Дополнительно

1. Отношение площадей
2. Воронин В. В. Метод. пособие: Отношения отрезков и площадей. Новосибирск: НГУ, 2016. 40 с.

3. Основные свойства площадей треугольников

Балаян. Э. Н. Разбор заданий

Центральным углом окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее, называется вписанным в эту окружность.

Балаян. Э. Н. Разбор заданий

Ответ: 2

Ответ: 6

Ответ: 16

Ответ: 1

Расстояние от O до стороны AB является радиусом вписанной окружности r для этого треугольника.

Балаян. Э. Н. Разбор заданий

Особенным образом ведут себя медиана, биссектриса и высота, проведённые к гипотенузе.

Высота разбивает прямоугольный треугольник на два прямоугольных треугольника, которые подобны друг другу, то есть имеют одинаковую форму, но разные размеры. Причём эти два треугольника подобны не только друг другу, но и большому треугольнику тоже.

Биссектриса является не только биссектрисой самого треугольника, но и биссектрисой маленького треугольника, ограниченного медианой и высотой.

Задачи из ФИПИ

Номер: 47BD49

Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

Дополнительно

1. Фигуры на квадратной решётке
2. Многоугольники: вычисление площадей
3. Система заданий по теме «Площадь фигур»
4. Е. А. Ширяева Задачник ОГЭ 2025 (примеры решений). 18. Фигуры на квадратной решётке
5. Справочник по планиметрии от «Школково»

6. matem-teoriya-treugolnik.pdf

Задачи

1. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ОГЭ математике
2. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по базовой математике
3. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по профильной математике

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

 2. Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

 3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Задача 1

.

Площадь параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷 равна 60. Точка 𝐸 — середина стороны 𝐴𝐷. Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐸. Ответ: 15

Задача 2

Ответ: 9

Задача 3

В параллелограмме 𝐴⁢𝐵⁢𝐶⁢𝐷 диагонали делят его углы пополам и равны 10 и 24. Найдите периметр параллелограмма 𝐴⁢𝐵⁢𝐶⁢𝐷.

1. Анализ условия

В параллелограмме ABCD сказано:

диагонали делят его углы пополам

В параллелограмме диагонали не являются биссектрисами углов (кроме частных случаев). Для параллелограмма диагонали делят углы пополам только если это ромб.

Задача 4

В параллелограмме 𝐴⁢𝐵⁢𝐶⁢𝐷 диагонали являются биссектрисами его углов, 𝐴⁢𝐵 =35, 𝐴⁢𝐶 =42. Найдите 𝐵⁢𝐷.

1. Понимание фигуры

В параллелограмме ABCD диагонали являются биссектрисами его углов. Такое возможно только в ромбе (в общем параллелограмме диагонали не делят углы пополам).

Задача 5

Большая сторона = 14.7.

Задача 6

В параллелограмме биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне, пересекаются на противоположной стороне тогда и только тогда, когда большая сторона в два раза больше меньшей.

Решение: 2*(x+2x)= 15 , 6х=15, х=2,5. Ответ: 2,5.

Задача 7

Обе диагонали параллелограмма равны 13. Одна из сторон параллелограмма равна 5. Найдите сторону параллелограмма, соседнюю с данной.

Частный случай — прямоугольник. Если d1​=d2​, то параллелограмм является прямоугольником. В этом случае теорема сводится к двум применениям теоремы Пифагора.

Дополнительно

Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

Задачи

1. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ОГЭ математике
2. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по базовой математике
3. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по профильной математике

Практикум

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

Задание 6

Задание 7

Задание 8

Задание 9

Задание 10

Задание 11

Задание 12

Задание 13

Задание 14

Задание 15

Дополнительно:

Дополнительно

Розенфельд Б. А. Аполлоний Пергский. — М.: МЦНМО, 2004. — 176 с.: ил. — ISBN 5-94057-132-8: https://math.ru/lib/files/pdf/ap_of_pe.pdf

Задача 1

Диагональ параллелограмма делит его угол на части в 30◦ и 45◦ . Найдите отношение сторон параллелограмма.

Дополнительно

Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

Задачи

1. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ОГЭ математике
2. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по базовой математике
3. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по профильной математике

Задание 1

Ответ: 10

Ответ: 3,5

Ответ: 13

Дополнительно

• https://mathus.ru/math/sredlin.pdf
• https://dep_geometry.pnzgu.ru/files/dep_geometry.pnzgu.ru/surinaop_yakuninaov_elementarnaya_geometriya__planimetriya_pgu_2013.pdf
• https://iro23.ru/sites/default/files/2020/posobie_8_kl.-uchenik.pdf

1. Беликова Г.И., Витковская Л.В., Математика. Учебное пособие для иностранных студентов, обучающихся по программе предвузовской подготовки. Часть 2. - СПб.: РГГМУ, 2011. - 130 с.
2. Воронин В. В. Метод. пособие: Отношения отрезков и площадей. Новосибирск: НГУ, 2016. 40 с.

