius.pstu.ru/joomla/files/methodological/tutorial_5.pdf

4. Самаров К.Л. Уравнения и неравенства с модулями: https://www.resolventa.ru/data/metodsch/absvalue.pdf

5. Шахмейстер А. Х. - Уравнения - 2011.pdf

6. Элементарная математика. Уравнения и неравенства с модулем: учеб. пособие / А.В. Фирер, Е.Н. Яковлева, А.П. Елисова, Т.В. Захарова; отв. ред. Н.К. Игнатьева. – Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2020.– 113 с.: https://lpi.sfu-kras.ru/files/page_files/posobi_uravneniya_i_neravenstva_s_modulem.pdf

7. И. В. Яковлев. Уравнения с модулем: https://mathus.ru/math/modulur.pdf

8. И. В. Яковлев. Уравнения и неравенства с модулем: https://ege-study.ru/wp-content/uploads/pdf-materials/modul.pdf

Подробнее

Общий алгоритм

Часто при решении алгебраических задач бывает удобно заменить переменную (или переменные, если их несколько) тригонометрической функцией и свести тем самым алгебраическую задачу к тригонометрической.

Алгоритм решения

1. Найти ОДЗ уравнения.

2. Выбрать подстановку исходя из вида иррациональности и ОДЗ.

3. Подставить тригонометрическую функцию вместо переменной.

4. Упростить уравнение, используя тригонометрические тождества.

5. Решить полученное тригонометрическое уравнение.

6. Отобрать корни в пределах выбранного промежутка для угла.

7. Вернуться к исходной переменной.

8. Проверить корни (если были неравносильные преобразования).

Важные замечания

• Всегда учитывайте область значений тригонометрических функций.

• Следите за промежутком для угла — он должен обеспечивать однозначность замены.

• При раскрытии модулей учитывайте знак функции на выбранном промежутке.

• После решения проверяйте корни, особенно если использовались неравносильные преобразования.

Дополнительно

1. Элементарная математика: общие методы решения уравнений и неравенств [Электронный ресурс] / Р.Ф. Ахвердиев, Е.А. Турилова, А.А. Евсеева и др. – Электрон. текстовые дан. (1 файл: 778 Кб). – Казань: Издательство Казанского университета, 2021. – 61 с. – Систем. требования: Adobe Acrobat Reader. – Режим доступа: https://kpfu.ru/portal/docs/F_360608299/Elementarnaya.matematikaobshhie.metody.resheniya.uravnenij.i.neravenstv.pdf

2. Вовк, Л.П. В61 Алгебраические и иррациональные уравнения. Теория, методы, алгоритмы решения: учеб. пособие для обучающихся общеобразовательных организаций и учреждений дополнительного образования / Л.П. Вовк; «ДОНМАН». - Донецк: ДОНМАН, 2020. – 154 с.: https://donman.donntu.ru/sites/default/files/matematika_vovk_l.p.pdf

3. Шахмейстер А. Х. - Иррациональные уравнения и неравенства - 2011.pdf

4. И. В. Яковлев. Иррациональные уравнения и системы: https://mathus.ru/math/irrurs.pdf

При решении неравенств и уравнений часто используются следующие равносильные переходы

Дополнительно

Математика: задание №1 для 10-х классов (2017 – 2018 учебный год), 2017, 26 с.: https://autobuy.clan.su/0Yagubov/25/5724Z.pdf

Множество — это фундаментальное понятие математики, представляющее собой набор различных объектов, называемых элементами. В алгебре множества используются для описания решений уравнений, неравенств и других математических конструкций.

Для удобства запоминания значений синуса углов 30◦ , 45◦ , 60◦ (а также 0◦ и 90◦) можно использовать правило ладони. Если присвоить каждому из пальцев ладони номер и сопоставить угол (см. Рис. 1.4.4), то для нахождения синуса каждого из этих углов достаточно извлечь квадратный корень из номера пальца, сопоставленного углу, и полученный результат разделить на два.

