Александра Пуляевская: Более 30 лет работаю с педагогами: делюсь методиками и приёмами внедрения ИТ в учебный процесс, делая упор на инструменты «в один клик». Сегодня мой базовый инструмент — искусственный интеллект. Как репетитор по математике я использую его для создания постов, тренажёров, калькуляторов и игр. ИИ может ошибаться, а какие‑то неточности могу пропустить и я, поэтому буду благодарна за ваши отзывы и замечания. Приглашаю к сотрудничеству!
Схема Горнера — это эффективный алгоритм для вычисления значения многочлена при заданном значении переменной, а также для деления многочлена на линейный двучлен вида (x - c). Этот метод позволяет избежать прямого вычисления высоких степеней, что делает процесс быстрее и снижает вероятность ошибок округления, особенно при работе с большими числами или в компьютерных вычислениях.
Применение схемы Горнера
Основные применения схемы Горнера включают:
Вычисление значения многочлена в заданной точке.
Деление многочлена на линейный двучлен(x - c), что полезно для нахождения корней и разложения на множители.
Проверку корней многочлена с использованием теоремы Безу, которая утверждает, что остаток от деления многочлена на (x - c) равен P(c).
Этот метод широко используется в алгебре, численных методах и программировании для оптимизации вычислений.
Практические задания
Ниже приведены упражнения для закрепления понимания схемы Горнера. Они разделены на три группы: вычисление значений, деление многочленов и нахождение корней.
Задание 1: Вычисление значения многочлена
Используйте схему Горнера, чтобы найти значение каждого многочлена в указанной точке. Запишите коэффициенты и выполните последовательные вычисления.
Разделите каждый многочлен на указанный линейный двучлен с помощью схемы Горнера. Результат запишите в виде P(x) = (x - c) * Q(x) + R, где Q(x) — частное, а R — остаток.
Используя схему Горнера и теорему Безу, найдите все рациональные корни каждого многочлена и разложите его на множители. Теорема Безу помогает связать корни с остатками от деления.
Найдите все корни многочлена P(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3.
Евклид (III век до н. э.) — великий математик, написавший труд «Начала» — одну из самых важных книг в истории математики.
Он впервые доказал, что простых чисел бесконечно много и описал алгоритм нахождения наибольшего общего делителя (НОД) — он так и называется: алгоритм Евклида.
Пример: Чтобы найти НОД(48, 18), Евклид предлагал делить с остатком:
48 : 18 = 2 (ост. 12)
18 : 12 = 1 (ост. 6)
12 : 6 = 2 (ост. 0) → НОД = 6
Дополнительно
ЕГЭ 2018. Математика. Арифметика и алгебра. Задача 19 (профильный уровень) / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО. : https://repetitor95.ru/Volfson_19.pdf
ЕГЭ 2018. Математика. Арифметика и алгебра. Задача 19 (профильный уровень) / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО. : https://repetitor95.ru/Volfson_19.pdf
ЕГЭ 2018. Математика. Арифметика и алгебра. Задача 19 (профильный уровень) / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО. : https://repetitor95.ru/Volfson_19.pdf
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences® (OEIS®) — это крупнейшая в мире база данных целочисленных последовательностей. По состоянию на ноябрь 2025 года она содержит более 390 000 последовательностей, каждая с уникальным идентификатором формата Axxxxxx.
OEIS была основана Нилом Слоуном (Neil Sloane) в 1964 году во время его работы в Bell Labs (позже AT&T Labs). В октябре 2009 года Слоун передал управление и интеллектуальную собственность организации OEIS Foundation, которая продолжает развитие проекта.
Этот интерактивный веб-инструмент решает классическую математическую задачу: находит минимальное натуральное число, которое имеет заданное количество делителей. Например, если вам нужно число с 12 делителями, калькулятор покажет, что это число 60 (2²×3×5).
«Решето» — это один из самых ранних и элегантных алгоритмов в истории математики. Название образное: как просеивают крупу через сито, так и в этом методе «просеиваются» натуральные числа, оставляя только простые.
Метод поиска простых чисел, известный как «Решето Эратосфена», действительно придумал Эратосфен из Кирены — выдающийся древнегреческий учёный, живший примерно в 276–194 гг. до н. э.
Он был не только математиком, но и:
Географом (считается «отцом географии», первым ввёл термин «география»),
Астрономом (точно измерил окружность Земли с поразительной для своего времени точностью),
Логарифмический метод вычисления корней основан на свойствах логарифмов и позволяет свести извлечение корня к более простым операциям — делению и нахождению антилогарифма.
В начале XVII века астрономам, картографам и мореплавателям каждый день приходилось умножать и делить большие числа. Порой на один расчёт уходили целые дни. А цена ошибки была огромной. Одна неверная цифра могла сбить корабль с курса — и поставить под угрозу жизни экипажа. Или сделать бесполезными годы кропотливых наблюдений за звёздами. Людям срочно нужен был способ считать быстрее и надёжнее. И в 1614 году такой способ наконец появился.
