Дополнительно

https://mathus.ru/math/crt.pdf

Евклид (III век до н. э.) — великий математик, написавший труд «Начала» — одну из самых важных книг в истории математики.

Он впервые доказал, что простых чисел бесконечно много и описал алгоритм нахождения наибольшего общего делителя (НОД) — он так и называется: алгоритм Евклида.

Пример: Чтобы найти НОД(48, 18), Евклид предлагал делить с остатком:

• 48 : 18 = 2 (ост. 12)

• 18 : 12 = 1 (ост. 6)

• 12 : 6 = 2 (ост. 0) → НОД = 6

Дополнительно

• ЕГЭ 2018. Математика. Арифметика и алгебра. Задача 19 (профильный уровень) / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО. : https://repetitor95.ru/Volfson_19.pdf

• Делимость целых чисел в задачах: Сборник задач, - Ханты-Мансийск, Югорский физико-математический лицей, 39 c. : https://yufmli.gosuslugi.ru/netcat_files/30/69/V.P._Chuvakov._Delimost_tselyh_chisel_v_zadachah.pdf

• Элементы теории чисел Задание № 19.1 профильного ЕГЭ по математике. https://iro23.ru/wp-content/uploads/2024/04/Вебинар-18.04.2024-Артемова-ОЛ.pdf

Делители и кратные

• Делитель числа — это число, на которое данное число делится без остатка. Например: делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

• Кратное числу — это число, которое делится на данное число без остатка. Например: кратные числу 5: 5, 10, 15, 20, ...

Наибольший общий делитель (НОД)

• Это самое большое число, на которое делятся оба числа.

• Находят, раскладывая числа на простые множители, и перемножая общие множители.

Пример: НОД(12, 18)
12 = 2×2×3
18 = 2×3×2
Общие: 2×3=6 → НОД = 6

Наименьшее общее кратное (НОК)

• Это самое маленькое число, которое делится на оба числа.

• Находят, перемножая все простые множители из обоих чисел, беря каждый с наибольшим показателем степени.

Пример: НОК(12, 18)
12 = 2×2×3
18 = 2×3×2
НОК = 2×2×3×3=4×9=36

Дополнительно

• ЕГЭ 2018. Математика. Арифметика и алгебра. Задача 19 (профильный уровень) / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО. : https://repetitor95.ru/Volfson_19.pdf

• Делимость целых чисел в задачах: Сборник задач, - Ханты-Мансийск, Югорский физико-математический лицей, 39 c. : https://yufmli.gosuslugi.ru/netcat_files/30/69/V.P._Chuvakov._Delimost_tselyh_chisel_v_zadachah.pdf

• Элементы теории чисел Задание № 19.1 профильного ЕГЭ по математике. https://iro23.ru/wp-content/uploads/2024/04/Вебинар-18.04.2024-Артемова-ОЛ.pdf

Дополнительно

• ЕГЭ 2018. Математика. Арифметика и алгебра. Задача 19 (профильный уровень) / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО. : https://repetitor95.ru/Volfson_19.pdf

• Делимость целых чисел в задачах: Сборник задач, - Ханты-Мансийск, Югорский физико-математический лицей, 39 c. : https://yufmli.gosuslugi.ru/netcat_files/30/69/V.P._Chuvakov._Delimost_tselyh_chisel_v_zadachah.pdf

• Элементы теории чисел Задание № 19.1 профильного ЕГЭ по математике. https://iro23.ru/wp-content/uploads/2024/04/Вебинар-18.04.2024-Артемова-ОЛ.pdf

The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences® (OEIS®) — это крупнейшая в мире база данных целочисленных последовательностей. По состоянию на ноябрь 2025 года она содержит более 390 000 последовательностей, каждая с уникальным идентификатором формата Axxxxxx.

OEIS была основана Нилом Слоуном (Neil Sloane) в 1964 году во время его работы в Bell Labs (позже AT&T Labs). В октябре 2009 года Слоун передал управление и интеллектуальную собственность организации OEIS Foundation, которая продолжает развитие проекта.

Практическое применение в задачах:

• "Найдите τ(n)" → A000005

• "Наименьшее число с k делителями" → A005179

• "Максимальное τ у k-значных чисел" → A066150

• "Какое k-значное число имеет max τ?" → A066151

Дополнительно

Обратная задача к функции τ(n): для заданного k найти наименьшее число, имеющее ровно k делителей.

