Посты в категории «Геометрия»
Все посты автора
Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра до прямой равно 2, то прямая и окружность пересекаются. Это утверждение — верное
Применяем к нашему случаю
R=3,d=2
2<3⇒d<R
Значит, прямая пересекает окружность в двух точках.
Для тренировки:
R=4,d=5
R=2.5,d=2.5
R=6,d=4
Нужно найти угол ∠EFG, то есть угол с вершиной в точке F, между сторонами FE и FG.
Значит, каждый внутренний угол восьмиугольника равен 135∘. Угол EFG — это внутренний угол при вершине F (потому что FE и FG — стороны восьмиугольника).Поэтому ∠EFG=135∘.
Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.
Центральный угол между соседними вершинами: 360:8=45.
Угол EFG опирается на большую дугу EG и является вписанным, поэтому равен половине угла EOG : 6*45:2=135.
I признак четырехугольника, вписанного в окружность:
Четыре точки лежат на одной окружности, если два противоположных угла в сумме дают 180∘ .
Тогда угол HEJ равен 180-144=36.
Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность. Центральный угол между соседними вершинами: 360:10=36.
Угол HEJ опирается на ту же дугу что и центральный угол HOJ (36*2) и является вписанным, поэтому равен половине угла HOJ : 36*2:2=36.
Ответ: 147
В угол C величиной 83° вписана окружность: как найти угол AOB
Решение
Можно заметить, что углы ∠C и ∠AOB в данном четырехугольнике являются противоположными, причем два других угла прямые. Следовательно, их сумма равна 180: ∠AOB=180−83=97.
Ответ: 180-72=108, (180-108):2=36
Ответ: 90-66=24
Ответ: 90-57=33
Ответ: 15
Ответ: 18
Так как угол между двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то ACB=(AB-DE):2 . DE=102-33*2=36 . Тогда DAE, как вписанный и опирающийся на дугу , равен ее половине, то есть 36:2=18 .
Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен 32. Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах.
Так как угол между хордой и касательной, проведенными из одной точки окружности, равен половине дуги, заключенной между ними, то меньшая дуга AB равна 32*2=64.
.
Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.
Треугольники ВОС и AOD равнобедренные. Тогда угол АСВ=(180-44):2=136:2=68
Ответ: 148
Ответ: 56
Ответ: 32
Через точку 𝐴, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке 𝐾. Другая прямая пересекает окружность в точках 𝐵 и 𝐶, причём 𝐴𝐵 = 2, 𝐵𝐶 = 6. Найдите 𝐴𝐾.
Это основной и надежный метод. Он работает всегда, если известны длины всех трех сторон.
Пусть в треугольнике стороны равны a,b,c.
Требуется найти косинус угла α, лежащего напротив стороны a.
Важно запомнить:
В числителе складываются квадраты сторон, образующих угол, а вычитается квадрат противолежащей стороны.
Часто треугольник задан не длинами сторон, а координатами точек A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3).
Тогда косинус угла при вершине A (угол BAC) удобно находить через скалярное произведение векторов.
Если вы точно знаете, что треугольник прямоугольный, то косинус острого угла находится элементарно.
⚠️ Важно:
Этот способ не работает для произвольного треугольника. Если треугольник не прямоугольный — используйте способ 1 или 2.
Иногда в условии даны две стороны b и c и площадь S, а угол α между ними неизвестен.
Тогда алгоритм такой:
Знак «плюс» или «минус» зависит от того, острый угол (α<90) или тупой (α>90).
Если угол острый → cosα>0
Если тупой → cosα<0
Без дополнительных данных задача имеет два решения.
Ответ: 32
Ответ: 66
∠ABD=∠ABC−∠CBD. ∠CBD= ∠CAD.
Подставляем:
∠ABD=103∘−42∘=61∘.
Ответ: 98
Ответ: 77
Решение: 90-9=81
Решение: 59:2=29,5
Решение: 169-144=25, АС=5
Ответ: 24
Ответ: 46
Ответ: 20,5
Ответ: 2
Ответ:0,4
Ответ: 0,3
Ответ: (42+38)/2=40
Ответ:
Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.
Прямоугольник – это параллелограмм, у которого один угол прямой.
Таким образом, прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма:
∼ противоположные стороны попарно равны;
∼ диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Теоремы: свойства прямоугольника
1) Все углы прямоугольника прямые.
2) Диагонали прямоугольника равны
Следствие
Таким образом, половинки диагоналей в прямоугольнике равны, т.е. OA=OB=OC=OD.
Теоремы: признаки прямоугольника
1) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.
2) Если в выпуклом четырехугольнике все углы прямые, то он – прямоугольник.
Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.
Ответ: 4
Ответ:8
Ответ:3,2
Ответ:196
Ответ: 3
Ответ:8
Роганин А.Н. Геометрия в схемах, терминах, таблицах. — М.: Феникс, 2018. — 96 с.
Если биссектрисы углов А и C треугольника ABC пересекаются в точке О, то ∠АОC = 90◦ + ∠В/2.
или 90+74/2=90+37=127
Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей.
Прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярно ее радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной.
