Теорема Штейнера — Лемуса утверждает, что если в треугольнике две биссектрисы равны по длине, то этот треугольник равнобедренный.
Теорема была сформулирована К. Л. Лемусом и впоследствии доказана Якобом Штейнером. Доказательство появилось в работах этих немецких геометров в XIX веке. В 1840 году Лемус упомянул теорему в письме К. Штурму, попросив найти чисто геометрическое доказательство. Штурм передал запрос другим математикам, и Штейнер был одним из первых, кто предложил решение. В 1963 году журнал American Mathematical Monthly объявил конкурс на лучшее доказательство теоремы. Было прислано много работ, среди которых обнаружились интересные и ранее неизвестные подходы.
Особенным образом ведут себя медиана, биссектриса и высота, проведённые к гипотенузе.
Высота разбивает прямоугольный треугольник на два прямоугольных треугольника, которые подобны друг другу, то есть имеют одинаковую форму, но разные размеры. Причём эти два треугольника подобны не только друг другу, но и большому треугольнику тоже.
Биссектриса является не только биссектрисой самого треугольника, но и биссектрисой маленького треугольника, ограниченного медианой и высотой.
Это основной и надежный метод. Он работает всегда, если известны длины всех трех сторон.
Пусть в треугольнике стороны равны a,b,c. Требуется найти косинус угла α, лежащего напротив стороны a.
Важно запомнить: В числителе складываются квадраты сторон, образующих угол, а вычитается квадрат противолежащей стороны.
Способ 2. Если заданы координаты вершин — используем векторы
Часто треугольник задан не длинами сторон, а координатами точек A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3). Тогда косинус угла при вершине A (угол BAC) удобно находить через скалярное произведение векторов.
Способ 3. Частный случай — прямоугольный треугольник
Если вы точно знаете, что треугольник прямоугольный, то косинус острого угла находится элементарно.
Способ 4. Если известны площадь и две стороны
Иногда в условии даны две стороны b и c и площадь S, а угол α между ними неизвестен. Тогда алгоритм такой:
⚠️ Важнейший нюанс
Знак «плюс» или «минус» зависит от того, острый угол (α<90) или тупой (α>90).
Если угол острый → cosα>0
Если тупой → cosα<0
Без дополнительных данных задача имеет два решения.
Центральным углом окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу.
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее, называется вписанным в эту окружность.
Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Свойства биссектрисы параллелограмма:
Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
2. Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.
3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.
Задача 1
.
Площадь параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷 равна 60. Точка 𝐸 — середина стороны 𝐴𝐷. Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐸. Ответ: 15
Задача 2
Ответ: 9
Задача 3
В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 диагонали делят его углы пополам и равны 10 и 24. Найдите периметр параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷.
1. Анализ условия
В параллелограмме ABCD сказано:
диагонали делят его углы пополам
В параллелограмме диагонали не являются биссектрисами углов (кроме частных случаев). Для параллелограмма диагонали делят углы пополам только если это ромб.
Задача 4
В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 диагонали являются биссектрисами его углов, 𝐴𝐵 =35, 𝐴𝐶 =42. Найдите 𝐵𝐷.
1. Понимание фигуры
В параллелограмме ABCD диагонали являются биссектрисами его углов. Такое возможно только в ромбе (в общем параллелограмме диагонали не делят углы пополам).
Задача 5
Большая сторона = 14.7.
Задача 6
В параллелограмме биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне, пересекаются на противоположной стороне тогда и только тогда, когда большая сторона в два раза больше меньшей.
Решение: 2*(x+2x)= 15 , 6х=15, х=2,5. Ответ: 2,5.
Задача 7
Обе диагонали параллелограмма равны 13. Одна из сторон параллелограмма равна 5. Найдите сторону параллелограмма, соседнюю с данной.
Частный случай — прямоугольник. Если d1=d2, то параллелограмм является прямоугольником. В этом случае теорема сводится к двум применениям теоремы Пифагора.