Замечание. С помощью «правила ладони» можно находить и значения косинусов тех же самых углов. Для этого надо начать нумерацию пальцев не с мизинца, а с большого пальца.

1. Тригонометрия: учебно-методическое пособие по дисциплине «Математика» для студентов 1 курса всех специальностей / сост.: Алексеева Е.В. – Ростов-на-Дону: РКРИПТ, 2015. – 60 с.

2. Галеев Э.М., Галеева А.Э. Подготовка к вступительным экзаменам по математике в МГУ и ЕГЭ (типы задач и методы их решений). Тригонометрия. Изд. 4-е, дополненное. Издательство “Попечительский совет механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова”. 2018. - 72 c.: https://co8a.ru/wp-content/uploads/2020/05/trig3.pdf

3. И. М. Гельфанд, С. М. Львовский, А. Л. Тоом. Тригонометрия. М.: МЦНМО, 2002. — 199 с.: https://old.mccme.ru/free-books/lvovski/trig.pdf

4. Морозова А.В., Милованович Е.В., Базаг М. Основы тригонометрии– СПб: Университет ИТМО, 2022. – 35 с.: https://books.ifmo.ru/file/pdf/3088.pdf

5. Демидова Н.Е. Математика. Основы тригонометрии: Учебное пособие. – Н.Новгород: Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет, 2011. – 92 с.: https://bibl.nngasu.ru/electronicresources/uch-metod/ecology/842968.pdf

6. А.В. Землянко Тригонометрические формулы: https://www.vgifk.ru/sites/default/files/docs_group/spravochnik_po_trigonometrii.pdf

7. Яковлев. Простейшие тригонометрические уравнения: https://mathus.ru/math/trigeqprost.pdf

8. Г.Г. Ельчанинова, Р.А. Мельников. Тригонометрия. Методика изучения и решения задач: учебно-методическое пособие. – Елец: Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, 2018. – 100 с. : https://spo.elsu.ru/data/uploads/posobiya/trigonometriya_elchaninova_melnikov.pdf

Данное пособие содержит двести геометрических задач с практическим содержанием, среди которых:

– задачи на нахождение расстояний с использованием теоремы Пифагора;

– задачи на нахождение углов;

– задачи, сводящиеся к нахождению длин дуг окружности;

– задачи на нахождение расстояний до недоступных объектов с использованием подобия;

– задачи на нахождение расстояний и углов с использованием табличных значений тригонометрических функций;

– задачи на нахождение площадей плоских и площадей поверхностей пространственных фигур;

– задачи на нахождение объемов пространственных фигур и др.

Задача 1

Какой угол образуют минутная и часовая стрелки часов в 19:00? Ответ дайте в градусах.

Алгоритм:

1. Разбить циферблат:

   • Полный круг = 360°

   • Между соседними часами = 360° / 12 = 30°

   • Между соседними минутами = 360° / 60 = 6°

2. Определить положение стрелок:

   • Часовая стрелка:  за каждый час смещается на 30° от отметки «12». В 19:00 часовая стрелка ровно на цифре 7.

     Отсчёт от 12:  7 часов × 30° = 210°  от верхней точки.

   • Минутная стрелка:  в 00 минут — на цифре 12, то есть 0° от верхней точки.

3. Найти разницу углов:

   • Угол часовой = 210° (от 12 по часовой)

   • Угол минутной = 0°

   • Разница:  |210° − 0°| = 210°

4. Выбрать меньший угол между стрелками (т.к. угол между стрелками ≤ 180°):
   Если разность > 180°, вычесть из 360°.
   210° > 180° ⇒ меньший угол = 360° − 210° = 150°

Решение:

• Часовая: 7 × 30 = 210°

• Минутная: 0°

• Разность = 210°

• 210° > 180° ⇒ угол = 360 − 210 = 150°

Ответ: 150°

От 12 до 7 — 7 делений циферблата (210° по часовой). Минутная на 12, разница 210°, но меньший путь через 11, 10... — 150°.