Дополнительно

Введите целое положительное число, чтобы найти все его делители.

Дополнительно

Числа и алгоритм Капрекара — это "математические микроскопы", позволяющие рассмотреть удивительные закономерности в, казалось бы, простых арифметических операциях.

Этот интерактивный веб-инструмент решает классическую математическую задачу: находит минимальное натуральное число, которое имеет заданное количество делителей. Например, если вам нужно число с 12 делителями, калькулятор покажет, что это число 60 (2²×3×5).

Цепная дробь — это способ представления числа в виде последовательности целых чисел, где каждый следующий элемент уточняет приближение.

Цепная дробь — это выражение вида

где a₀ — целое число, а все остальные a₁,a₂,a₃,… — натуральные числа (положительные целые), которые называются неполными частными цепной дроби.

Свойства цепных дробей

1. Рациональные числа  имеют конечные цепные дроби.

2. Иррациональные числа раскладываются в бесконечные дроби.

3. Квадратичные иррациональности (√2, φ, √3) дают периодические дроби.

4. Чем больше коэффициент a_k​, тем точнее приближение.

Разберём пошаговый алгоритм для любого числа (рационального или иррационального).

Алгоритм построения цепной дроби

Пример 1. Рациональное число (13/55)

Пример 2. Иррациональное число (√2)

Пример 3. Число π (3.14159...)

Дополнительно:

• https://www.mathnet.ru/links/a89c3529264bd3c4ca0fd419f3806d54/kvant2410.pdf
• https://old.mccme.ru/free-books/mmmf-lectures/book.14-full.pdf

«Решето» — это один из самых ранних и элегантных алгоритмов в истории математики. Название образное: как просеивают крупу через сито, так и в этом методе «просеиваются» натуральные числа, оставляя только простые.

Метод поиска простых чисел, известный как «Решето Эратосфена», действительно придумал Эратосфен из Кирены — выдающийся древнегреческий учёный, живший примерно в 276–194 гг. до н. э.

Он был не только математиком, но и:

• Географом (считается «отцом географии», первым ввёл термин «география»),

• Астрономом (точно измерил окружность Земли с поразительной для своего времени точностью),

• Библиотекарем (возглавлял знаменитую Александрийскую библиотеку),

• Философом и поэтом

  .

Напомним:

• Простое число — это число, у которого ровно два делителя: 1 и оно само. Примеры: 2, 3, 5, 7, 11, 13... 1 —не простое и не составное!

Алгоритм

Цель: Найти все простые числа от 1 до 100.

Шаг 1: Запишем числа от 1 до 100

https://cdn1.ozone.ru/s3/multimedia-0/6319237488.jpg

Шаг 2: Вычёркиваем по правилам

🔹 Вычеркни число 1.

🔹 Обведи 2 — это первое простое число.

Затем вычеркни все числа, кратные 2 (то есть каждое второе): 4, 6, 8, 10, 12, 14, ..., 100

🔹 Следующее число — 3. Обведи.

Вычеркни все числа, кратные 3 (после 3): 6, 9, 12, 15, 18, 21, ... (уже вычеркнутые можно не трогать)

🔹Следующее число — 5. Обведи.

Вычеркни все кратные 5: 10, 15, 20, 25, 30, ... (многие уже вычеркнуты)

🔹 Следующее число — 7. Обведи.

Вычеркни кратные 7: 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98

🔹 Следующее число — 11. Но:

11×11=121>100 , значит, дальше ничего вычёркивать не нужно.

Шаг 3: Остались только простые числа!

Обведённые числа — это простые от 2 до 100:

https://www.frontiersin.org/files/Articles/409580/frym-06-00040-HTML/image_m/figure-2.jpg

Всего 25 простых чисел от 1 до 100.

Логарифмический метод вычисления корней основан на свойствах логарифмов и позволяет свести извлечение корня к более простым операциям — делению и нахождению антилогарифма.

В начале XVII века астрономам, картографам и мореплавателям каждый день приходилось умножать и делить большие числа. Порой на один расчёт уходили целые дни. А цена ошибки была огромной. Одна неверная цифра могла сбить корабль с курса — и поставить под угрозу жизни экипажа. Или сделать бесполезными годы кропотливых наблюдений за звёздами. Людям срочно нужен был способ считать быстрее и надёжнее. И в 1614 году такой способ наконец появился.

