Дополнительно

1. https://internat.msu.ru/media/uploads/2013/11/Материалы-очных-сборов.-Биссектриса.pdf

2. https://znanierussia.ru/articles/Биссектриса

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

 Таким образом, ромб обладает всеми свойствами параллелограмма:

 ∼ противоположные углы ромба попарно равны;

∼ соседние углы ромба в сумме дают 180∘;

∼ диагонали точкой пересечения делятся пополам.

 Теорема: свойство ромба

Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам.

  Теорема: признаки ромба

1. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то это – ромб.

 2. Если в параллелограмме диагонали делят его углы пополам, то это – ромб.

 3. Если в выпуклом четырехугольнике все стороны равны, то он – ромб.

Задача 1

Решение

ОС=12:2=6

BO/OC=4/3

DO=4*6/3=8

BC=10

r=12*16/4*10=4,8

Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

Дополнительно

1. Фигуры на квадратной решётке
2. Многоугольники: вычисление площадей
3. Система заданий по теме «Площадь фигур»
4. Е. А. Ширяева Задачник ОГЭ 2025 (примеры решений). 18. Фигуры на квадратной решётке

Задачи

1. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ОГЭ математике
2. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по базовой математике
3. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по профильной математике

Дополнительно

Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

1. Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

2. matem-teoriya-trapetsiya.pdf

3. chetyryohugolniki.pdf

Задачи

1. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ОГЭ математике
2. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по базовой математике
3. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по профильной математике

Задача 1

В треугольнике ABC угол C равен 30°, AB=16. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение

Ответ: 16

Задача 2

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 сторона 𝐴𝐵 равна 3 √ 2, угол 𝐶 равен 135∘ . Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности

Дополнительно

Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

Задачи

1. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ОГЭ математике
2. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по базовой математике
3. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по профильной математике

Решение

AH=AM+MH=44+22=66.

△AMK имеет сторону AM=1/2AC и сторону AK=1/3AB. Угол между ними — угол A треугольника ABC.

По условию SAMK=5: SABC=5⋅6=30

https://3.shkolkovo.online/catalog/7157?SubTheme=9658

https://3.shkolkovo.online/catalog/7157?SubTheme=9657

Формулировка: сумма внутренних углов треугольника равна 180°.

Следствия и связанные свойства

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°, поэтому сумма двух острых углов составляет 180° − 90° = 90°. 

2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол равен 45°. Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны. Их сумма — 90°, значит, каждый угол равен 45°.

3. В равностороннем треугольнике каждый угол равен 60°. Все углы равны, поэтому каждый угол составляет 180° : 3 = 60°. 

4. В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий — тупой или прямой. Это следует из того, что сумма углов не может превышать 180°.

5. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Внешний угол — это угол, смежный с одним из внутренних углов треугольника. Его величина равна сумме двух других внутренних углов.

6. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180°(n − 2). Формула выводится из разбиения n-угольника на треугольники. 

7. Сумма внешних углов n-угольника равна 360°. Внешний угол при каждой вершине — это угол, смежный с внутренним. Сумма всех внешних углов (по одному при каждой вершине) всегда составляет 360°. 

8. Углы со взаимно перпендикулярными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые. Это свойство связано с взаимным расположением сторон углов. 

9. Угол между биссектрисами смежных углов равен 90°. Биссектрисы делят смежные углы пополам, а их сумма равна 180°, поэтому угол между биссектрисами — 90°.

10. Биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны. Внутренние односторонние углы при параллельных прямых и секущей в сумме дают 180°. Биссектрисы делят эти углы пополам, поэтому угол между ними — 90°. 

11. Если биссектрисы углов B и C треугольника ABC пересекаются в точке M, то ∠BMC = 90° + ½∠A.

• В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона. Это следствие из теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника. 

• В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон. Это неравенство треугольника. 

• Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон. И наоборот: если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе. 

https://3.shkolkovo.online/catalog/2534

Дополнительно

1. Фигуры на квадратной решётке
2. Многоугольники: вычисление площадей
3. Система заданий по теме «Площадь фигур»
4. Е. А. Ширяева Задачник ОГЭ 2025 (примеры решений). 18. Фигуры на квадратной решётке

Системы заданий.

Пособия

https://3.shkolkovo.online/catalog/7157?SubTheme=9661

https://3.shkolkovo.online/catalog/7157?SubTheme=9662

https://3.shkolkovo.online/catalog/7157?SubTheme=9659

https://3.shkolkovo.online/catalog/7157?SubTheme=9660

https://school.umk-spo.biz/gia/forum/vrntv/tgrsn

https://mathlesson.ru/node/6315

https://matematikaege.ru/ugolkletka/27450-najdite-tangens-ugla-aov.html

Дополнительно:

https://uchus.online/tasks/bank/135

https://oge.sdamgia.ru/test?likes=316348

.