Найдите первообразную → проверьте решение → оцените себя 

От простого к сложному: линейная подстановка → произведение → композиции

Производная функции в точке касания равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику в этой точке.

Если на графике дана касательная, вам не нужно знать саму функцию. Всю необходимую информацию можно взять с графика касательной.

Пошаговый алгоритм решения:

1. Найдите точку касания.
Обычно на графике прямо точкой отмечено, где функция и касательная соприкасаются. Запомните её координату x₀ (она нам понадобится, только если в задании спрашивают значение производной в конкретной точке, а не просто f'(x₀)).

2. Определите две ЛЮБЫЕ удобные точки на прямой (касательной).
Чем целее координаты, тем лучше. Ищите точки, которые явно лежат на линии сетки.

3. Найдите угловой коэффициент касательной (k).
Угловой коэффициент прямой (коэффициент k в уравнении y = kx + b) находится по формуле:
k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)
где A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂) — две выбранные точки на прямой.

4. Запишите ответ.
f'(x₀) = k

Пример (разбор на основе типичного графика):

Допустим, дан график, и к нему в точке с абсциссой x₀ проведена касательная. Нам нужно найти f'(x₀).

Шаг 1: Точка касания — x₀

Шаг 2: Ищем удобные точки на касательной. Например:

• Точка A  имеет координаты (-2; -1)

• Точка B  имеет координаты (6; -3)

Шаг 3: Считаем угловой коэффициент k:
k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (-3 - (-1)) / (6 - (-2)) = (-3 + 1) / (6 + 2) = -2 / 8 = -0,25

Шаг 4: Записываем ответ:
f'(x₀) = -0,25

Важные нюансы и частые ошибки:

1. Берите точки именно с касательной, а не с графика функции!

    Это самая распространенная ошибка. Касательная — это прямая линия, которая лишь в одной точке совпадает с функцией. Для расчета производной нам важна только она.

2. Внимательно считайте знаки.

    Если прямая убывает (идет сверху вниз слева направо), угловой коэффициент будет отрицательным.

   • Пример:  Точки C(0; 4)  и  D(4; 0) . Тогда  k = (0 - 4) / (4 - 0) = (-4)/4 = -1.

3. Масштаб осей.

    Убедитесь, что деления на осях X  и Y  равны. В большинстве задач ЕГЭ это так. Но если, например, по оси X  одно деление равно 1, а по оси  Y  равно 2, это нужно учитывать при чтении координат. (В современных задачах ЕГЭ это редкость, но стоит проверить).

4. Касательная горизонтальна?

    Если касательная параллельна оси X, то её угловой коэффициент  k = 0, и следовательно, f'(x₀) = 0.

Краткая памятка:

• Касательная → k = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)

• f'(x) = 0 → в точках макс. и мин. (где график "разворачивается").

• f'(x) > 0 → функция растет (∕).

• f'(x) < 0 → функция убывает (\).

• Чем круче график, тем больше |f'(x)|.

Решение

Шаг 1: Точка касания — x₀

Шаг 2: Ищем удобные точки на касательной. Например:

• Точка A имеет координаты (-6; 2)

• Точка B имеет координаты (2; 4)

Шаг 3: Считаем угловой коэффициент k:
k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (4 - 2) / (2 - (-6)) = 2 / 8 = 0,25

Шаг 4: Записываем ответ:
f'(x₀) = 0,25

Варианты заданий:

• https://math-ege.sdamgia.ru/test?likes=27506

• https://3.shkolkovo.online/catalog/145

Дополнительно

Основные тригонометрические формулы. Карточки для самоконтроля

1. Основные формулы

• sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B

• sin(A – B) = sin A cos B – cos A sin B

• cos(A + B) = cos A cos B – sin A sin B

• cos(A – B) = cos A cos B + sin A sin B

Мы будем применять их, где A = 2x, а B = π/2, π, 3π/2.

Также вспомним значения:

• sin(π/2) = 1, cos(π/2) = 0

• sin(π) = 0, cos(π) = -1

• sin(3π/2) = -1, cos(3π/2) = 0

2. Вывод для π/2

3. Вывод для π

4. Вывод для 3π/2

Знаки тригонометрических функций: как применять формулы приведения

Как применять формулы приведения к отрицательным углам? Сначала используйте чётность/нечётность , потом — приведение: Пример 1: sin(-150°) sin(-150°) = -sin 150° // убрали минус…

Автор: Александра Пуляевская

Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 11, но, не дойдя до отметки 2 часа.

свойства

Дополнительно:

https://etudes.ru/etudes/archimedes/

Дополнительно

Справочники. Типовые задания

1. geometricheskij-i-fizicheskij-smysl-primery.pdf
2. proizvodnye-i-funkczii.pdf
3. zadanie-8-pro.pdf
4. proizvodnye.pdf
5. zadacha-8-proizvodnaya-i-pervoobraznaya.pdf
6. zadacha-12-proizvodnye.pdf
7. 1474520089_1892-ege-2016.-matematika.-proizv.-i-pervoobr.-issl.-funkciy.-rab.-tetrad_2016-112s.pdf

Дополнительно

Справочники. Типовые задания

• geometricheskij-i-fizicheskij-smysl-primery.pdf
• proizvodnye-i-funkczii.pdf
• zadanie-8-pro.pdf
• proizvodnye.pdf
• zadacha-8-proizvodnaya-i-pervoobraznaya.pdf
• zadacha-12-proizvodnye.pdf

Дополнительно

1. Отношение площадей
2. Воронин В. В. Метод. пособие: Отношения отрезков и площадей. Новосибирск: НГУ, 2016. 40 с.

3. Основные свойства площадей треугольников