3. Гордин Р.К. Теоремы и задачи школьной геометрии

4. Гордин Р. К. Это должен знать каждый матшкольник. — 2-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2003. — 56 с.
5. Гордин Р. К. Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2006. — 416 с.: ил.
6. Гордин Р. К. ЕГЭ 2018. Математика. Геометрия. Планиметрия. Задача 16 (профильный уровень) / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО,2018. — 240 с.
7. Гордин Р. К. ЕГЭ 2019. Математика. Решение задачи 16 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2019. — 448 с.
8. Задачи по планиметрии с комментариями и решениями (часть 1) / авт.-сост. И. В. Долженко. – Ханты-Мансийск: редакционно-издательский отдел АУ «Институт развития образования», 2014. – 60 с
9. Екимова М. А., Кукин Г. П. Задачи на разрезание.—М.: МЦНМО, 2002.— 120 с.: ил. Серия: «Секреты преподавания математики».
10. И.А. Елецких, Н.В. Черноусова. Планиметрия (теория: электронное учебное пособие. – Елец: Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, 2016. – 66 с.
11. Ельчанинова Г.Г., Мельников Р.А. Е 59 Основные геометрические объекты: треугольник. Методика изучения и решения задач: учебно-методическое пособие. – Елец: Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, 2018. – 92 с.

12. Зеленский А. С., Панфилов И. И. Геометрия в задачах. — М.: Научно-технический центр
    «Университетский»: УНИВЕР-ПРЕСС, 2008. — 272 с.: ил. (серия «Математика: перезагрузка»).

13. Геометрия. Базовый курс с решениями и указаниями [Электронный ресурс] : учебно-методическое пособие /Н. Д. Золотарёва, Н. Л. Семендяева, М. В. Федотов ; под редакцией М. В. Федотова. — Эл. изд. — Электрон. текстовые дан. (1 файл pdf : 296 с.). — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015. — (ВМК МГУ — школе).

14. Геометрия. Углубленный курс с решениями и указаниями : учебно-методическое пособие / Б. А. Будак, Н. Д. Золотарёва, М. В. Федотов ; иод ред. М. В. Федотова. -- 6-е изд. М. : Лаборатория знаний, 2020. 596 с. : ил. (ВМК МГУ ~~ школе).

15. Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

16. Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — 2017. — 32 с.
17. Понарин Я. П. Элементарная геометрия: В 2 т. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004.— 312 с.: ил.
18. Понарин Я. П. Элементарная геометрия: В 2 т. — Т. 2: Стереометрия, преобразования пространства. — М.: МЦНМО, 2006.— 256 с.: ил.

19. Элементарная геометрия. В 3-х т. Планиметрия. Стереометрия - Понарин Я.П.
    

20. Прасолов В. В. П70 Задачи по планиметрии: Учебное пособие. — 5-е изд., испр. и доп. — М.: МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2006. — 640 с.: ил.
21. Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики / Под ред. акад. В.А. Садовничего. — 2-е изд., стереот. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2017.

22. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрические задачи с практическим содержанием. —
    М.: МЦНМО, 2015. — 2-е изд., доп.

23. Смирнова Е. С. Планиметрия: виды задач и методы их решений: Элективный курс для учащихся 9—11 классов. Электронное издание. М.: МЦНМО, 2017. 416 с.
24. Сурина О.П., Якунина О.В. Элементарная геометрия. Планиметрия: Учебное пособие для студентов физико-математического факультета. – Пенза: издательство ПГУ. – С.107

25. Третьяк, Ирина Владимировна.Геометрия в схемах и таблицах / И.В. Третьяк. — Москва :
    Эксмо, 2016. — 128 с. — (Наглядно и доступно).

26. Шарыгин И. Ф., Гордин Р. К. Сборник задач по геометрии: 5000 задач с ответами. — 2001

27. Шень А. Геометрия в задачах. | М.: МЦНМО, 2013. | 240 с.: ил.

28. Хачатурян А. В. ЕГЭ 2020. Математика. Задачи по планиметрии. Задача 6 (профильный уровень). Задачи 8 и 15 (базовый уровень). Рабочая тетрадь / Под ред. И. В.Ященко. — М.: МЦНМО, 2020. —80 с

Шарыгин И. Ф., Гордин Р. К. Сборник задач по геометрии: 5000 задач с ответами. — 2001

Задачники

1. Фигуры на квадратной решётке
2. Многоугольники: вычисление площадей
3. Система заданий по теме «Площадь фигур»
4. Геометрические задачи на ОГЭ и ЕГЭ
5. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ОГЭ математике
6. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по базовой математике
7. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по профильной математике

8. Остромогильский А. Д. Планиметрия второй части ЕГЭ

9. Е. А. Ширяева Задачник ОГЭ 2025 (примеры решений). 18. Фигуры на квадратной решётке