Задача 2

В колесе углы между соседними спицами равны. Сколько спиц в колесе, если угол между соседними спицами равен 30°?

Дано:
Угол между соседними спицами = 30°.
Найти количество спиц.

Решение:

1. Полный круг = 360°.

2. Полный круг делится на равные углы.

3. Количество спиц = полный круг / угол между соседними спицами:
   n=360°​/30°
   n=12

Ответ: 12 спиц

Рассмотрим тип задач с применением теоремы Пифагора.

"Пожарную лестницу длиной 13 м приставили к окну дома. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 5 м. На какой высоте находится верхний конец лестницы? Ответ дайте в метрах."

Мы имеем:

• Лестница  длиной 13 м — это  гипотенуза  прямоугольного треугольника.

• Расстояние от нижнего конца лестницы до стены  5 м — это  один катет  (прилегающий к земле).

• Высота, на которой лестница касается стены  — это  второй катет  (противолежащий к стене), который нам нужно найти.

Лестница, стена и земля образуют прямоугольный треугольник, где

• Гипотенуза c=13

• Катет a =5 м

• Катет b=? м (высота)

Земля и стена перпендикулярны друг другу.

Применяем теорему Пифагора

Формула: a² + b² = c²

Подставляем известные значения:
5² + b² = 13²

Вычисляем

25 + b² = 169

b² = 169 − 25

b² = 144

b = √144

b = 12 (так как длина положительна)

Ответ: 12 метров

Задача 2

На расстоянии 12 метров от дома вкопали столб высотой 7 метров. От вершины столба к стене дома протянули кабель и закрепили его на высоте 2 метра от земли. Найдите длину кабеля в метрах

Дано:
Расстояние от столба до дома: 12 м
Высота столба: 7 м
Высота крепления на доме: 2 м
Найти длину кабеля d.

Вертикальный катет: 7 − 2 = 5 м
Горизонтальный катет: 12 м

По теореме Пифагора:
d² = 12² + 5²
d² = 144 + 25
d² = 169
d = √169
d = 13

Ответ: 13 м

Алгоритм для подобных задач

1. Определить прямоугольный треугольник  в задаче.

2. Гипотенуза (c)  — обычно лестница, трос, наклонная плоскость.

3. Катеты (a и b)  — горизонтальное и вертикальное расстояния.

4. Записать: a² + b² = c²

5. Подставить известные числа , найти неизвестное.

6. Дать ответ с единицами измерения.

Дополнительно:

Задача

Масштаб карты такой, что в одном сантиметре 1,5 км. Чему равно расстояние между городами А и B (в км), если на карте оно составляет 16 см?

Условие:
В 1 см карты — 1,5 км.
На карте расстояние = 16 см.
Найти реальное расстояние S в км.

Алгоритм:

• Определить масштаб: 1 см : 1,5 км.

• Расстояние на карте умножить на количество километров в 1 см.

Решение:
1 см карты = 1,5 км.
16 см карты = 16 1,5 км.
16 1,5 = 24.

Ответ: 24 км

Задача

Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту l этого столба, если наименьшая высота h1 перил равна 1,55 м, а наибольшая высота h2 равна 2,55 м. Ответ дайте в метрах.

Условие:
Перила — наклонная линия (боковая сторона трапеции).
Нижняя высота h1 = 1,55 м.
Верхняя высота h2 = 2,55 м.
Столб стоит вертикально посередине перил по длине.
Найти высоту столба l.

Алгоритм решения:

1. Вспомнить формулу средней линии трапеции: Средняя линия = (основание1 + основание2) / 2.

2. Подставить данные: l = (h1 + h2) / 2.

3. Вычислить  и дать ответ в метрах.

Решение:

h1 = 1,55 м
h2 = 2,55 м
l = (h1 + h2) / 2
l = (1,55 + 2,55) / 2
l = 4,10 / 2
l = 2,05

Ответ: 2,05 м