Революция 1614 года: Джон Непер и рождение логарифмов
Шотландский барон Джон Непер опубликовал книгу с латинским названием «Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio» («Описание удивительной таблицы логарифмов»). Эта работа перевернула всю практику вычислений.
Идея Непера была одновременно красивой и простой: заменить сложное умножение на простое сложение. В основе лежала чёткая математическая закономерность: если складывать показатели степени, то сами степени будут перемножаться.
Благодаря этому сложные действия можно было свести к более лёгким:
Операция
Как стало с логарифмами
Умножение a×b
Сложение: loga+logb
Деление a/b
Вычитание: loga−logb
Извлечение квадратного корня
Деление логарифма на 2
Важно понимать: в таблице выше мы используем привычные нам логарифмы для наглядности. У самого Непера система была устроена иначе. Он строил свои таблицы на основе кинематической модели и делал их специально для синусов и тангенсов разных углов. Его логарифмы были похожи на натуральные, но не совпадали с современными десятичными. Десятичные логарифмы появились позже — благодаря Генри Бриггсу. Он специально приезжал к Неперу в 1616–1617 годах, чтобы вместе разобраться в методе и довести его до практического удобства.
Особенно сильно логарифмы помогли астрономии, где приходится работать с огромными числами и добиваться большой точности. Яркий пример — работа Иоганна Кеплера над «Рудольфинскими таблицами» (опубликованы в 1627 году). Это был самый точный на тот момент каталог движений планет.
Кеплер не просто использовал таблицы Непера — он их активно продвигал. В 1624 году он выпустил собственные логарифмические таблицы, специально приспособленные для астрономии. А ещё включил таблицы Непера прямо в «Рудольфинские таблицы», чтобы все астрономы могли ими пользоваться. Историки считают, что без логарифмов эта работа заняла бы намного больше времени.
С помощью логарифмов стало возможным:
точно вычислять эллиптические орбиты планет;
составлять и уточнять морские карты;
рассчитывать траектории снарядов — то есть заниматься баллистикой.
Знаменитый математик Пьер‑Симон Лаплас однажды сказал, что Непер «продлил жизнь астрономов» — настолько он облегчил их ежедневный труд. И это не преувеличение.
Со временем таблицы становились всё точнее. Вот основные вехи этой истории:
Год
Автор
Достижение
1614
Джон Непер
Таблицы логарифмов синусов с точностью до 7–8 значащих цифр (в них встречались небольшие ошибки после шестого знака).
1617
Генри Бриггс
Первые таблицы десятичных логарифмов для чисел от 1 до 1000.
1624–1628
Бриггс и Адриан Влакк
Полные десятичные таблицы с точностью до 10–14 знаков; на долгие годы стали мировым стандартом.
1793
Георг Вега
Семизначные таблицы, ставшие эталоном точности на два столетия; переиздавались более ста раз.
1970‑е
Электронные калькуляторы
Точность 15+ значащих цифр, вычисления за доли секунды.
Метод распространялся стремительно. Уже к 1628 году, всего через 14 лет после работы Непера, таблицы Влакка охватывали все числа от 1 до 100 000:
1628 год — «Arithmetica logarithmica». В этом труде голландский издатель, математик и астроном Адриан Влакк (1600–1667) представил десятизначные (10-значные) логарифмы целых чисел от 1 до 100 000. Он опирался на труды Джона Непера, Симона Стевина и Генри Бригса.
Георг Вега (1754–1802) — словенский и австрийский математик . Наиболее известны его логарифмические и тригонометрические таблицы. Вега не просто перепечатывал чужие данные, а заново пересчитывал и выверял значения. Он так стремился к идеальной точности, что обещал солдатам (Вега служил в армии) золотой дукат за каждую найденную ошибку в таблицах.
Благодаря этой скрупулёзности и многоступенчатой проверке его справочники оказались настолько надёжными, что оставались востребованными и переиздавались вплоть до середины XX века — даже после появления новых методов и более современных изданий.
Инструменты практиков: линейка и таблицы
Для расчётов закрепились два главных инструмента, которыми долго пользовались инженеры и учёные.
Логарифмическая линейка
Принцип её работы очень нагляден: на шкалах линейки нанесены логарифмические деления. Когда вы складываете длины отрезков, это соответствует умножению чисел. Предшественником линейки была «шкала Гантера» (1624 год), а первую полноценную линейку создал Уильям Отред в 1632 году.
Чтобы извлечь квадратный корень, совмещали шкалы LLL и DDD. Вся операция занимала несколько секунд, а погрешность составляла около 0,1–0,2 %. Для большинства инженерных задач этого было вполне достаточно.
Печатные справочники
Когда нужна была более высокая точность, брали таблицы. Например, в XX веке почти у каждого школьника и инженера были «Четырёхзначные математические таблицы» Брадиса. Если нужного значения в таблице не было, использовали линейную интерполяцию — это простой способ примерно вычислить промежуточное число.
Только с массовым распространением электронных калькуляторов в начале 1970‑х началась новая эра вычислений. Но и сегодня, нажимая кнопку «log» на калькуляторе, мы косвенно пользуемся наследием XVII века: идеей, которая превратила многодневные расчёты в простое перелистывание таблиц.