Планиметрия

1. sh-geo.pdf
2. Справочник по планиметрии от «Школково»
3. chetyryohugolniki.pdf
4. okruzhnost.pdf
5. matem-teoriya-ugoldugarasstoyanie.pdf
6. matem-teoriya-tsilindr.pdf
7. matem-teoriya-treugolnik.pdf
8. matem-teoriya-trapetsiya.pdf
9. matem-teoriya-sharsfera.pdf
10. matem-teoriya-prizma.pdf
11. matem-teoriya-pravilnyemnogogranniki.pdf
12. matem-teoriya-ploschadi.pdf
13. matem-teoriya-parallelogrammrombkvadrat.pdf
14. matem-teoriya-parallelepiped.pdf
15. matem-teoriya-okruzhnost-krug.pdf
16. matem-teoriya-mnogougolnik.pdf
17. matem-teoriya-kubpiramida.pdf
18. matem-teoriya-konus.pdf
19. matem-teoriya-kombinatsii.pdf

Стереометрия

1. samye-vazhnye-formuly-stereometrii.pdf
2. st-f.pdf
3. Справочник по стереометрии от «Школково»

Формула Пика — это удобный инструмент для вычисления площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах целочисленной решётки. Её открыл и доказал австрийский математик Георг Александр Пик в 1899 году. Хотя изначально эта работа не получила широкого признания, к середине XX века формула стала активно применяться в математическом образовании и задачах комбинаторной геометрии.

Георг Пик был разносторонним учёным, опубликовавшим труды по алгебре, анализу и геометрии. Однако именно формула, предлагающая простой способ расчёта площадей на клетчатой бумаге, принесла ему мировую известность.

Формула Пика позволяет находить площадь любого многоугольника, все вершины которого лежат в узлах квадратной решётки, то есть имеют целочисленные координаты. Это ключевое ограничение: если хотя бы одна вершина не попадает в узел, формула неприменима.

Метод особенно полезен для многоугольников сложной формы, где традиционные геометрические формулы требуют громоздких вычислений. Он основан на подсчёте двух типов точек: узлов решётки, лежащих строго внутри фигуры, и узлов, расположенных на её границе.

Как работает формула Пика

Формула записывается следующим образом:

S = I + B/2 – 1

Где:

• S — площадь многоугольника.

• I — количество узлов решётки, находящихся строго внутри фигуры.

• B — количество узлов решётки, лежащих на границе многоугольника (включая вершины).

Это соотношение позволяет быстро получить результат, избегая сложных алгебраических преобразований. Оно демонстрирует глубокую связь между геометрией и комбинаторикой.

Дополнительно

Если вы хотите узнать больше о формуле Пика и её применениях, рекомендуем следующие ресурсы:

• Пиковое занятие: Статья на Elementy.ru, раскрывающая историю и примеры использования формулы в образовании. Доступна по ссылке: https://elementy.ru/nauchno-populyarnaya_biblioteka/436811/Pikovoe_zanyatie

• Формула Пика (презентация): Учебные слайды, которые могут быть полезны для преподавателей и студентов. Ссылка: http://dpo-smolensk.ru/RUMO/UMO-pred_EMC/pik.pdf

• Источник из журнала «Квантик»: Оригинальная статья с задачами и объяснениями, доступная по ссылке: https://old.kvantik.com/art/files/pdf/2021-08.18-21.pdf

Дополнительно

• Многоугольники: вычисление площадей
• Система заданий по теме «Площадь фигур»
• Воронин В. В. Метод. пособие: Отношения отрезков и площадей. Новосибирск: НГУ, 2016. 40 с
• Хачатурян А. В. ЕГЭ 2020. Математика. Задачи по планиметрии. Задача 6 (профильный уровень). Задачи 8 и 15 (базовый уровень). Рабочая тетрадь / Под ред. И. В.Ященко. — М.: МЦНМО, 2020. —80 с

• Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.

Дополнительно

1. Воронин В. В. Метод. пособие: Отношения отрезков и площадей. Новосибирск: НГУ, 2016. 40 с
2. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ОГЭ математике
3. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по базовой математике
4. Остромогильский А. Д. Открытый банк задач ФИПИ. ЕГЭ по профильной математике
5. geometrich_zadachi_s_prakt_soderzhaniem_smirnova_2015_-216s-1.pdf
6. geometricheskie-zadachi-s-prakticheskim.pdf

Дополнительно

1. Воронин В. В. Метод. пособие: Отношения отрезков и площадей. Новосибирск: НГУ, 2016. 40 с.
2. Ельчанинова Г.Г., Мельников Р.А. Основные геометрические объекты: треугольник. Методика изучения и решения задач: учебно-методическое пособие. – Елец: Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, 2018. – 92 с.
3. Екимова М. А., Кукин Г. П. Задачи на разрезание.—М.: МЦНМО, 2002.— 120 с.: ил. Серия: «Секреты преподавания математики».
4. Отношение площадей
5. Задачи на разрезания
6. Разрезания в пространстве

Дополнительно