Революция 1614 года: Джон Непер и рождение логарифмов

Шотландский барон Джон Непер опубликовал книгу с латинским названием «Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio» («Описание удивительной таблицы логарифмов»). Эта работа перевернула всю практику вычислений.

Идея Непера была одновременно красивой и простой: заменить сложное умножение на простое сложение. В основе лежала чёткая математическая закономерность: если складывать показатели степени, то сами степени будут перемножаться.

Благодаря этому сложные действия можно было свести к более лёгким:

Важно понимать: в таблице выше мы используем привычные нам логарифмы для наглядности. У самого Непера система была устроена иначе. Он строил свои таблицы на основе кинематической модели и делал их специально для синусов и тангенсов разных углов. Его логарифмы были похожи на натуральные, но не совпадали с современными десятичными. Десятичные логарифмы появились позже — благодаря Генри Бриггсу. Он специально приезжал к Неперу в 1616–1617 годах, чтобы вместе разобраться в методе и довести его до практического удобства.

Особенно сильно логарифмы помогли астрономии, где приходится работать с огромными числами и добиваться большой точности. Яркий пример — работа Иоганна Кеплера над «Рудольфинскими таблицами» (опубликованы в 1627 году). Это был самый точный на тот момент каталог движений планет.

Кеплер не просто использовал таблицы Непера — он их активно продвигал. В 1624 году он выпустил собственные логарифмические таблицы, специально приспособленные для астрономии. А ещё включил таблицы Непера прямо в «Рудольфинские таблицы», чтобы все астрономы могли ими пользоваться. Историки считают, что без логарифмов эта работа заняла бы намного больше времени.

С помощью логарифмов стало возможным:

• точно вычислять эллиптические орбиты планет;

• составлять и уточнять морские карты;

• рассчитывать траектории снарядов — то есть заниматься баллистикой.

Знаменитый математик Пьер‑Симон Лаплас однажды сказал, что Непер «продлил жизнь астрономов» — настолько он облегчил их ежедневный труд. И это не преувеличение.

Эволюция точности: хронология логарифмических таблиц

Со временем таблицы становились всё точнее. Вот основные вехи этой истории:

Метод распространялся стремительно. Уже к 1628 году, всего через 14 лет после работы Непера, таблицы Влакка охватывали все числа от 1 до 100 000:

1628 год — «Arithmetica logarithmica». В этом труде голландский издатель, математик и астроном Адриан Влакк (1600–1667) представил десятизначные (10-значные) логарифмы целых чисел от 1 до 100 000. Он опирался на труды Джона Непера, Симона Стевина и Генри Бригса.

Георг Вега (1754–1802) — словенский и австрийский математик . Наиболее известны его логарифмические и тригонометрические таблицы. Вега не просто перепечатывал чужие данные, а заново пересчитывал и выверял значения. Он так стремился к идеальной точности, что обещал солдатам (Вега служил в армии) золотой дукат за каждую найденную ошибку в таблицах.

Благодаря этой скрупулёзности и многоступенчатой проверке его справочники оказались настолько надёжными, что оставались востребованными и переиздавались вплоть до середины XX века — даже после появления новых методов и более современных изданий.

Инструменты практиков: линейка и таблицы

Для расчётов закрепились два главных инструмента, которыми долго пользовались инженеры и учёные.

Логарифмическая линейка

Принцип её работы очень нагляден: на шкалах линейки нанесены логарифмические деления. Когда вы складываете длины отрезков, это соответствует умножению чисел. Предшественником линейки была «шкала Гантера» (1624 год), а первую полноценную линейку создал Уильям Отред в 1632 году.

Чтобы извлечь квадратный корень, совмещали шкалы LLL и DDD. Вся операция занимала несколько секунд, а погрешность составляла около 0,1–0,2 %. Для большинства инженерных задач этого было вполне достаточно.

Печатные справочники

Когда нужна была более высокая точность, брали таблицы. Например, в XX веке почти у каждого школьника и инженера были «Четырёхзначные математические таблицы» Брадиса. Если нужного значения в таблице не было, использовали линейную интерполяцию — это простой способ примерно вычислить промежуточное число.

Только с массовым распространением электронных калькуляторов в начале 1970‑х началась новая эра вычислений. Но и сегодня, нажимая кнопку «log» на калькуляторе, мы косвенно пользуемся наследием XVII века: идеей, которая превратила многодневные расчёты в простое перелистывание таблиц.

Дополнительно